Banach e Hilbert

[Neo]

Ciao a tutti

piccolo problemino. Sappiamo che uno spazio di Hilbert è anche uno
spazio di Banach, con norma indotta dal prodotto scalare su Hilbert.

Ma un esempio di Banach che non è Hilbert? Io non ne ho trovato, in
quanto ho pensato che essendo uno spazio vettoriale su ogni Banach
potrei definire una metrica rendendolo un Hilbert. Forse però il
ragionamento vale solo per spazi di Banach FINITO dimensionali
(altrimenti le due nozioni coinciderebbero).

Mi fate un esempio (o più di uno) di un Banach che non può essere
Hilbert

Grazie
--
Ciao Neo

[Enrico Gregorio]

Post by Neo
Ciao a tutti
piccolo problemino. Sappiamo che uno spazio di Hilbert è anche uno
spazio di Banach, con norma indotta dal prodotto scalare su Hilbert.
Ma un esempio di Banach che non è Hilbert? Io non ne ho trovato, in
quanto ho pensato che essendo uno spazio vettoriale su ogni Banach
potrei definire una metrica rendendolo un Hilbert. Forse però il
ragionamento vale solo per spazi di Banach FINITO dimensionali
(altrimenti le due nozioni coinciderebbero).
Mi fate un esempio (o più di uno) di un Banach che non può essere
Hilbert

l^1?

Ciao
Enrico

[Neo]

Post by Enrico Gregorio
l^1?

Non c'è modo di metrizzarlo?

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

--
Ciao Neo

[Enrico Gregorio]

Post by Neo

l^1?

Non c'è modo di metrizzarlo?

In che senso? Non può essere uno spazio di Hilbert (con una
norma equivalente all'usuale). Ovvio che sullo spazio vettoriale
puoi definire una struttura di spazio di Hilbert, ma non con la
stessa topologia.

Un esempio più facile è l^inf (spazio delle successioni limitate),
perché c_0 (sottospazio delle successioni infinitesime) è chiuso e non
ha un complemento chiuso.

Un altro ancora è C([0,1]) con la norma dell'estremo superiore.

Ciao
Enrico

[Teti_s]

Post by Enrico Gregorio

Post by Neo

l^1?

Non c'è modo di metrizzarlo?

Se non ho capito male il problema è trovare gli ortocomplementi, negli spazi
di Hilbert ogni insieme chiuso è complementato cioè è proiezione di un
qualche operatore continuo. Proprietà molto utile, ma fortunatamente non
tutti gli spazi funzionali hanno questa proprietà. Esempio classico, nel
caso di L^1(S) le funzioni integrabili del cerchio complesso è H^1(S) lo
spazio delle funzioni integrabili "ad energia positiva", ovvero che hanno
nulle le componenti di Fourier negative. Si dimostra che H^1(S) non è
complementato in L^1(S) Questa cosa è piuttosto rilevante in relazione alla
meccanica quantistica ed è il punto di partenza della teoria delle
iperfunzioni. (Forse esagero, ma se non ci fossero spazi topologici
inequivalenti ad uno spazio di Hilbert non avremmo praticamente una teoria
delle distribuzioni ricca come quella che è possibile in virtù di questo
fatto, e probabilmente le funzioni localmente olomorfe sarebbero un mondo
molto povero e le ammirevoli figure di Mandelbrot non rifulgerebbero dello
stesso splendore). La stessa circostanza è anche alla base della possibilità
di estendere la meccanica quantistica ad una teoria dei campi ricca come
quella che è possibile nelle algebre di Neumann.

Ad ogni modo, da un punto di vista matematico l'esempio di cui sopra è solo
un esempio di una condizione necessaria che non è verificata. Probabilmente
esistono condizioni più stringenti per dire se uno spazio di Banach ammette
un prodotto scalare compatibile con la propria topologia. Per esempio per
gli spazi L^p con 1 <= p <= oo cosa si sa?

Post by Enrico Gregorio
In che senso? Non può essere uno spazio di Hilbert (con una
norma equivalente all'usuale). Ovvio che sullo spazio vettoriale
puoi definire una struttura di spazio di Hilbert, ma non con la
stessa topologia.
Un esempio più facile è l^inf (spazio delle successioni limitate),
perché c_0 (sottospazio delle successioni infinitesime) è chiuso e non
ha un complemento chiuso.
Un altro ancora è C([0,1]) con la norma dell'estremo superiore.
Ciao
Enrico

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[Enrico Gregorio]

Post by Teti_s
...
Ad ogni modo, da un punto di vista matematico l'esempio di cui sopra è solo
un esempio di una condizione necessaria che non è verificata. Probabilmente
esistono condizioni più stringenti per dire se uno spazio di Banach ammette
un prodotto scalare compatibile con la propria topologia. Per esempio per
gli spazi L^p con 1 <= p <= oo cosa si sa?

Una condizione ovvia è che L^p sia isomorfo a L^q quando 1/p + 1/q = 1,
visto che uno spazio di Hilbert è autoduale (p>1). Di più non saprei,
l'isomorfismo potrebbe essere non facilmente identificabile.

Ciao
Enrico

[Gianmarco]

Post by Enrico Gregorio

Post by Teti_s
...
Ad ogni modo, da un punto di vista matematico l'esempio di cui sopra è solo
un esempio di una condizione necessaria che non è verificata. Probabilmente
esistono condizioni più stringenti per dire se uno spazio di Banach ammette
un prodotto scalare compatibile con la propria topologia. Per esempio per
gli spazi L^p con 1 <= p <= oo cosa si sa?

Una condizione ovvia è che L^p sia isomorfo a L^q quando 1/p + 1/q = 1,
visto che uno spazio di Hilbert è autoduale (p>1). Di più non saprei,
l'isomorfismo potrebbe essere non facilmente identificabile.
Ciao
Enrico

Beh, ma comunque il fatto che due spazi topologici siano attrezzati
con topologie equivalenti significa che sono omeomorfi non
generalmente isomorfi, oppure nel caso di spazi vettoriali topologici
si ha gratis l'isomorfismo?

[Enrico Gregorio]

Post by Gianmarco
Beh, ma comunque il fatto che due spazi topologici siano attrezzati
con topologie equivalenti significa che sono omeomorfi non
generalmente isomorfi, oppure nel caso di spazi vettoriali topologici
si ha gratis l'isomorfismo?

No. Considera R^2 con la norma 1: ||(x,y)||_1 = |x| + |y|. La norma
è equivalente a quella euclidea, ma l'identità non è un'isometria.

Ciao
Enrico

[Gianmarco]

Post by Enrico Gregorio

Post by Gianmarco
Beh, ma comunque il fatto che due spazi topologici siano attrezzati
con topologie equivalenti significa che sono omeomorfi non
generalmente isomorfi, oppure nel caso di spazi vettoriali topologici
si ha gratis l'isomorfismo?

No. Considera R^2 con la norma 1: ||(x,y)||_1 = |x| + |y|. La norma
è equivalente a quella euclidea, ma l'identità non è un'isometria.

Non capisco, l'identità non è un'isometria ma è un isomorfismo
algebrico ed un isomorfismo topologico, proprio perchè la norma è
equivalente a quella euclidea. L'isomorfismo algebrico deve conservare
le strutture algebriche, l'isomorfismo topologico le strutture
topologiche, ovvero la continuità, non necessariamente deve
conservare la metrica. Del resto mi sembra semplice che non possa
esistere una isometria fra un qualsiasi spazio di Lebesgue, che non
sia L^2, ed L^2 perchè si può dimostrare che la funzione: f_y(x) = (||x
+y||^2 - ||x||^2-||y||^2)/2 è lineare in x solo per norme di Lebesgue
di secondo grado, quindi un eventuale isomorfismo fra L^p ed L^2 non
può essere un'isometria.

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

[Enrico Gregorio]

Post by Gianmarco

Post by Enrico Gregorio

Post by Gianmarco
Beh, ma comunque il fatto che due spazi topologici siano attrezzati
con topologie equivalenti significa che sono omeomorfi non
generalmente isomorfi, oppure nel caso di spazi vettoriali topologici
si ha gratis l'isomorfismo?

No. Considera R^2 con la norma 1: ||(x,y)||_1 = |x| + |y|. La norma
è equivalente a quella euclidea, ma l'identità non è un'isometria.

Non capisco, l'identità non è un'isometria ma è un isomorfismo
algebrico ed un isomorfismo topologico, proprio perchè la norma è
equivalente a quella euclidea. L'isomorfismo algebrico deve conservare
le strutture algebriche, l'isomorfismo topologico le strutture
topologiche, ovvero la continuità, non necessariamente deve
conservare la metrica. Del resto mi sembra semplice che non possa
esistere una isometria fra un qualsiasi spazio di Lebesgue, che non
sia L^2, ed L^2 perchè si può dimostrare che la funzione: f_y(x) = (||x
+y||^2 - ||x||^2-||y||^2)/2 è lineare in x solo per norme di Lebesgue
di secondo grado, quindi un eventuale isomorfismo fra L^p ed L^2 non
può essere un'isometria.

Dipende dalla definizione di isomorfismo che dai tra spazi di Banach,
naturalmente. Se due norme sono topologicamente equivalenti, l'identità
è un omeomorfismo (per definizione) lineare.

Ciao
Enrico

[Gianmarco]

Post by Gianmarco

Post by Enrico Gregorio

Post by Gianmarco
Beh, ma comunque il fatto che due spazi topologici siano attrezzati
con topologie equivalenti significa che sono omeomorfi non
generalmente isomorfi, oppure nel caso di spazi vettoriali topologici
si ha gratis l'isomorfismo?

No. Considera R^2 con la norma 1: ||(x,y)||_1 = |x| + |y|. La norma
è equivalente a quella euclidea, ma l'identità non è un'isometria.

Non capisco, l'identità non è un'isometria ma è un isomorfismo
algebrico ed un isomorfismo topologico, proprio perchè la norma è
equivalente a quella euclidea. L'isomorfismo algebrico deve conservare
le strutture algebriche, l'isomorfismo topologico le strutture
topologiche,  ovvero la continuità, non necessariamente deve
conservare la metrica. Del resto mi sembra semplice che non possa
esistere una isometria fra un qualsiasi spazio di Lebesgue, che non
sia L^2, ed L^2 perchè si può dimostrare che la funzione: f_y(x) = (||x
+y||^2 - ||x||^2-||y||^2)/2 è lineare in x solo per norme di Lebesgue
di secondo grado, quindi un eventuale isomorfismo fra L^p ed L^2 non
può essere un'isometria.

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico- Nascondi testo citato

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Per ragionare sugli eventuali isomorfismi avrei pensato che potrebbe
aiutare considerare le basi di Schauder, certamente quello che
possiamo dire è che per ogni p p' distinti esistono funzioni L^p(R)
che non sono L^p'(R) e viceversa. Nel caso di supporto compatto,
diciamo cerchio unitario, per p<p' è facile trovare funzioni L^p che
non sono in L^p', ma non necessariamente il contrario. Questo esclude
che l'identità di L^p in L^2 abbia rango L^2 se p<2 e viceversa
implica che l'identità non può avere supporto L^p se p>2 mentre non
esclude che possano esistere isomorfismi diversi dall'identità.

[Neo]

Mi sono perso :D
--
Ciao Neo

[Gianmarco]

Post by Neo
Mi sono perso :D
--
Ciao Neo

Scusa.
Per parlare di spazio di Hilbert hai bisogno non già di una metrica,
ma di un prodotto scalare nel caso reale e di un prodotto ermitiano
nel caso complesso. Gli spazi di Banach sono spazi vettoriali normati,
ovvero anche spazi metrici, infatti la distanza fra due elementi di
uno spazio di Banach può essere definita come d(x,y) = || x - y ||.
Con ciò, tuttavia non è ancora uno spazio di Hilbert. Per potere
parlare di spazio di Hilbert occorre che la norma sia indotta da un
prodotto scalare o da un prodotto hermitiano, e la norma è cioè ||x||
= sqrt(<x,x>). Nel caso finito dimensionale grazie al fatto che la
norma di ogni vettore di base può essere ridefinita senza alterare la
struttura topologica risulta che tutti gli spazi normati con norma del
tipo [Sum_i(|x_i|)^p]^(1/p) possono confortevolmente essere dotati
anche di norma Hilbertiana, c'è un teorema più generale che garantisce
gli omeomorfismi nel caso finito dimensionale. Nel caso infinito
dimensionale questo non è garantito, nel senso che al variare della
norma il tipo di spazio e la sua topologia cambiano profondamente.