Classico problema calcolo (spazzaneve)

[Sergio]

Ciao...

Sono stato pensando al classicissimo (come si dice, questo problema
non è classico, questo problema lo chiamano Il Chisciotte...) dello
spazzaneve, già sapete. Lo so che è triviale, ma a volte mi incasino
nelle cose più assurde... Come lo risolvereste voi?

Grazie...

Sergio

P.S.: Il problema, sarebbe, più o meno così. Un giorno iniziò a
nevicare al mattino. La quantità di neve che cadeva era costante. Uno
spazzaneve parte alle 12 di mezzogiorno e la sua velocità è inversa
all'altezza della neve (
velocità*altezza_della_neve_per_terra=costante). Tra le 12 e le 2 , lo
spazzaneve pulisce due miglie di strada. Tra le 2 e le 4 del
pomeriggio, pulisce una miglia di strada. A che ora iniziò a nevicare?

[Svante]

[CUT]

Post by Sergio
P.S.: Il problema, sarebbe, più o meno così. Un giorno iniziò a
nevicare al mattino. La quantità di neve che cadeva era costante. Uno
spazzaneve parte alle 12 di mezzogiorno e la sua velocità è inversa
all'altezza della neve (
velocità*altezza_della_neve_per_terra=costante). Tra le 12 e le 2 , lo
spazzaneve pulisce due miglie di strada. Tra le 2 e le 4 del
pomeriggio, pulisce una miglia di strada. A che ora iniziò a nevicare?

Ciao Sergio,
premetto che non conosco bene la matematica e quindi potrei dire
sciocchezze, quindi prendi con le molle.
Definiamo:
v : velocità dello spazzaneve
h : altezza della neve al suolo
t : tempo
x : spazio percorso dallo spazzaneve

Allora:

v = K/h ; K costante che non ci è nota
v = dx/dt
h = Ht ; anche H è una costante non nota

v = K/(Ht)

dx/dt = K/(Ht)

questa è un'equazione differenziale a variabili separabili e può essere
risolta per integrazione:

[x2, x1]dx = K/H[t2, t1]dt/t

(non so se si capisce, ma non so qual'è la convenzione che si usa qui)

La soluzione dell'integrale dà:

(x2 - x1) = K/H ln(t2/t1).

Dalle informazioni che offre l'enunciato del problema possiamo ottenere
due equazioni:

2 = K/H ln(t/t+2)
1 = K/H ln(t+2/t+4)

Se si pone K/H = a

2 = a ln(t/t+2)
1 = a ln(t+2/t+4)

a = 1/ln(t+2/t+4)

2 ln(t+2/t+4) = ln(t/t+2)

(t+2/t+4)^2 = (t/t+2)

Semplificando si ottiene un'equazione di 2° grado, di cui la soluzione
positiva è rad(5) - 1 = 1.25 circa.
Quindi dovrebbe aver cominciato a nevicare alle 10.45 circa.
Ciao.

[5anelli]

Se non ho commesso errori madornali la soluzione è: alle 10:45:50.
Essendo K' la costante di proporzionalità tra altezza della neve da
terra (h) e tempo (t), si ha che alle 12:00 (t0) l'altezza della neve
è h0=K'*t0, mentre
alle 14:00 l'altezza della neve è h(t0+T)=K'*(t0+T), dove T=2 ore.
Essendo inoltre h(t)*v(t)=c (dove v è la velocità dello spazzaneve),
posto
K=K'/c, si può scrivere:

T T
S(1/K(t0+t))dt = 2*S(1/K(t0+T+t))dt
0 0

dove S sta per il simbolo dell'integrale.

Calcolando gli integrali e semplificando la costante K si ha:

ln((t0+T)/t0) = ln((t0+2T)/(t0+T))^2

Uguagliando gli argomenti del logaritmo e facendo le opportune
semplificazioni si perviene all'equazione:

(t0)^2 + t0*T - T^2 = 0

che ha come unica soluzione ammissibile t0=T*(sqrt(5)-1)/2, cioè

1 ora, 14 minuti e 9.8 secondi circa.

Ciao!

Post by Sergio
Ciao...
Sono stato pensando al classicissimo (come si dice, questo problema
non è classico, questo problema lo chiamano Il Chisciotte...) dello
spazzaneve, già sapete. Lo so che è triviale, ma a volte mi incasino
nelle cose più assurde... Come lo risolvereste voi?
Grazie...
Sergio
P.S.: Il problema, sarebbe, più o meno così. Un giorno iniziò a
nevicare al mattino. La quantità di neve che cadeva era costante. Uno
spazzaneve parte alle 12 di mezzogiorno e la sua velocità è inversa
all'altezza della neve (
velocità*altezza_della_neve_per_terra=costante). Tra le 12 e le 2 , lo
spazzaneve pulisce due miglie di strada. Tra le 2 e le 4 del
pomeriggio, pulisce una miglia di strada. A che ora iniziò a nevicare?