Poliedri regolari convessi

[Maria Paola]

Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.

Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Grazie.

[mat & mat]

Post by Maria Paola
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Dai un'occhiata qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Solidi_platonici
troverai il raggio della sfera inscritta e circoscritta a ciascuno di
loro. Prova a ricavare i valori che trovi e intanto che ci pensi,
vedrai che al risultato che vuoi ci arrivi da sola, che è sempre la
miglior soluzione.
Ciao
M&M

[Maurizio Frigeni]

Post by Maria Paola
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Suggerimento: il centro di un triangolo equilatero si trova sulla sua
altezza ad una distanza dalla base che 1/3 dell'altezza stessa.

Post by Maria Paola
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Basta un disegno per accorgersi che il lato dell'ottaedro duale è uguale
a sqrt(2) volte la metà del lato del cubo. E' poi facile trovare il
volume dell'ottaedro (due piramidi sovrapposte).

Maurizio

[Maria Paola]

forse non hai letto bene, io parlavo di tetraedro regolare con dentro un
altro teraedro regolare, l'ottaedro non c'è.

Post by Maurizio Frigeni

Post by Maria Paola
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Suggerimento: il centro di un triangolo equilatero si trova sulla sua
altezza ad una distanza dalla base che 1/3 dell'altezza stessa.

Post by Maria Paola
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Basta un disegno per accorgersi che il lato dell'ottaedro duale è uguale
a sqrt(2) volte la metà del lato del cubo. E' poi facile trovare il
volume dell'ottaedro (due piramidi sovrapposte).
Maurizio

[A. Caranti]

forse non hai letto bene, io parlavo di tetraedro regolare con
dentro un altro teraedro regolare, l'ottaedro non c'è.

Forse non hai letto bene tu la seconda domanda che avevi scritto, tu

Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i
vertici nei centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Ora, il duale del cubo, anche se nella domanda (apparentemente) non
c'e', e' proprio un ... ?

Andreas

[Maria Paola]

Si, pensavo fosse la risposta alla prima domanda.

forse non hai letto bene, io parlavo di tetraedro regolare con
dentro un altro teraedro regolare, l'ottaedro non c'è.

Forse non hai letto bene tu la seconda domanda che avevi scritto, tu

Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i
vertici nei centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Ora, il duale del cubo, anche se nella domanda (apparentemente) non
c'e', e' proprio un ... ?

Andreas

[Maria Paola]

Sorry ho letto la 2^ risposta per la 1^.

A me viene, per la 2^ questione, che il volume dell'ottaedro è 1/6 di quello
del cubo

Continuo invece a non capire come arrivare a dimostrare che il rapporto di
similitudine tra i due tetraedri è 1/3

Post by Maurizio Frigeni

Post by Maria Paola
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Suggerimento: il centro di un triangolo equilatero si trova sulla sua
altezza ad una distanza dalla base che 1/3 dell'altezza stessa.

Post by Maria Paola
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?

Basta un disegno per accorgersi che il lato dell'ottaedro duale è uguale
a sqrt(2) volte la metà del lato del cubo. E' poi facile trovare il
volume dell'ottaedro (due piramidi sovrapposte).
Maurizio

[Maurizio Frigeni]

Post by Maria Paola
A me viene, per la 2^ questione, che il volume dell'ottaedro è 1/6 di quello
del cubo

OK.

Post by Maria Paola
Continuo invece a non capire come arrivare a dimostrare che il rapporto di
similitudine tra i due tetraedri è 1/3

Considera le due facce del tetraedro ABCD che hanno in comune lo spigolo
AB. Se M è il punto medio di AB e O il centro della faccia ABC, è noto
che OM = (1/3)CM (teorema del baricentro); analogamente si ragiona sulla
faccia ABD. Guardando il triangolo MCD si vede subito (similitudine) che
il segmento che congiunge i centri delle due facce è 1/3 di CD.

Maurizio

[fm2766]

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Sei tu che su iis ti chiami "Giacomo"?


Sia ABCD un tetraedro, di volume V; vogliamo valutare il volume V' del
tetraedro duale;
considera due facce del tetraedro ABCD, siano la faccia ABC e la faccia
ABD.

Chiamiamo O il centro della faccia ABC (NB: in un triangolo non ha senso
parlare di centro, ma si parla di baricentro, ortocentro, incentro,
circocentro, ...; poiché questi coincidono se il triangolo è equilatero,
assumiamo che per centro del triangolo si intenda proprio il
bari-orto-in-circo-centro);
chiamiamo O' il centro della faccia ABD;

Il rapporto di similitudine è il rapporto
r=OO'/BC (1).

Per ABC sia BC la base, ed M il suo punto medio (BM=CM).
si dimostra che
AO=2OM (questo lo diamo per noto) (2);

Sia RS il segmento parallelo a BC passante per O (R è dal lato di B). Si
ottiene il triangolo ORO', equilatero anch'esso (sorvolo sulla
dimostrazione, perché banale; per convincertene, considera il triangolo
BMN, dove N punto medio di BD).

Per la similitudine (disegna, sennò non si capisce!) applicata ai
triangoli ARO ed ABM,
RO:BM=AO:AM => RO=AO*BM/AM => RO=AO*BM/(AO+OM)

Dalla (2)
RO=2OM*BM/(2OM+OM)=2OM*BM/(3OM)=(2/3)BM=(2/3)(BC/2)=BC/3
poiché il triangolo ORO' è equilatero, OO'=RO=BC/3

Dalla (1)
r=(BC/3)/BC=1/3 cdv

[Maria Paola]

Sorry, non la capisco.

Post by fm2766

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle
due domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un
tetraedro regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce
del primo?

Sei tu che su iis ti chiami "Giacomo"?
Sia ABCD un tetraedro, di volume V; vogliamo valutare il volume V' del
tetraedro duale;
considera due facce del tetraedro ABCD, siano la faccia ABC e la faccia
ABD.
Chiamiamo O il centro della faccia ABC (NB: in un triangolo non ha senso
parlare di centro, ma si parla di baricentro, ortocentro, incentro,
circocentro, ...; poiché questi coincidono se il triangolo è equilatero,
assumiamo che per centro del triangolo si intenda proprio il
bari-orto-in-circo-centro);
chiamiamo O' il centro della faccia ABD;
Il rapporto di similitudine è il rapporto
r=OO'/BC (1).
Per ABC sia BC la base, ed M il suo punto medio (BM=CM).
si dimostra che
AO=2OM (questo lo diamo per noto) (2);
Sia RS il segmento parallelo a BC passante per O (R è dal lato di B). Si
ottiene il triangolo ORO', equilatero anch'esso (sorvolo sulla
dimostrazione, perché banale; per convincertene, considera il triangolo
BMN, dove N punto medio di BD).
Per la similitudine (disegna, sennò non si capisce!) applicata ai
triangoli ARO ed ABM,
RO:BM=AO:AM => RO=AO*BM/AM => RO=AO*BM/(AO+OM)
Dalla (2)
RO=2OM*BM/(2OM+OM)=2OM*BM/(3OM)=(2/3)BM=(2/3)(BC/2)=BC/3
poiché il triangolo ORO' è equilatero, OO'=RO=BC/3
Dalla (1)
r=(BC/3)/BC=1/3 cdv

[fm2766]

Post by Maria Paola
Sorry, non la capisco.

Post by fm2766

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle
due domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un
tetraedro regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce
del primo?

Sei tu che su iis ti chiami "Giacomo"?
Sia ABCD un tetraedro,

Cancella il riferimento al volume. Faceva parte di una prima versione
della risposta, che avrei dovuto cancellare...

Post by Maria Paola

Post by fm2766
di volume V; vogliamo valutare il volume V' del
tetraedro duale;
considera due facce del tetraedro ABCD, siano la faccia ABC e la faccia
ABD.
Chiamiamo O il centro della faccia ABC (NB: in un triangolo non ha senso
parlare di centro, ma si parla di baricentro, ortocentro, incentro,
circocentro, ...; poiché questi coincidono se il triangolo è equilatero,
assumiamo che per centro del triangolo si intenda proprio il
bari-orto-in-circo-centro);
chiamiamo O' il centro della faccia ABD;
Il rapporto di similitudine è il rapporto
r=OO'/BC (1).
Per ABC sia BC la base, ed M il suo punto medio (BM=CM).
si dimostra che
AO=2OM (questo lo diamo per noto) (2);
Sia RS il segmento parallelo a BC passante per O (R è dal lato di B). Si
ottiene il triangolo ORO', equilatero anch'esso (sorvolo sulla
dimostrazione, perché banale; per convincertene, considera il triangolo
BMN, dove N punto medio di BD).
Per la similitudine (disegna, sennò non si capisce!) applicata ai
triangoli ARO ed ABM,
RO:BM=AO:AM => RO=AO*BM/AM => RO=AO*BM/(AO+OM)
Dalla (2)
RO=2OM*BM/(2OM+OM)=2OM*BM/(3OM)=(2/3)BM=(2/3)(BC/2)=BC/3
poiché il triangolo ORO' è equilatero, OO'=RO=BC/3
Dalla (1)
r=(BC/3)/BC=1/3 cdv

Prova con le pagine 190-191 di
http://www.lemonnier.it/riviste/archimede/archimede/esamestato/Arch4-2003-Cacciatore.pdf
Lì ci sono le figure. La dimostrazione è un po' diversa dalla mia.

Altrimenti, dimmi fin dive capisci, e ti verrò in aiuto.

[gantor]

Post by fm2766
Altrimenti, dimmi fin dive capisci, e ti verrò in aiuto.

sinceramente penso che a questa persona non interessi molto capire la
dimostrazione ma piuttosto trovare una soluzione facile e pronta. Si
nota dal tenore del post. Poi si lamenta che nell'altro newsgroup
nessuno gli abbia fornito la soluzione. E' un quesito di maturità e
molto probabilmente il suo insegnante l'ha assegnato come compito per
casa o da fare in classe. Infatti nel primo post chiede semplicemente
che gli si dica come si fa punto e basta. Di solito quando qualcuno qui
nel newsgroup è incasinato con qualche problema non posta solo la
richiesta di soluzione ma delinea ad esempio quali passi ha affrontato
per risolverlo e a quali difficoltà è andato incontro. Insomma alla fine
abbiamo dato una soluzione pronta in scatola ad un altro studente
incapace a muovere il culo fino in biblioteca per riguardarsi i vecchi
quesiti di maturità...anzi sarebbe bastata una semplice ricerca in
internet.

[fm2766]

Post by gantor

Post by fm2766
Altrimenti, dimmi fin dive capisci, e ti verrò in aiuto.

sinceramente penso che a questa persona non interessi molto capire la
dimostrazione ma piuttosto trovare una soluzione facile e pronta. Si
nota dal tenore del post. Poi si lamenta che nell'altro newsgroup
nessuno gli abbia fornito la soluzione. E' un quesito di maturità e
molto probabilmente il suo insegnante l'ha assegnato come compito per
casa o da fare in classe. Infatti nel primo post chiede semplicemente
che gli si dica come si fa punto e basta. Di solito quando qualcuno qui
nel newsgroup è incasinato con qualche problema non posta solo la
richiesta di soluzione ma delinea ad esempio quali passi ha affrontato
per risolverlo e a quali difficoltà è andato incontro. Insomma alla fine
abbiamo dato una soluzione pronta in scatola ad un altro studente
incapace a muovere il culo fino in biblioteca per riguardarsi i vecchi
quesiti di maturità...anzi sarebbe bastata una semplice ricerca in
internet.

Mi sa che hai ragione, ma me ne sono accorto tardi.
Starò più attento (a non sprecare così il mio ed il vostro tempo) in futuro.

[gantor]

Post by fm2766
Mi sa che hai ragione, ma me ne sono accorto tardi.
Starò più attento (a non sprecare così il mio ed il vostro tempo) in futuro.

No beh non preoccuparti. E' che di studenti del genere ne conosco fin
troppi. Poi arrivano a scuola con la soluzioncina pronta e non capiscono
un tubo perché nemmeno si preoccupano di ripassarla...praticamente ci ha
usati tutti...
Quello che appunto mi sconcerta è che adesso possano trovare tutto
pronto. Non si è nemmeno posto il problema di abbozzare una soluzione
seppur sbagliata. Ha fatto una richiesta perentoria e sull'altro
newsgroup si è persino permesso (permessa boh) di smerdarci come
insegnanti.

[minnolina]

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?
Grazie.

http://www.studenti.it/download/mate_utente.pdf

[Tetis]

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?

Consideriamo un caso più generale.
ABCD sono i vertici di un tetraedro.
Al centro della faccia opposta ad A
sia il punto (B+C+D)/3, al centro della
faccia opposta a B sia (A+C+D)/3.
La differenza vettoriale fra questi punti
è (A-B)/3. Ovvero un segmento parallelo ad
AB e lungo 1/3 di AB. Gli altri tre segmenti
sono nel medesimo rapporto con BC,CD,AD.

Post by Maria Paola
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?
Grazie.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Tetis]

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?
Grazie.

Alio modo: coincidono il baricentro dei punti ABCD
e dei punti A' (centro della faccia BCD opposta ad A),
B', C', D' (centri facce opposte a B, C e D rispettivamente)
[(A+B+C)/3 + (B+C+D)/3+(C+D+A)/3+(D+A+B)/3]/4 = (A+B+C+D)/4=H
e dunque: A' = H -HA/3 B'=H-HB/3 C'=H-HB/3, D'=H-HB/3 (A',A,H allineati).
Ergo se l'immagine riflessa di ABCD è simile ad ABCD pure A'B'C'D' lo è.
Basta (e necessita) alla similitudine un piano di simmetria, ovvero due
facce contigue isosceli con base comune. La similitudine è quindi
l'eccezione più che la regola, ergo la difficoltà d'intuizione.

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Tetis]

Post by Maria Paola
Se qualche persona gentile mi potesse aiutare a trovare la risposta alle due
domande sotto indicate, mi farebbe molto piacere.
Come si può trovare che è 1/3 il rapporto di similitudine fra un tetraedro
regolare e il suo duale che ha i vertici nei centri delle facce del primo?
Qual è il rapporto fra il volume del duale del cubo (avente i vertici nei
centri delle facce del cubo) e il cubo stesso?
Grazie.

Infine un osservazione preliminare sul secondo quesito ed quesiti
ulteriori: dato un poliedro convesso il suo duale è ben definito nel senso
che i
vertici dei centri delle sue facce formano un sistema di punti la cui
chiusura convessa ha tutti i punti del sistema sulla frontiera. L'unico
solido platonico autoduale è il tetraedro. Altrimenti il cubo si scambia
con l'ottaedro e l'icosaedro con il dodecaedro. Questa proprietà duale
si ha per i poliedri regolari, ma anche per gli archimedei ed i catalani
quali sequenze si hanno nel caso generale? Per qualsiasi poliedro il
centro di massa dei vertici è lo stesso dei centri (di massa dei vertici)
delle facce.


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