Post by Giovanni LagneseE` ovvio, dal momento che un boreliano puo` essere descritto da un numero
contabile di coppie di numeri reali.
Provo a riformulare, cercando un abbozzo di formalizzazione: ogni boreliano
è un'unione al più numerabile di intervalli del tipo (-inf,t], di loro
complementari. Tenendo presente le formule di De Morgan si può ricondurre
ogni complementarizzazione di unioni di set alle intersezioni dei
complementari, ergo possiamo descrivere ogni boreliano con una sequenza
t1,c1,op1,t2,c2,op2,...
dove t_i sono i reali estremi superiori degli intervalli (-inf,t_i], c_i è
un "boolean" (0 o 1) che indica se l'intervallo (-inf,t_i] va complementato
e op1 è un altro "boolean" (0 o 1) che indica se dopo t_i ci va un'unione o
un'intersezione.
Considero l'insieme
T={(t1,c1,op1,t2,c2,op2....): t_i \in |R, c_i \in {0,1} op_i \in {0,1}}=
=|Rx{0,1}x{0,1}x|Rx{0,1}x{0,1}x|Rx... un'infinità numerabile di volte
e la funzione
f: T --> B (insieme dei boreliani di |R) che associa a ogni elemento di T
l'insieme dato dalla ovvia ricostruzione con le operazioni di
complementazione, unione e intersezione.
f è per costruzione suriettiva (non iniettiva, ma non importa) dunque
|B|<=|T|, e dato che T ha la cardinalità del continuo (è il prodotto
cartesiano numerabile di insiemi aventi al più la cardinalità del continuo)
B ha al più cardinalità del continuo.
Dato infine che B è più che numerabile - ad esempio il suo sottoinsieme
degli insiemi del tipo (-inf, t) ha già lui cardinalità del continuo - se ne
deduce che B esattamente cardinalità del continuo.
Può funzionare?