Funzioni derivabili e matrice jacobiana

[Maurizio]

Ciao a tutti,

ripassando Analisi 2, ho trovato i seguenti dubbi. Chiedo gentilmente
un aiuto.

1.
E' corretto affermare che nel caso di funzioni a più variabili, una
funzione può essere parzialmente derivabile in un punto, anche se
questa non è continua nel suddetto punto.
Mentre una funzione non può essere derivabile ( ammettere gradiente )
se questa non è continua nel punto.

2.
La matrice Jacobiana associata ad un campo vettoriale conservativo di
R2 è simmettrica? Questo vale anche per R3?
Ho provato fare alcune prove, ma il testo mi dice che in generale la
matrice jacobiana non è simmettrica, in quanto questa dipende da più
funzioni indipendenti tra loro e pertanto non si può affermare nulla.
Chiedo gentilmente, qualche suggerimento.

Ringrazio tutti per l'aiuto!
Buono Studio
Maurizio

[Elio Fabri]

E' corretto affermare che nel caso di funzioni a pi=F9 variabili, una
funzione pu=F2 essere parzialmente derivabile in un punto, anche se
questa non =E8 continua nel suddetto punto.

Si'. Esempio banalissimo:

f(x,y) = 0 se x<0
y se x >=0.

f ammette derivata parziale rispetto a y in ogni punto, ma non e'
continua su tutto l'asse y, con l'eccezione dell'origine.

Mentre una funzione non pu=F2 essere derivabile ( ammettere gradiente )
se questa non =E8 continua nel punto.

Giusto.

La matrice Jacobiana associata ad un campo vettoriale conservativo di
R2 =E8 simmettrica? Questo vale anche per R3?

Si'. Ma si dice "simmetrica".

Ho provato fare alcune prove, ma il testo mi dice che in generale la
matrice jacobiana non =E8 simmettrica, in quanto questa dipende da
pi=F9 funzioni indipendenti tra loro e pertanto non si pu=F2 affermare
nulla.

Non capisco: ma che testo e'?
Se le componenti del campo vettoriale sono Vx, Vy, Vz, tutte funzionei
di x,y,z, condizione *necessaria* perche'il campo sia conservativo e'
che valgano:
dVx/dy = dVy/dx
dVx/dz = dVz/dx
dVy/dz = dVz/dy
(uso d per le derivate _parziali_).
Dunque la matrice e' certamente simmetrica.

[?manu*]

Post by Maurizio
Ciao a tutti,
ripassando Analisi 2, ho trovato i seguenti dubbi. Chiedo gentilmente
un aiuto.
1.
E' corretto affermare che nel caso di funzioni a più variabili, una
funzione può essere parzialmente derivabile in un punto, anche se
questa non è continua nel suddetto punto.

Si', per avere le derivate parziali consideri solo i valori della
funzione lungo le direzioni degli assi.

Post by Maurizio
Mentre una funzione non può essere derivabile ( ammettere gradiente )
se questa non è continua nel punto.

Di solito con "derivabile" si intende proprio che ammette le derivate
parziali, quindi e' lo stesso di prima. Forse intendevi
"differenziabile". In questo caso e' vero.

E.

[Elio Fabri]

Post by ?manu*
Di solito con "derivabile" si intende proprio che ammette le derivate
parziali, quindi e' lo stesso di prima. Forse intendevi
"differenziabile". In questo caso e' vero.

Infatti io avevo inteso "differenziabile", anche perche' poi specifica
che ammette gradiente.
Certo che se uno definisce il gradiente come la n-pla delle derivate
parziali e poi si ferma li' (per caso qualcuno lo fa?)...
Ma se non si usa il gradiente per definire la derivata direzionale, e
che c... serve?

[?manu*]

Post by Elio Fabri

Post by ?manu*
Di solito con "derivabile" si intende proprio che ammette le derivate
parziali, quindi e' lo stesso di prima. Forse intendevi
"differenziabile". In questo caso e' vero.

Certo che se uno definisce il gradiente come la n-pla delle derivate
parziali e poi si ferma li' (per caso qualcuno lo fa?)...

Sì...

Post by Elio Fabri
Ma se non si usa il gradiente per definire la derivata direzionale, e
che c... serve?

In effetti l'esistenza delle derivate parziali è un concetto piuttosto
brutto perchè dipende dalla base scelta. Un concetto un po' più
interessante è la proprietà di avere tutte le derivate direzionali.
Questo secondo me potrebbe essere chiamato "derivabilità" e comunque non
implica la differenziabilità.

E.