Qual'è la massima dimensione per un prodotto vettoriale?

[Poincarè]

In modo tale che il prodotto sia ancora della stessa dimensione?
Chiamiamola chiusura dimensionale.
Il libro dice 3-dimensionale, ma non ne spiega i motivi riferisce solo
che non è possibile generalizzare a qualsiasi dimensione finita k.

Cercando su altri testi non ne ho cavato nulla.

Per quale motivo non è possibile estendere tale operazione?

Ciao
Poincarè

[Enrico Gregorio]

Post by Poincarè
In modo tale che il prodotto sia ancora della stessa dimensione?
Chiamiamola chiusura dimensionale.
Il libro dice 3-dimensionale, ma non ne spiega i motivi riferisce solo
che non è possibile generalizzare a qualsiasi dimensione finita k.
Cercando su altri testi non ne ho cavato nulla.
Per quale motivo non è possibile estendere tale operazione?

La definizione di prodotto vettoriale (o prodotto esterno) sfrutta
in modo molto pesante il fatto che in dimensione 3 l'algebra esterna
è fatta di "pezzi" di dimensioni 1, 3, 3, 1.

È possibile dunque, dato un ordinamento della base su R^3, definire
un ordinamento "canonico" sulla base del "terzo pezzo"; tipicamente
si ordina la base come j x k, k x i, i x j (se i, j, k è l'ordinamento
scelto per la base su R^3 e "x" denota l'operazione nell'algebra
esterna) e in questo modo si può definire un isomorfismo; dunque

(ai + bj + ck) x (di + ej + fk) =
ad ixi + bd jxi + cd kxi +
ae ixj + be jxj + ce kxj +
af ixk + bf jxk + cf kxk =
(bf - ce)kxj + (cd - af)kxi + (ae - bd)ixj

viene identificato con (bf-ce)i + (cd-af)j + (ae-bd)k.

In dimensione diversa da 3 questo non si può fare, perché il
terzo pezzo dell'algebra esterna ha dimensione n(n-1)/2 che
non fa mai n: n(n-1)/2 = n dà n^2=3n, cioè n=3.

Ti prego, "qual è" si scrive senza apostrofo. :)

Ciao
Enrico

[Dalet]

Post by Enrico Gregorio
La definizione di prodotto vettoriale (o prodotto esterno) sfrutta
in modo molto pesante il fatto che in dimensione 3 l'algebra esterna
è fatta di "pezzi" di dimensioni 1, 3, 3, 1.

Scusa Enrico ma - forse in altro contesto - il prodotto
vettoriale e il prodotto esterno non sono la stessa cosa,
il primo infatti, cioe' l'ordinario prodotto vettoriale, e'
definito in 3 dimensioni e coincide con il vettore aggiunto
del secondo: u vettor v = *(u esterno v), e quindi anche:
u esterno v = *(u vettor v), ti risulta?
(*() e' ovviamente l'aggiunto)

[Enrico Gregorio]

Post by Dalet

Post by Enrico Gregorio
La definizione di prodotto vettoriale (o prodotto esterno) sfrutta
in modo molto pesante il fatto che in dimensione 3 l'algebra esterna
è fatta di "pezzi" di dimensioni 1, 3, 3, 1.

Scusa Enrico ma - forse in altro contesto - il prodotto
vettoriale e il prodotto esterno non sono la stessa cosa,
il primo infatti, cioe' l'ordinario prodotto vettoriale, e'
definito in 3 dimensioni e coincide con il vettore aggiunto
u esterno v = *(u vettor v), ti risulta?
(*() e' ovviamente l'aggiunto)

...

Credo che prima di tutto occorra capire di che cosa si sta parlando.
L'aggiunto in che senso, per esempio? Ma penso che stiamo dicendo
le stesse cose con due linguaggi diversi.

Nel messaggio precedente usavo il simbolo "x" per indicare il prodotto
nell'algebra esterna, ma anche per indicare il prodotto vettoriale:
i conti si fanno nell'algebra esterna, ma poi per avere il prodotto
vettoriale al posto di jxk si scrive i, di kxi si scrive j e di
ixj si scrive k.

In altre parole ho definito l'operazione di prodotto vettoriale
usando le relazioni

v x w = -w x v (per ogni v e w), j x k = i, k x i = j, i x j = k

Il fatto che tutto funzioni discende dall'aver usato un ben
definito isomorfismo tra R^3 e "x^2 R^3" (cioè il terzo pezzo
dell'algebra esterna, quello generato dai prodotti di due vettori).
I fisici osservano che ciò che si ottiene non è proprio un vettore
(con il loro linguaggio, naturalmente), perché non obbedisce alle
leggi di trasformazione rispetto a basi qualsiasi e, infatti,
il prodotto vettoriale diventa l'opposto se si usa una base orientata
in modo diverso da quella di partenza.

Non ci sarebbe dipendenza dall'orientamento se il prodotto vettoriale
v x w è visto nello spazio vettoriale "giusto", ma per le esigenze
della fisica (almeno a livello elementare) questo non serve.

È ovviamente possibile vedere il tutto come una dualità di spazi
vettoriali: ciò che fai tu è infatti identificare la base
{jxk, kxi, ixj} di "x^2 R^3" con la base duale di {i,j,k} nel
duale di R^3.

Ciao
Enrico

[Antonio]

"Enrico Gregorio" <***@math.unipd.it> ha scritto ...
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Post by Enrico Gregorio
I fisici osservano che ciò che si ottiene non è proprio un vettore
(con il loro linguaggio, naturalmente), perché non obbedisce alle
leggi di trasformazione rispetto a basi qualsiasi e, infatti,
il prodotto vettoriale diventa l'opposto se si usa una base orientata
in modo diverso da quella di partenza.

Non so se dico una cavolata, o un'ingenuita'.
Scavando nei miei ricordi, nella meccanica razionale classica il prodotto
vettore viene definito tramite il tensore di Ricci, EPSijk, che vale 0 se
almeno due indici sono uguali e 1 se i,j,k sono una pernutazione pari, -1 se
sono un permutazione dispari. Se si assume che questa definizione valga in
tutti i riferimenti (terne destrorse e sinistrorse) allora il prodotto
vettore e' uno pseudo-vettore (non si trasforma secondo la matrice dei
coseni direttori perche' cambia verso passando da una terna destrorsa a una
sinistrorsa), mentre se nella definizione del tensore di Ricci esso e'
definito con segni opposti nelle terne sinistrorse, il prodotto vettore e'
un vettore ( ma si ha lo svantaggio di una diversa definizione del tensore
di Ricci).
Non so se e' giusto...("se sbalio mi corigerete" !)
Ciao,
Antonio

[Enrico Gregorio]

Post by Antonio
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Post by Enrico Gregorio
I fisici osservano che ciò che si ottiene non è proprio un vettore
(con il loro linguaggio, naturalmente), perché non obbedisce alle
leggi di trasformazione rispetto a basi qualsiasi e, infatti,
il prodotto vettoriale diventa l'opposto se si usa una base orientata
in modo diverso da quella di partenza.

Non so se dico una cavolata, o un'ingenuita'.
Scavando nei miei ricordi, nella meccanica razionale classica il prodotto
vettore viene definito tramite il tensore di Ricci, EPSijk, che vale 0 se
almeno due indici sono uguali e 1 se i,j,k sono una pernutazione pari, -1 se
sono un permutazione dispari. Se si assume che questa definizione valga in
tutti i riferimenti (terne destrorse e sinistrorse) allora il prodotto
vettore e' uno pseudo-vettore (non si trasforma secondo la matrice dei
coseni direttori perche' cambia verso passando da una terna destrorsa a una
sinistrorsa), mentre se nella definizione del tensore di Ricci esso e'
definito con segni opposti nelle terne sinistrorse, il prodotto vettore e'
un vettore ( ma si ha lo svantaggio di una diversa definizione del tensore
di Ricci).
Non so se e' giusto...("se sbalio mi corigerete" !)

...

È un modo complicato di dire la stessa cosa, ma certamente più
"matematico".

Ciao
Enrico

[Dalet]

Post by Enrico Gregorio

Post by Antonio

Post by Enrico Gregorio
I fisici osservano che ciò che si ottiene non è proprio un vettore
(con il loro linguaggio, naturalmente), perché non obbedisce alle
leggi di trasformazione rispetto a basi qualsiasi e, infatti,
il prodotto vettoriale diventa l'opposto se si usa una base orientata
in modo diverso da quella di partenza.

Non so se dico una cavolata, o un'ingenuita'.
Scavando nei miei ricordi, nella meccanica razionale classica il prodotto
vettore viene definito tramite il tensore di Ricci, EPSijk, che vale 0 se
almeno due indici sono uguali e 1 se i,j,k sono una pernutazione pari, -1 se
sono un permutazione dispari.

...

[..........]

Post by Enrico Gregorio
È un modo complicato di dire la stessa cosa, ma certamente più
"matematico".

Si' confermo anch'io, infatti quel tensore di Ricci e' detto
"Tensore dispari di Ricci" o "Tensore elemento di volume".

(serve anche per l'espressione dell'aggiunto che infatti
nell'altro post non ho scritto per brevita')

Pero' non e' l'epsilon_i1..in (che e' l'indicatore di
Levi-Civita e non un tensore) ma questo eta:
eta_i1..in = +-sqrt(|g|) epsilon_i1..in
con sotto radice il valore assoluto del det del tensore
metrico. (in 3-dim epsilon_ijk e eta_ijk)

D'altra parte per epsilon si ha:
epsilo_i1..in = delta^1..n_i1..in, con delta tensore
(o simbolo) di Kronecker generalizzato, da cui si riconosce
a vista che epsilon generalmente non e' un tensore.

[Dalet]

Post by Enrico Gregorio

Post by Dalet
Scusa Enrico ma - forse in altro contesto - il prodotto
vettoriale e il prodotto esterno non sono la stessa cosa,
il primo infatti, cioe' l'ordinario prodotto vettoriale, e'

[...........]

Post by Enrico Gregorio
Credo che prima di tutto occorra capire di che cosa si sta parlando.
L'aggiunto in che senso, per esempio?
Ma penso che stiamo dicendo
le stesse cose con due linguaggi diversi.

In dimensione n l'aggiunto d'un tensore antisimmetrico t
di rango p <= n e' un tensore *t di tipo dispari (cioe'
cambia segno con l'orientamento della base) anch'esso
antisimmetrico (ma che e' complicato scrivere adesso)
di rango supplementare n - p.

E allora per n = 3, cioe' nell'ordinario spazio euclideo E_3,
diciamo le stesse cose, l'ho visto dal seguito che mi scrivi.

Post by Enrico Gregorio
Nel messaggio precedente usavo il simbolo "x" per indicare il prodotto

Usano /\ per il prodotto esterno, x per quello vettoriale.

Post by Enrico Gregorio
i conti si fanno nell'algebra esterna, ma poi per avere il prodotto
vettoriale al posto di jxk si scrive i, di kxi si scrive j e di
ixj si scrive k.

Si', in uno spazio 3-dim ogni tensore antisimmetrico V e'
infatti suscettibile della forma V = u /\ v (dove u,v sono
vettori), e allora il tensore aggiunto *V (necessariamente
di rango 1, cioe' vettore) non differisce dall'ordinario
prodotto vettoriale: *V = *(u /\ v) = u x v -- che e' proprio
quanto dici dopo e non riporto. THX

[Poincarè]

Post by Enrico Gregorio
In dimensione diversa da 3 questo non si può fare, perché il
terzo pezzo dell'algebra esterna ha dimensione n(n-1)/2 che
non fa mai n: n(n-1)/2 = n dà n^2=3n, cioè n=3.

Grazie, chiaro come sempre.

Post by Enrico Gregorio
Ti prego, "qual è" si scrive senza apostrofo. :)

Hai perfettamente ragione, chiedo venia, ma con apostrofi e accenti
per me è un vero disastro :-( (Sensini me lo dice sempre. :))

[Archaeopteryx]

[...] In dimensione diversa da 3 questo non si
può fare, perché il terzo pezzo dell'algebra
n(n-1)/2 = n dà n^2=3n, cioè n=3.

meravigliosooooo non avevo proprio mai pensato che
il prodotto vettoriale fosse suscettibile (o meno)
di generalizzazione. Sono veramente senza parole...

Ti prego, "qual è" si scrive senza apostrofo. :)

hihih, pensa che io ho sempre scritto "fù" al posto
di "fu" e non c'era verso di eliminare questo
automatismo. La prof mi minacciò che se non l'avessi
piantata non mi avrebbe ammesso alla maturità e chi
sa perché, da quel momento mi ricordai :D

[Poincarè]

On 24 Ott, 18:57, Archaeopteryx

Post by Archaeopteryx
hihih,

Che fai te la ridi? Soghigni? Tanto prima o poi ti becca pure a
te. :P)

Ciao
Poincarè

P.S. Guarda che scherzo, è meglio precisare. ;-)

[Archaeopteryx]

Post by Poincarè

Post by Archaeopteryx
hihih,

Che fai te la ridi? Soghigni? Tanto prima o poi
ti becca pure a te. :P)

lo temo pure io, LOL

Post by Poincarè
P.S. Guarda che scherzo, è meglio precisare. ;-)

no prob, era molto chiaro :)