verso del versore normale

[tern]

Buonasera,
vorrei dimostrare la seguente congettura di geometria differenziale delle
curve:

il versore normale a una curva
\sigma : t --> \sigma(t) \in R^2,
ossia il versore n(t) = d/dt T(t) / || d/dt T(t) ||
punta verso la regione convessa, per esempio se \sigma è la
parametrizzazione di una circonferenza allora n(t)
punta verso la parte interna della circonferenza .

Sicuramente dovrei precisare che cosa s'intende per regione convessa, per
fare questo potri per esempio fare ricorso alla nozione di cerchio
osculatore, la regione convessa è quella in cui si trova il cerchio
osculatore,

Nota:
ho indicato con T il versore tangente alla curva \sigma, i.e.
T(t) = d/dt \sigma(t) / ||d/dt \sigma(t)|| .


Grazie per ogni suggerimento
Tern

[tern]

In tutta sincerità.
ormai è qualche anno che scrivo su questo newsgroup,
perché questo tipo di domande rimangono spesso senza risposta?

La mia non è una provocazione, non sono irritato dal fatto che manchi
risposta, non sono polemico, sono solo curioso, anche i professori,
ovviamente non si dilettano nei dettagli tipo la domanda che ho fatto,
perché questo?
Forse non merita.
Ciao
Tern

[rez]

Post by tern
In tutta sincerità.
ormai è qualche anno che scrivo su questo newsgroup,
perché questo tipo di domande rimangono spesso senza risposta?

Con altrettanta sincerita`.. appena ho visto i geroglifici
pseudo-TeX l'ho mollato.

Considera che un post puo` essere +o- gradito e questo puo`
dipendere da piu` fattori. Altro esempio: se proprio uno
non riesce ad usare altro che Autluk, almeno che lo patchi
onde evitare la R: al posto di Re:.

[tern]

hai ragione Rez, non era del tutto (il)leggibile.

Congettura:

Il versore normale n(t) a una curva piana
sigma : t -> sigma(t) è diretto verso la regione convessa, per esempio se
sigma è la parametrizzazione di una circonferenza allora n(t)
è diretto verso la parte interna della circonferenza .
--
Osservazione:
sicuramente dovrei precisare che cosa s'intende per regione convessa, per
fare questo potrei per esempio fare ricorso alla nozione di cerchio
osculatore, la regione convessa è quella in cui si trova il cerchio
osculatore.

Tern

[rez]

Post by tern
Il versore normale n(t) a una curva piana
sigma: t -> sigma(t) è diretto verso la regione convessa, per esempio
se sigma è la parametrizzazione di una circonferenza allora n(t)
è diretto verso la parte interna della circonferenza.

Non vedo il problema.. il versore N della normale punta
necessariamente (sempre[*]) verso l'interno della curva
essendo definito come derivato del versore tangente T:
dT/ds=CN (1^a di Frenet), con T,N vettori (risp. versore
della tangente e della normale; s,C scalari: ascissa
curvilinea e curvatura scalare).

Ma forse sono io che non metto a fuoco bene il problema,
non sono infatti aggiornatissimo con la terminologia
attuale.

[*] Anche per curve sghembe. N e` infatti il versore
della normale principale.

Post by tern
sicuramente dovrei precisare che cosa s'intende per regione convessa,
per fare questo potrei per esempio fare ricorso alla nozione di cerchio
osculatore, la regione convessa è quella in cui si trova il cerchio
osculatore.

Mi sembra piu` semplice la sistemazione ordinaria in cui
ci si riferisce all'"interno della curva", cioe` al
semipiano, determinato dalla retta tangente, contenente
l'arco stesso.
Dunque continuo a non vedere perche' vuoi far intervenire
la regione convessa.

[tern]

Grazie Rez, con la tua risposta mi hai dato almeno due dritte: la prima,
quella di pensare anche alle curve non piane, sghembe come le hai chiamate
tu, la seconda, quella di pensare alla regione al di là della retta
tangente.

Il problema su cui voglio concentrarmi è un altro, richiedo la motivazione
formale dell'ovvio fatto geometrico. Una domanda analoga ancora senza
l'analoga (credo) risposta è :

motivare algebricamente, i.e. con le formule, perché il vettore tangente a
una curva in p è la derivata della curva. Lo so, la secante...tende alla
tangente, forse questo basta, parimenti non sono convinto che basti e per
questo continuerò imperterrito a pensarvi. Ogni vostro cortese suggerimento
sarà molto gradito.

Tern_

[rez]

Post by tern
Il problema su cui voglio concentrarmi è un altro, richiedo la
motivazione formale dell'ovvio fatto geometrico.

Siccome derivi un versore, allora il vettore differenza
non puo` avere componente ||, perche' cio` implicherebbe
una vazione del modulo; ergo il vettore derivato ha
necessariamente solo la componente sulla normale.

Post by tern
Una domanda analoga ancora senza
motivare algebricamente, i.e. con le formule,

"Algebricamente" NOn e` "i.e. con le formole", e che
diamine!
Vuoi dire analiticamente.

Post by tern
perché il vettore tangente a
una curva in p è la derivata della curva. Lo so, la secante...tende alla
tangente, forse questo basta, parimenti non sono convinto che basti e
per questo continuerò imperterrito a pensarvi. Ogni vostro cortese
suggerimento sarà molto gradito.

Pensa che te lo propinano al contrario, visto tra l'altro
anche qui nelle news, e cioe` che la derivata e` il
coefficiente angolare della retta tangente il grafico.
Mentre invece tutto questo e` solo un esempio geometrico.