Algebra lineare a scuola

[Arcobaleno]

Ormai il calcolo matriciale e la teoria degli spazi vettoriali(algebra
lineare) viene studiato al primo anno di corso di tutte o quasi i corsi
di laurea di facoltà scientifiche o a ingegneria.
Sulla sua utilità non starò qui a dire, penso che tutti ne conoscano
la fondamentale importanza.

Mi chiedevo se fosse il caso o meno di insesgnare qualche rudimento a
scuola, in particolare al liceo scientifico.

Per es. si potrebbe insegnare il metodo dell'eliminazione di Gauss e
quindi far studiare le matrici e i determinanti. Cioè invece di fare
tutta quella trigonometria, magari si potrebbero fare dei complementi
di algebra, e cioè studiare i sistemi di equazioni lineari con l'uso
delle matrici e dei determinanti.

Per quanto riguarda gli spazi vettoriali invece, si potrebbe spiegare
che si tratta di una sorta di geometria analitica che permetterà di
ampliare quella cartesiana. E ovviamente cercare per quanto
possibile(ma questo gia avviene) di insegnare le cose di base riguardo
alle strutture algebriche(gruppi, anelli ecc).

In fondo, anche la teoria degli insiemi non veniva studiata decenni fa,
poi fu introdotta.
Si studiano anche i rudimenti di analisi all'ultimo anno di molte
scuole superiori.

A questo punto, non vedo perché non inserire un po' di algebra
lineare, che è ormai così diffusa.

Voi cosa ne pensate?
Arcobaleno

[Andrea Judge]

Al liceo scientifico sperimentale (pni) già vengono insegnati (perlomeno qui
ad albenga) buona parte del programma svolto al primo anno di ingegneria
riguardo i seguenti argomenti:
- Matrici, determinanti, operazioni su matrici, elim Gauss, sistemi ecc ecc
ecc
- Statistica inferenziale
- (poco) eq diff
- Spazi vettoriali
- num complessi

oltre che naturalmente le solite robe del liceo.

Andrea

"Arcobaleno" <***@libero.it> ha scritto nel messaggio news:***@o13g2000cwo.googlegroups.com...
Ormai il calcolo matriciale e la teoria degli spazi vettoriali(algebra
lineare) viene studiato al primo anno di corso di tutte o quasi i corsi
di laurea di facoltà scientifiche o a ingegneria.
Sulla sua utilità non starò qui a dire, penso che tutti ne conoscano
la fondamentale importanza.

Mi chiedevo se fosse il caso o meno di insesgnare qualche rudimento a
scuola, in particolare al liceo scientifico.

Per es. si potrebbe insegnare il metodo dell'eliminazione di Gauss e
quindi far studiare le matrici e i determinanti. Cioè invece di fare
tutta quella trigonometria, magari si potrebbero fare dei complementi
di algebra, e cioè studiare i sistemi di equazioni lineari con l'uso
delle matrici e dei determinanti.

Per quanto riguarda gli spazi vettoriali invece, si potrebbe spiegare
che si tratta di una sorta di geometria analitica che permetterà di
ampliare quella cartesiana. E ovviamente cercare per quanto
possibile(ma questo gia avviene) di insegnare le cose di base riguardo
alle strutture algebriche(gruppi, anelli ecc).

In fondo, anche la teoria degli insiemi non veniva studiata decenni fa,
poi fu introdotta.
Si studiano anche i rudimenti di analisi all'ultimo anno di molte
scuole superiori.

A questo punto, non vedo perché non inserire un po' di algebra
lineare, che è ormai così diffusa.

Voi cosa ne pensate?
Arcobaleno

[Arcobaleno]

Post by Andrea Judge
Al liceo scientifico sperimentale (pni) già vengono insegnati (perlomeno qui
ad albenga) buona parte del programma svolto al primo anno di ingegneria
- Matrici, determinanti, operazioni su matrici, elim Gauss, sistemi ecc ecc
ecc
- Statistica inferenziale
- (poco) eq diff
- Spazi vettoriali
- num complessi

Che libri vengono adottati per quanto riguarda gli argomenti
dell'algebra lineare?
E a tuo parere, la didattica di questi libri è migliore della
didattica dei libri consigliati per l'università?
Di solito i libri per la scuola sono pieno di esempi per facilitare
l'apprendimento.

Ciao e grazie
Arcobaleno

[indeciso]

Post by Andrea Judge
Al liceo scientifico sperimentale (pni) già vengono insegnati (perlomeno
qui ad albenga) buona parte del programma svolto al primo anno di
- Matrici, determinanti, operazioni su matrici, elim Gauss, sistemi ecc
ecc ecc
- Statistica inferenziale

Come si fa a fare statistica inferenziale senza sapere neanche cos'e' la
statistica descrittiva?!?
Cosi come ovviamente non si puo' fare analisi multivariata senza aver fatto
inferenza statistica o geometria.

[Arcobaleno]

Post by indeciso
Come si fa a fare statistica inferenziale senza sapere neanche cos'e' la
statistica descrittiva?!?

In questo sito c'è una risposta didattica che potrebbe essere valida
per le sperimentazioni in corso. E' una collana per i licei
sperimentali.

http://www.ghisettiecorvi.it/mappa.htm

Prova a vedere inserendo il titolo: "Nuovi elementi di matematica", e
le descrizioni che vengono fatte dei vari volumi, in particolare quelli
relativi alla statistica.

Fammi sapere cosa ne pensi per favore:)

Ciao
Arcobaleno

[indeciso]

Post by Arcobaleno
[cut]
Fammi sapere cosa ne pensi per favore:)

Ho dato un'occhiata e risulta esserci effettivamente un primo testo per
avere le basi relativo alla statistica descrittiva (dove si parla dei
principali indici e della regressione semplice).
Nel secondo volume si espongono le basi della probabilita' e del calcolo
combinatorio, le quali vengono applicate poi sui concetti di descrittiva
(molto probabilmente si introdurranno alcuni stimatori e le principali
proprieta' nonche' le distribuzioni di probabilita' ).

Io resto comunque dell'idea che sia meglio fare poche cose ma buone. Non e'
raro sentire di classi alle scuole superiori che si trovano in difficolta' a
causa di cambio di insegnanti, ognuno dei quali ha i suoi ritmi e le sue
preferenze nei metodi di insegnamento.
Quello della statistica e della probabilita' e' un ramo abbastanza
specifico.
Cosi' come matematica finanziaria, attuariale, programmazione lineare,
ricerca operativa etc.
In facolta' come Ingegneria (che forse e' la facolta' scientifica con piu'
iscritti) e' anche probabile che concetti simili non vengano mai affrontati.
Forse qualcosa di combinatoria ma molto superficialmente (non a caso i testi
di analisi occupano poche pagine per questa sezione).
Sarebbe ahime' molto piu' utile approfondire trigonometria, algebra
matriciale e spazi vettoriali.

[LordBeotian]

Post by Arcobaleno
Per es. si potrebbe insegnare il metodo dell'eliminazione di Gauss e
quindi far studiare le matrici e i determinanti. Cioè invece di fare
tutta quella trigonometria, magari si potrebbero fare dei complementi
di algebra, e cioè studiare i sistemi di equazioni lineari con l'uso
delle matrici e dei determinanti.
Per quanto riguarda gli spazi vettoriali invece, si potrebbe spiegare
che si tratta di una sorta di geometria analitica che permetterà di
ampliare quella cartesiana. E ovviamente cercare per quanto
possibile(ma questo gia avviene) di insegnare le cose di base riguardo
alle strutture algebriche(gruppi, anelli ecc).

Secondo me (ma è una mia opinione molto personale) è importante che al liceo
venga fatta sviluppare una conoscenza matematica il più possibile intuitiva,
quindi eviterei tutti i formalismi astratti che non hanno un corrispettivo
intuitivo alla portata di un liceale. Le matrici le introdurrei solo nel
contesto delle trasformazioni affini del piano. Questo non perchè uno
studente di liceo non sia abbastanza intelligente per capire l'algebra
lineare astratta, ma perchè per fargliela capire decentemente ci vorrebbe
ouna quantità di ore che al licelo non sono concesse.

[Arcobaleno]

LordBeotian wrote:
Le matrici le introdurrei solo nel

Post by LordBeotian
contesto delle trasformazioni affini del piano.

Ho visto che ci sono sperimentazioni in corso i vari licei, e ci sono
(da anni ormai) molti libri che trattano le matrici i determinanti e
gli spazi vettoriali.

In particolare ho avuto modo di vedere i libri della Ghisetti e Corvi
che si rinnovano sempre e sono IMHO tra i migliori.

Matrici e determinanti vengono presentati per risolvere i sistemi di
equazioni lineari.
Quindi il problema viene risolto.
Tra le altre cose, molti manuali universitari di Geometria, partono
proprio con la trattazione dei sistemi di equazioni lineari e pian
piano inseriscono le matrici(vedi metodo di eliminazione di Gauss ad
esempio).

Se sei interessato, puoi provare a vedere di Abeasis, Elementi di
algebra lineare e geometria, Zanichelli.

Ma anche altri manuali usano un approccio simile.

Tra le altre cose, il concetto di determinante l'ho studiato a scuola
al primo anno del liceo, e cioè i famosi sistemi di equazione che si
trattano con i vari metodi per la risoluzione, e in quel caso si parla
anche del determinante. Va pure detto che il concetto di determinante
compare prima nella storia della matematica, mentre quello di matrice
è seguente. Tuttavia si riconosce che il concetto di matrice è
"logicamente" precedente.
E' come per la geometria proiettiva. Abbiamo capito che è
"logicamente" antecedente a quella euclidea, ma è nata prima quella
euclidea:))

Concludendo volevo dire qualcosa sulle cose intuitive e meno intuitive
che si studiano a scuola.
Onestamente se ci penso bene bene, mi rendo conto che la cosa meno
intuitiva di tutte, cioè la più difficile, è proprio l'analisi, per
il semplice fatto che ha a che fare col concetto di infinito.
Il resto penso che sia tutto banale, al limite della noia!!
IMHO bisogna solo MOTIVARE, cioè dire perché si studia
quell'argomento.
E per le matrici, basta dire che ci servono per risolvere i sistemi di
equazioni lineari, e lo stesso vale per i determinanti.

Che poi ci vogliano ore per spiegare la matematica lo sappiamo:) Ed
infatti bisogna fare delle scelte.
Si può fare(come si fa nelle sperimentazioni in corso) meno
trigonometria. Tanto basta dare le basi, poi all'università si
amplieranno gli orizzonti.

Ormai non è più sopportabile per gli studenti del primo anno delle
facoltà scientifiche, approcciare l'analisi con relativa familiarità,
mentre l'algebra lineare diventa una cosa sconosciuta.

IMHO bisogna chiarirsi. Se l'algebra lineare è divenuta così
fondamentale, bisogna darne gioco forza dei rudimenti a scuola, come
avviene con l'analisi(che non è roba tanto intuitiva come detto
sopra).
Se invece ci si vuole ostinare a non trattarla minimamente a scuola,
tanto vale dire che non serve neppure per l'università.

Al primo anno di corso universitario bisogna mettere lo studente in
grando di poter fare un passaggio dalle superiori in modo decente,
senza fargli fare dei balzi nel vuoto.

Infatti, se qualcuno volesse ostinarsi a dire che la matematica a
scuola non si può fare perché ci vogliono troppe ore, si potrebbe
anche arrivare a non farne nulla.
Ma io mi chiedo:
solo con la matematica che si studia fino a 13 anni(scuola media
inferiore) è possibile attaccare un corso universitario? Basta un
precorso?
Penso di no!!
Quindi dovrebbe essere l'università a insegnare il calcolo letterale,
la geometria analitica, la trigonometria ecc ecc.
Praticamente bisognerebbe rivoluzionare i corsi universitari e dare
almeno un anno per far studiare tutta la matematica che di solito si
studia in 5 anni delle superiori.

Io penso che bisogna trovare una via di mezzo. Da una parte il docente
universitario cerca di colmare le lacune e di attaccarsi a cose
concrete per poi sviluppare la teoria. Dall'altra però, il docente
della scuola superiore, deve indirizzarsi verso una matematica di base
che possa servire in futuro, e tra questa v'è sicuramente l'algebra
lineare.

Ciao:)
Arcobaleno

[LordBeotian]

Post by Arcobaleno
Onestamente se ci penso bene bene, mi rendo conto che la cosa meno
intuitiva di tutte, cioè la più difficile, è proprio l'analisi, per
il semplice fatto che ha a che fare col concetto di infinito.

Secondo me invece l'analisi è molto più intuitiva dell'algebra e
dell'algebra lineare perchè permette di "visualizzare" molto più facilmente
ciò di cui si parla. Una funzione derivabile o una successione si possono
visualizzare, una matrice invertibile un po' meno.

Post by Arcobaleno
IMHO bisogna solo MOTIVARE, cioè dire perché si studia
quell'argomento.
E per le matrici, basta dire che ci servono per risolvere i sistemi di
equazioni lineari, e lo stesso vale per i determinanti.

Non credo che basti a motivare.
Uno studente motivato dovrebbe capire il senso di un calcolo *mentre lo sta
facendo*, il fatto di sapere che per motivi a lui poco chiari quel calcolo
in seguito "servirà" non è di nessun aiuto nella motivazione.
E' come se ad un operaio di una fabbrica impartisci delle istruzioni a lui
incomprensibili dicendo che grazie a quelle poi i macchinari sforneranno
delle bellissime automobili. Non sarà questa motivazione a renderlo più
felice di lavorare.

Ciao!

[Arcobaleno]

Post by LordBeotian

Post by Arcobaleno
IMHO bisogna solo MOTIVARE, cioè dire perché si studia
quell'argomento.
E per le matrici, basta dire che ci servono per risolvere i sistemi di
equazioni lineari, e lo stesso vale per i determinanti.

Non credo che basti a motivare.

Io invece penso che basti a motivare e cerco anche di dimostrarlo.

Si danno le definizioni fondamentali sulle matrici, e cioè:
diagonale principale e diagonale secondaria di una matrice quadrata.
Matrici diagonali e triangolari. Matrice unità.
Somma delle matrici, prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto
di una matrice riga per una matrice colonna, prodotto di matrici,
proprietà delle operazioni, determinanti delle matrici quadrate,
minore complementare, complemento algebrico, regola di Sarrus,
determinanti di ordine n. calcolo dei determinanti, teorema di Laplace,
rango di una matrice, inversa di una matrice, teorema di Kronecker

E dopo tutto questo: MATRICI E TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE.
Cioè si fa vedere a grandi linee perché si è usato questo nuovo
formalismo.

Ma si potrà anche dire prima, e cioè dire che si andrà a studiare un
nuovo formalismo per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, e
quindi per le trasformazioni geometriche.

Questo è come se uno vuole spiegare come si fa l'estrazione della
radice quadrata o come si fa la moltiplicazione. Prima dice che si
tratta di fare la moltiplicazione e poi però bisogna dargli il tempo
per fargli spiegare piano piano e passo dopo passo come si mette in
atto l'algoritmo.

Per le matrici le cose sono più elaborate, ma l'approccio è il
medesimo.

Poi si studiano i Sistemi lineari, il metodo dell'eliminazione, sistemi
determinati e indeterminati, applicazioni del metodi di eliminazione
alla matrice associata a un sistema, matrici e si stemi lineari,
sistemi in n equazioni e in n incognite, metodo della matrice inversa,
teorema di Rouché- Capelli, sistemi parametrici.

Poi si attacca con gli spazi vettoriali:

Dipendenza e indipendenza lineare, vettori collineari e complanari,
base di uno spazio vettoriale, componenti di un vettore secondo una
base, trasformazioni lineari, espressione cartesiana di una
trasformazione lineare, APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA ANALITICA NELLO
SPAZIO, equazione del piano, equazioni parametriche della retta.

E poi si può anche parlare di rette e piani nello spazio.

Come si nota, il tutto viene finalizzato il più rapidamente possibile
ai sistemi di equazioni lineari e alle applicazioni alla geometria
analitica nello spazio, che si vede ed è intuitiva:)

E poi, parliamoci proprio chiaro e tondo!
Tu sei davvero convinto che i ragazzi si chiedano tutti i perché che
ci chiediamo noi?
I ragazzi sicuramente ragionano ma molti interrogativi non se li
pongono minimamente.

Ricordo che a scuola ero l'unico a dire a quello di matematica che la
geometria euclidea era basata su un concetto che non si intuisce per
nulla,e cioè sul punto SENZA dimensione.
Da cui se ne deduce che quel punto non esiste, e con esso la relativa
retta, i piani e lo spazio pure.

Quindi per accettare la geometria di Euclide bisogna fare un certo
sforzo di astrazione.
Ma tanto la maggior parte dei ragazzi neppure ci pensa, perché loro
pensano al puntino della matita o magari al microscopio:))

Ciao:)
Arcobaleno

p.s. è all'università che vengono fuori i veri problemi, quando la
persona si dedica con passione alla matematica e si rende conto che ha
dovuto accettare tanti dogmi(a partire dal punto adimensionale) pur di
andare avanti con la trattazione.

Noi possiamo intuire tutto o quasi, ma sull'infinito dobbiamo
arrenderci. Che poi si potrà anche renderlo visibile, ma il problema
resta. E non lo dico io, lo dice Hermann Weyl(allievo di Hilbert) nel
mettere in luce tutte le carenze della costruzione matematica, che in
realtà mantiene la coerenza, ma per quanto riguarda le sue essenze(a
partire dallo spazio tanto intuitivo) ha e avrà sempre problemi
insolubili.

Il tema è lungo e off topic e non vado oltre, ma volevo solo chiarire
il mio punto di vista.

[Neo]

Secondo me al liceo dovrebbero insegnare solo le equazioni di primo
grado.... L'analisi fatta alle superiori e' scandalosa. Serve solo a
confondere le idee. Stessa cosa per l'algebra lineare.... Ovviamente
sono solo le mie idee. Sono ben accetti commenti :)

Neo

[Arcobaleno]

Post by Neo
Secondo me al liceo dovrebbero insegnare solo le equazioni di primo
grado

Questo tuo punto di vista mi incuriosisce molto.
Infatti mi chiedevo: perché non insegnare anche quelle di secondo
grado?
Forse a tuo parere è difficile comprendere come si arriva alla formula
risolutiva?

Ciao:)
Arcobaleno

[Neo]

Post by Arcobaleno
Questo tuo punto di vista mi incuriosisce molto.
Infatti mi chiedevo: perché non insegnare anche quelle di secondo
grado?

Non sono sicuro... Ovviamente ero ironico nel limitare le eq di primo
grado.

Post by Arcobaleno
Forse a tuo parere è difficile comprendere come si arriva alla formula
risolutiva?

Il problema e che al liceo si viene investiti da miliardi di formule.
Esempio: al liceo si insegna una formula per calcolare i veritici i
fuochi ecc e sono tutte formule che se imparate a memoria possono
creare confusione. Io non le conosco. E' meglio applicare i teoremi
dell'algebra lineare e ottenere tutto da li. E' sicuramente piu' lungo
ma anche piu' bello in quanto si capisce quello che fai passo per
passo. Da questo punto di vista forse chi non ha mai visto matematica
e' piu' avvantaggiato...

E poi l'algebra lineare mi pare troppo complessa per un liceo. Meglio
impararla bene una volta sola.

Altro esempio: a me hanno insegnato la regola di kramer per risolvere i
sisteni di equazioni ma non mi piaceva usarla in quanto non sapevo la
dimostrazione.... Ho dovuto aspettare l'agebra lineare per usarla con
soddisfazione. Comunque ognuno e' libero di pensarla come vuole no? :))

Post by Arcobaleno
Ciao:)
Arcobaleno

Neo

[Arcobaleno]

Post by Neo
Altro esempio: a me hanno insegnato la regola di kramer per risolvere i
sisteni di equazioni ma non mi piaceva usarla in quanto non sapevo la
dimostrazione.... Ho dovuto aspettare l'agebra lineare per usarla con
soddisfazione.

Ma ovviamente ti capisco.
Solo che la matematica che si fa a scuola è destinata a tutta la
futura popolazione, e quindi non si può stare a dimostrare tutto
tutto.

A mio parere è meglio vedere almeno qualcosa a scuola che non vederlo
proprio.
Almeno viene la curiosità, almeno si sa a grandi linee cosa è la
regola di Cramer(riprendo il tuo esempio).

Io per es. mi sono chiesto tempo fa, perché ho dovuto imparare
l'alfabeto con l'ordine che ben conosciamo: a, b, c, d,e, f, g, h,
i.......

Abbiamo provato a capirlo, e si è arrivati all'alfabeto ebraico e a
certe divinità che forse venivano caratterizzate con i simboli
dell'alfabeto e avevano un certo ordine.
Cioè la risposta precisa non la conosco e l'ho chiesto a chi si occupa
di linguistica e storia delle lingue.

Eppure è stato un bene imparare l'alfabeto. Immagina se a scuola mi
fosse venuto in mente sta cosa e avessi detto: io mi rifiuto di
imparare l'alfabeto perché dovete dirmi per quale motivo l'avete
ordinato in questo modo, e non diversamente.

Mi avrebbero detto che è una convenzione che cmq mi sarebbe servita
per cercare le parole nel vocabolario!!

A scuola a mio parere si può anche essere un po' tolleranti e imparare
un po' di cose sperando poi di chiarirsi meglio le idee in seguito.

Ovviamente questo discorso non vale minimamente per l'università. E
noto però che all'università invece si continua a trattare lo
studente allo stesso modo: studia, impara, poi capirai:)

A volte è perché chi insegna non conosce le cose. O per ignoranza
personale o perché in effetti non si conosce la risposta a quel
quesito.
Nel caso dell'alfabeto a me poteva soddisfare il sapere quello che so
ora.
Ma il mio professore probabilmente non sapeva la risposta. A volte
bisogna sapere solo una risposta banale, altre volte mettersi a
dimostrare teoremi e allora ci vogliono ore, impostare un programma
lungo e quindi si evita.
Cmq, noto che entrambi siamo sopravissuti e siamo qui ancora con la
voglia di capire. E meno male che c'è. Altrimenti morirei di noia:)

A proposito: tu ti sei mai posto come mai impariamo proprio a b c d e
f...?

Ciao:)
Arcobaleno

[Neo]

Post by Arcobaleno
Ma ovviamente ti capisco.
Solo che la matematica che si fa a scuola è destinata a tutta la
futura popolazione, e quindi non si può stare a dimostrare tutto
tutto.

Ok mi puo' star bene ma in verita' preferisco sapere qualcosa di meno
ma sapere che e' vera invece di avere tanti formuloni e non ho avere la
piu' pallida idea di dove arrivino.

Post by Arcobaleno
A mio parere è meglio vedere almeno qualcosa a scuola che non vederlo
proprio.
Almeno viene la curiosità, almeno si sa a grandi linee cosa è la
regola di Cramer(riprendo il tuo esempio).

Guarda uno la curiosita' la sente dentro. Io alle superiori ho fatto
una scuola dove matematica non era certo la priorita'. Per inciso ho
fatto itis dove piu' che sapere da dove arriva una formula serviva
risolvere problemi noti e stranoti. La passione la senti dentro
indipendentemente dalla scuola fatta. Talvolta si cambia in quanto si
ricevono delusioni dal proprio percorso scolastico.

Post by Arcobaleno
Io per es. mi sono chiesto tempo fa, perché ho dovuto imparare
l'alfabeto con l'ordine che ben conosciamo: a, b, c, d,e, f, g, h,
i.......
Abbiamo provato a capirlo, e si è arrivati all'alfabeto ebraico e a
certe divinità che forse venivano caratterizzate con i simboli
dell'alfabeto e avevano un certo ordine.
Cioè la risposta precisa non la conosco e l'ho chiesto a chi si occupa
di linguistica e storia delle lingue.
Eppure è stato un bene imparare l'alfabeto. Immagina se a scuola mi
fosse venuto in mente sta cosa e avessi detto: io mi rifiuto di
imparare l'alfabeto perché dovete dirmi per quale motivo l'avete
ordinato in questo modo, e non diversamente.

Bhe forse a quell'eta' si e' troppo piccoli per farsi queste domande ;)

Anche io ho imparato a contare e a sommare senza sapere dell'esistenza
di campi....

Post by Arcobaleno
Mi avrebbero detto che è una convenzione che cmq mi sarebbe servita
per cercare le parole nel vocabolario!!
A scuola a mio parere si può anche essere un po' tolleranti e imparare
un po' di cose sperando poi di chiarirsi meglio le idee in seguito.
Ovviamente questo discorso non vale minimamente per l'università. E
noto però che all'università invece si continua a trattare lo
studente allo stesso modo: studia, impara, poi capirai:)

Questo perche' all'Universita' i corsi sono talmente veloci che
talvolta non riesci a capire bene tutto.... Hai tempo per meditare dopo
su quello appreso.

Post by Arcobaleno
A volte è perché chi insegna non conosce le cose. O per ignoranza
personale o perché in effetti non si conosce la risposta a quel
quesito.
Nel caso dell'alfabeto a me poteva soddisfare il sapere quello che so
ora.
Ma il mio professore probabilmente non sapeva la risposta. A volte
bisogna sapere solo una risposta banale, altre volte mettersi a
dimostrare teoremi e allora ci vogliono ore, impostare un programma
lungo e quindi si evita.
Cmq, noto che entrambi siamo sopravissuti e siamo qui ancora con la
voglia di capire. E meno male che c'è. Altrimenti morirei di noia:)
A proposito: tu ti sei mai posto come mai impariamo proprio a b c d e
f...?

Ad essere sincero non mi sono mai posto problemi di questo genere in
quanto non ho mai avuto la passione... probabilmente se l'avessi avuta
me lo sarei chiesto

Post by Arcobaleno
Ciao:)
Arcobaleno

Ciao Neo