Post by s***@yahoo.itQuando si parla della ipotesi di Riemann tra le varie cose difficili
da comprendere( almeno per me),
ho trovato anche frasi del tipo : zeri non banali .........., c ' e'
un modo semplice per spiegare cosa
significa zeri non banali ? questo presuppone che esistono anche zeri
banali ?
gli zeri banali di zeta sono gli interi negativi pari -2n, per ogni n
naturale. Precisiamo: e' ovvio che, qualunque sia n naturale, la serie
1/1^(-2n) + 1/2^(-2n) + 1/3^(-2n) + 1/4^(-2n) + ....
diverge, altro che convergere a 0. Dire quindi che zeta(-2n)=0 e'
inesatto, se con zeta(s) si intende semplicemente la serie dei termini
1/n^s. Come si legge nel seguito, la serie converge solo quando s ha
parte reale maggiore di 1 ed evidentemente un negativo pari non ha
questo requisito. Del resto, si dimostra che esiste una funzione zeta
complessa di variabile complessa che prolunga analiticamente la serie
a tutto il piano complesso tranne {1}. Cioe' zeta(s) coincide con la
serie 1/n^s per s con parte reale maggiore di 1, ma e' definita anche
per tutti i numeri complessi diversi da 1, negativi pari compresi.
Infatti si puo' dimostrare che
zeta(s) = 1/2 + 1/(s-1) + s/12 - s(s+1)(s+2)/3!*
integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
[dove la funzione S3(x) e' definita come t^3-3/2 t^2 + 1/2 t, essendo
t la parte frazionaria di x]
coincide con 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s .... per ogni s>1. Tuttavia
l'integrale che c'e' nella definizione data sopra e' convergente anche
per s<1; cosi', zeta(-2n) e' definita, e calcolandola si nota che vale
0. Ciao