Post by marnodohAvrei bisogno di uno spunto: come di potrebbe immaginare una grandezza
a 4 dimensioni? E di dimensioni superiori? Spazio alla fantasia.
Ciao, allora ecco alcune semplici figure quadridimensionali (o
n-dimensionali) che puoi immaginare:
A) l'ipercubo, o iperparallelepipedo:
per esempio consulta:
http://www.mat.uniroma2.it/LMM/BCD/Iper/Ipercubo.html
http://www.pierelli.it/ipercubo.htm
L'ottieni così:
I) trasla un punto = segmento = cubo o parallelepipedo 1-dimensionale
II) trasla un segmento (non parallelamente a sè stesso) = quadrato o
parallelogrammo = cubo o parallelepipedo 2-dimensionale
III) trasla un quadrato o parallelogrammo (non parallelamente a sè stesso) =
cubo o parallelepipedo 3-dimensionale
IV) trasla un cubo o parallelepipedo 3-dimensionale (non parallelamente a sè
stesso, cioè uscendo dallo spazio tridimensionale che lo contiene) =
ipercubo o iperparallelepipedo 4-dimensionale
ecc.
In generale puoi avere un ipercubo o iperparallelepipedo n-dimensionale
Per l'ipercubo n-dimensionale di lato l, l'ipervolume vale l^n, e la
diagonale misura l sqrt(n)
Per l'iperparallelepipedo n-dimensionale, l'ipervolume vale il valore
assoluto del determinante della matrice costruita con dei vettori che
identificano n spigoli indipendenti (cioè non paralleli) dell'ipercubo.
Esempio l'area del quadrato individuato dai due vettori (0,1) e (1,0) vale
1.
B) la pentacella quadridimensionale (o l'esaipercella pentadimensionale
ecc.)
I) unisci due punti = segmento
II) unisci un segmento con un punto che non appartiene alla retta contenente
il segmento = triangolo
III) unisci un triangolo con un punto che non appartiene al piano che
contiene il triangolo = tetraedro tridimensionale
IV) unisci un tetraedro con un punto che non appartiene allo spazio
tridimensionale che contiene il tetraedro = pentacella 4-dimensionale
ecc.
Ecco la pentacella, a mio parere non disegnata molto bene:
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Per figure n-dimensionali di questo tipo vale questa formula
ipervolume = base X altezza / n
Per esempio, per il triangolo:
area ) base X altezza / 2
C) la sedicicella quadridimensionale (la 32-ipercella pentadimensionale
ecc.)
Stavolta, partiamo gia' da un segmento
I) taglia un segmento con un altro segmento non parallelo, per esempio,
ortogonale = rombo o figura affine
II) taglia un rombo, o figura affine, con un segmento non parallelo, per
esempio, ortogonale = ottaedro 3-dimensionale regolare o non regolare
III) taglia un tetraedro con un segmento non parallelo (cioè che non
appartiene allo spazio tridimensionale che lo contiene), per esempio,
ortogonale = sedicicella quadridimensionale
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D) l'ipersfera
In uno spazio a n dimensioni, un'ipersfera di raggio r e centro O e' il lugo
dei punti aventi distanza <= r da O.
Esempio:
cerchio = sfera 2-dimensionale
Sai che
area cerchio = pigreco r^2
lunghezza circonferenza = 2 pigreco r
volume sfera = 4/3 pigreco r^3
area superficie sferica = 4 pigreco r^2
In 4 dimensioni, si dimostra che:
ipervolume ipersfera = (1/2) pigreco^2 r^4
volume tridimensionale ipersuperficie ipersferica = 2 pigreco^2 r^3
Per formule generali in n dimensioni, occorre la funzione Gamma di Eulero:
2 (pigreco^(n/2)) r^n
ipervolume = --------------------- X --------
Gamma( n/2 ) n
2 (pigreco^(n/2))
ipersuperficie = ----------------------- X r^(n-1)
esterna Gamma( n/2)
Ciao
P.S. Un altro sto
http://www.vertebra.com/ddr/java/ipercubo.html
