Quinto postulato.

[Tetis]

In questa versione degli elementi:

http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati

il quinto postulato è così formulato:

se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa
parte (rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B
e C la cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate
dalla medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.

Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante,
sono congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta
generalmente una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti
dedotto dal teorema dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V
postulato: " la parallela ad una retta data, condotta per un punto
esterno a essa esiste ed è unica "

Il teorema dell'angolo esterno poggia, nelle versioni moderne, sul
primo criterio di congruenza e sugli assiomi di ordinamento. Quindi a
prima vista, leggendo questa forma del postulato ho pensato ad una
ridondanza.

Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale,
ovvero quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato
venga meno la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali
considerati oggi indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

[Enrico Gregorio]

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa
parte (rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B
e C la cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate
dalla medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante,
sono congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta
generalmente una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti
dedotto dal teorema dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V
postulato: " la parallela ad una retta data, condotta per un punto
esterno a essa esiste ed è unica "
Il teorema dell'angolo esterno poggia, nelle versioni moderne, sul
primo criterio di congruenza e sugli assiomi di ordinamento. Quindi a
prima vista, leggendo questa forma del postulato ho pensato ad una
ridondanza.
Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale,
ovvero quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato
venga meno la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali
considerati oggi indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

Le due forme, per quanto mi consta, sono del tutto equivalenti.
Perché Euclide lo enuncia in questo modo? Semplice: voleva un
enunciato positivo, che dica "le rette si incontrano". Non
dimenticare che per Euclide le rette sono segmenti, potenzialmente
prolungabili; non considera mai la retta "tutta intera".

Ciao
Enrico

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa
parte (rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B
e C la cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate
dalla medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante,
sono congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta
generalmente una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti
dedotto dal teorema dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V
postulato: " la parallela ad una retta data, condotta per un punto
esterno a essa esiste ed è unica "
Il teorema dell'angolo esterno poggia, nelle versioni moderne, sul
primo criterio di congruenza e sugli assiomi di ordinamento. Quindi a
prima vista, leggendo questa forma del postulato ho pensato ad una
ridondanza.
Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale,
ovvero quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato
venga meno la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali
considerati oggi indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

Le due forme, per quanto mi consta, sono del tutto equivalenti.
Perché Euclide lo enuncia in questo modo?

Non sarei così certo che Euclide lo enunci in questo modo, per quanto è
possibile, ma considera che quella di Wikipedia è una versione
post-rinascimentale degli elementi. Di edizione in edizione si trovano
differenze a volte considerevoli nel corso dei millenni, perché non
c'erano solo copisti, alcuni studiosi avevano anche velleità
matematiche ed alcuni autentico talento matematico.

Post by Enrico Gregorio
Semplice: voleva un
enunciato positivo, che dica "le rette si incontrano". Non
dimenticare che per Euclide le rette sono segmenti, potenzialmente
prolungabili; non considera mai la retta "tutta intera".
Ciao
Enrico

E sia pure, ma di un fatto bisogna prendere atto c'è il teorema
dell'uguaglianza fra gli angoli alterni interni che in questa
impostazione richiede solo il quinto postulato senza ricorrere al
teorema dell'angolo esterno il quale per contro può essere dimostrato
senza affatto il quinto postulato. Allora c'è una ridondanza? Cioè un
medesimo risultato può essere dimostrato per via di un assioma più
debole che poi implica la forma più forte del V postulato. A livello di
sistema saranno pure due formulazioni equivalenti, senza teoremi in più
né in meno, ma a livello di composizione c'è qualche ipotesi che viene
ripetuta due volte, è possibile?

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa
parte (rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B
e C la cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate
dalla medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante,
sono congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta
generalmente una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti
dedotto dal teorema dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V
postulato: " la parallela ad una retta data, condotta per un punto
esterno a essa esiste ed è unica "
Il teorema dell'angolo esterno poggia, nelle versioni moderne, sul
primo criterio di congruenza e sugli assiomi di ordinamento. Quindi a
prima vista, leggendo questa forma del postulato ho pensato ad una
ridondanza.
Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale,
ovvero quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato
venga meno la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali
considerati oggi indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

Le due forme, per quanto mi consta, sono del tutto equivalenti.
Perché Euclide lo enuncia in questo modo? Semplice: voleva un
enunciato positivo, che dica "le rette si incontrano". Non
dimenticare che per Euclide le rette sono segmenti, potenzialmente
prolungabili; non considera mai la retta "tutta intera".
Ciao
Enrico

Su wikipedia, solo adesso mi sono risolto a guardare la voce
corrispondente al V postulato, la forma adottata dai testi moderni che
è quella che ho sempre incontrato nei testi delle scuole superiori, per
lo meno dal dopoguerra, viene indicata con il nome di assioma di
Playfair.

C'è in proposito scritto questo:

"Va però notato che quello di Playfair è un assioma più restrittivo,
che implica quello di Euclide, ma non ne è implicato. Esistono teorie
geometriche (geometrie ellittiche) nelle quali due rette si incontrano
sempre; in esse il postulato di Euclide è ovviamente vero e quello di
Playfair ovviamente falso."

A me però risulta che la geometria ellittica è incompatibile con gli
assiomi di ordinamento euclidei (di certo con quelli della sistemazione
hilbertiana) quindi il modello ellittico non implica che l'assioma di
Playfair non sia dimostrabile assumendo gli assiomi di ordinamento. Da
quello che scrivi a te risulta infatti il contrario. Dove si trova
riportata una dimostrazione in tal senso?

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa parte
(rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B e C la
cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate dalla
medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante, sono
congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta generalmente
una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti dedotto dal teorema
dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V postulato: " la
parallela ad una retta data, condotta per un punto esterno a essa esiste
ed è unica "
Il teorema dell'angolo esterno poggia, nelle versioni moderne, sul primo
criterio di congruenza e sugli assiomi di ordinamento. Quindi a prima
vista, leggendo questa forma del postulato ho pensato ad una ridondanza.
Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale, ovvero
quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato venga meno
la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali considerati oggi
indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

Le due forme, per quanto mi consta, sono del tutto equivalenti.
Perché Euclide lo enuncia in questo modo? Semplice: voleva un
enunciato positivo, che dica "le rette si incontrano". Non
dimenticare che per Euclide le rette sono segmenti, potenzialmente
prolungabili; non considera mai la retta "tutta intera".
Ciao
Enrico

Su wikipedia, solo adesso mi sono risolto a guardare la voce corrispondente
al V postulato, la forma adottata dai testi moderni che è quella che ho
sempre incontrato nei testi delle scuole superiori, per lo meno dal
dopoguerra, viene indicata con il nome di assioma di Playfair.
"Va però notato che quello di Playfair è un assioma più restrittivo, che
implica quello di Euclide, ma non ne è implicato. Esistono teorie geometriche
(geometrie ellittiche) nelle quali due rette si incontrano sempre; in esse il
postulato di Euclide è ovviamente vero e quello di Playfair ovviamente
falso."
A me però risulta che la geometria ellittica è incompatibile con gli assiomi
di ordinamento euclidei (di certo con quelli della sistemazione hilbertiana)
quindi il modello ellittico non implica che l'assioma di Playfair non sia
dimostrabile assumendo gli assiomi di ordinamento. Da quello che scrivi a te
risulta infatti il contrario. Dove si trova riportata una dimostrazione in
tal senso?

Wiki in lingua inglese riporta notizia della dimostrazione inversa:
dati i primi cinque postulati classici l'assioma di Playfair è un
teorema. E siccome è vero anche il contrario che cioè dai primi quattro
postulati e quello di Playfair il V postulato classico segue come
teorema allora le due geometrie sono equivalenti.

Però anche wiki inglese non si esime dal fare un'osservazione simile a
quella che ho riportato prima: dice cioè che il postulato di Playfair
non segue dal solo V postulato (scommetterei che nemmeno il converso è
vero) e porta come esempio quello della geometria ellittica. Questa
questione della "forza" relativa del postulato di Playfair rispetto a
quella del V postulato mi sembra quindi che non sia ben posta in questi
termini.


Tornando alla questione che volevo porre io, della "ridondanza" la
situazione è questa:

indico con GG (geometria genarale) il sistema hilbertiano, comprensivo
primi quattro postulati ma senza postulato delle parallele, indico con
GEH (geometria euclidea hilbertiana che usa come V postulato la
versione di Playfair) , indico infine con GEE (la geometria hilbertiana
in cui il V postulato è formulato nella versione euclidea).

Indico poi con T il teorema che asserisce l'uguaglianza degli angoli
alterni interni fra due parallele ed una secante comune. Indico con E
il teorema degli angoli esterni ed indico con R la proposizione che
asserisce che data una retta r, un punto R, che divide r nelle
semirette r1 ed r2 ed una semiretta s da R risulta allora che gli
angoli compresi fra r1,s ed r2,s hanno somma congruente a due angoli
retti.

in GEE per dimostrare T bastano le definizioni, R ed il V postulato
(versione euclidea)

in GEH per dimostrare T occorre E ed il V postulato (versione Playfair)

il punto è che se R ed E dipendono strettamente dai medesimi postulati
allora il problema che mi ponevo non sussiste, se però R dipende da
meno assiomi che E allora T è un teorema di GEE e GEH che in GEE può
essere dimostrato in due modi non equivalenti (passando per R, oppure
passando per E) mentre in GEH la prima dimostrazione non è possibile.

Possiamo dire allora che T, in GEE è un teorema con un maggior grado di
ridondanza che in GEH?

Avendo svolto questo percorso di precisazione dell'intuizione iniziale
direi che una definizione precisa dell'idea è tutt'altro che semplice
da dare e poi da verificare, e comunque non è un concetto che riguarda
il sistema nel suo complesso ma solo i singoli teoremi. Essenzialmente
in due diverse formulazioni può succedere che alcuni teoremi dipendano
da due sottosistemi minimali non equivalenti di ipotesi.

[Enrico Gregorio]

Post by Tetis
Su wikipedia, solo adesso mi sono risolto a guardare la voce
corrispondente al V postulato, la forma adottata dai testi moderni che
è quella che ho sempre incontrato nei testi delle scuole superiori, per
lo meno dal dopoguerra, viene indicata con il nome di assioma di
Playfair.
"Va però notato che quello di Playfair è un assioma più restrittivo,
che implica quello di Euclide, ma non ne è implicato. Esistono teorie
geometriche (geometrie ellittiche) nelle quali due rette si incontrano
sempre; in esse il postulato di Euclide è ovviamente vero e quello di
Playfair ovviamente falso."

A me pare una bella sciocchezza. Il postulato di Euclide dice anche
"da che parte" si incontrano le rette e quindi richiede la nozione
di semipiano, che in geometria ellittica è priva di senso. Quindi
dire che il postulato di Euclide è "ovviamente vero" in geometria
ellittica è sbagliato.

Post by Tetis
A me però risulta che la geometria ellittica è incompatibile con gli
assiomi di ordinamento euclidei (di certo con quelli della sistemazione
hilbertiana) quindi il modello ellittico non implica che l'assioma di
Playfair non sia dimostrabile assumendo gli assiomi di ordinamento. Da
quello che scrivi a te risulta infatti il contrario. Dove si trova
riportata una dimostrazione in tal senso?

Non sono sicuro di capire che cosa intendi dicendo che a me
risulta il contrario.

Ciao
Enrico

[Oceano]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
"Va però notato che quello di Playfair è un assioma più restrittivo,
che implica quello di Euclide, ma non ne è implicato. Esistono teorie
geometriche (geometrie ellittiche) nelle quali due rette si incontrano
sempre; in esse il postulato di Euclide è ovviamente vero e quello di
Playfair ovviamente falso."

A me pare una bella sciocchezza.

Il supporto fisico-chimico di questo pensiero è il medesimo di quello che
genera il pensiero di socratis come di altre persone che abitano questo
cervello che li genera.

Post by Enrico Gregorio
Il postulato di Euclide dice anche
"da che parte" si incontrano le rette e quindi richiede la nozione
di semipiano, che in geometria ellittica è priva di senso.

Quando si tratta di socratetis neppure entro più in topic ormai e cerco di
capire il perché abbia posto quel tipo di problema. Non è solo socratis ad
essere ossessionato dalla matematica che lui chiama standard ma anche tetis
più di una volta pone problemi apparentemente fuori dalla logica tunze e noto
che anche tu te ne stai accorgendo.

Post by Enrico Gregorio
Quindi
dire che il postulato di Euclide è "ovviamente vero" in geometria
ellittica è sbagliato.

Però hai notato come lo dice in modo più convincente? A differenza di
socratis che subito la spara grossa, tetis prova a ragionarci in maniera più
approfondita e però poi giunge alla conclusione sbagliata che cerca
ovviamente di difendere con le solite arrampicate sugli specchi.

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
A me però risulta che la geometria ellittica è incompatibile con gli
assiomi di ordinamento euclidei (di certo con quelli della sistemazione
hilbertiana) quindi il modello ellittico non implica che l'assioma di
Playfair non sia dimostrabile assumendo gli assiomi di ordinamento. Da
quello che scrivi a te risulta infatti il contrario. Dove si trova
riportata una dimostrazione in tal senso?

Non sono sicuro di capire che cosa intendi dicendo che a me
risulta il contrario.

Non sei mica il solo nell'avere difficoltà nel capire questo "pensiero":)

Ciao
Oceano

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
Su wikipedia, solo adesso mi sono risolto a guardare la voce
corrispondente al V postulato, la forma adottata dai testi moderni che
è quella che ho sempre incontrato nei testi delle scuole superiori, per
lo meno dal dopoguerra, viene indicata con il nome di assioma di
Playfair.
"Va però notato che quello di Playfair è un assioma più restrittivo,
che implica quello di Euclide, ma non ne è implicato. Esistono teorie
geometriche (geometrie ellittiche) nelle quali due rette si incontrano
sempre; in esse il postulato di Euclide è ovviamente vero e quello di
Playfair ovviamente falso."

A me pare una bella sciocchezza. Il postulato di Euclide dice anche
"da che parte" si incontrano le rette e quindi richiede la nozione
di semipiano, che in geometria ellittica è priva di senso. Quindi
dire che il postulato di Euclide è "ovviamente vero" in geometria
ellittica è sbagliato.

in realtà dipende da come si intende "dalla stessa parte" localmente i
postulati d'ordinamento continuano ad aver senso, quindi se "dalla
stessa parte" significa che fissato localmente un verso lungo le due
rette, rispetto alla secante, si trova un punto di intersezione
procedendo in quel verso, allora il postulato in forma classica è vero.

Il fatto che esista un punto di intersezione anche procedendo nel
verso contrario è un di più che non sposta la verità della
proposizione.

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
A me però risulta che la geometria ellittica è incompatibile con gli
assiomi di ordinamento euclidei (di certo con quelli della sistemazione
hilbertiana) quindi il modello ellittico non implica che l'assioma di
Playfair non sia dimostrabile assumendo gli assiomi di ordinamento. Da
quello che scrivi a te risulta infatti il contrario. Dove si trova
riportata una dimostrazione in tal senso?

Non sono sicuro di capire che cosa intendi dicendo che a me
risulta il contrario.

Intendevo: scrivevi che l'assioma di Playfair è equivalente al V
postulato in forma classica. Quindi a te risulta che l'assioma di
Playfair è dimostrabile se si assumono tutti gli assiomi euclidei ed il
V postulato, contrariamente a quanto dice Wikipedia (italiano).
Wikipedia (english) è come di consueto più precisa: non dice che
l'assioma di Playfair non è implicato dal postulato di Euclide, ma che
esistono geometrie in cui è vero il secondo senza esser vero il primo.

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

[Massimo]

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa parte
(rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B e C la
cui somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate dalla
medesima parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante, sono
congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta generalmente
una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti dedotto dal teorema
dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V postulato: " la
parallela ad una retta data, condotta per un punto esterno a essa esiste
ed è unica "

Gli assiomi di Hilbert contengono il postulato nella forma
moderna.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms

Domande.

1. Quando nei testi italiani il postulato è comparso in tale forma?
Prima o dopo Hilbert?

2. Non mi è mai piaciuto l'assioma di Pasch, finalmente dopo 30 anni
scopro che è inutile. Che ne pensi?
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms#Hilbert.27s_discarded_axiom

PS. Problemi simili, collegati anche a questioni di didattica della
geometria
si hanno pure con gli assiomi di continuità.

Spesso li ho sintetizzati nella forma piuttosto "libera" ma facilmente
comprensibile in una prima superiore:
" esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri
reali"



__________ Informazioni da ESET Smart Security, versione del database delle firme digitali 7704 (20121118) __________

Il messaggio è stato controllato da ESET Smart Security.

www.nod32.it

[Tetis]

Post by Massimo

Post by Tetis
http://it.wikibooks.org/wiki/Elementi_di_Euclide/Libro_I-Postulati
se una retta a interseca due rette b,c nei punti B,C e dalla stessa parte
(rispetto a ciascuna delle tre rette) si trovino due angoli in B e C la cui
somma supera due retti allora le due rette b,c prolungate dalla medesima
parte (rispetto alla retta a) si intersecano.
Avendo un postulato così potente risulta immediato il teorema che gli
angoli alterni interni fra due rette parallele ed una comune secante, sono
congruenti. Tuttavia nei libri moderni questo teorema risulta generalmente
una conquista piuttosto indiretta, esso viene infatti dedotto dal teorema
dell'angolo esterno unito alla seguente forma del V postulato: " la
parallela ad una retta data, condotta per un punto esterno a essa esiste ed
è unica "

Gli assiomi di Hilbert contengono il postulato nella forma
moderna.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms
Domande.
1. Quando nei testi italiani il postulato è comparso in tale forma?
Prima o dopo Hilbert?
2. Non mi è mai piaciuto l'assioma di Pasch, finalmente dopo 30 anni
scopro che è inutile. Che ne pensi?
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms#Hilbert.27s_discarded_axiom

Ma non mi pare che sia l'assioma di Pasch quello, è il teorema di
Pasch, l'assima di Pasch è questo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pasch%27s_axiom

E' vero che Hilbert incluse inizialmente un assioma ridondante, ma io
non ne avevo mai sentito parlare.

Post by Massimo
PS. Problemi simili, collegati anche a questioni di didattica della geometria
si hanno pure con gli assiomi di continuità.
Spesso li ho sintetizzati nella forma piuttosto "libera" ma facilmente
" esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri
reali"

[Oceano]

Post by Tetis
Nel senso che magari questa forma del V postulato non è minimale,
ovvero quel che suppongo è che togliendo questa forma del V postulato
venga meno la possibilità di dimostrare teoremi fondamentali
considerati oggi indipendenti dal V postulato. Mi sbaglio?

Come mai insisti nel mettere il punto alla fine della frase nel titolo di
questo come di altri tuoi threads? Ti è stato detto diverse volte sia da
me che da altri che questo è un errore. Sei solo tu e socratis che
insistete in questo errore.