Integrale triplo e trasformazione di un tetraedro in un cubo

[zenodoro]

Il mio esercizio è: risolvere l'integrale triplo di

x*y*z*(x+y+z)^n

esteso al tetraedro compreso tra i piani x=0,y=0,z=0,x+y+z=1.

Ho provato a farlo direttamente in coordinate cartesiane
facendo variare le variabili così:

0<= z <= 1
0<= x <= 1-z
0<= y <= 1-x-y
e integrando prima y, poi x, poi z.

Così facendo, dopo due intere paginone di conti, ho ottenuto un
risultato sbagliato! :-D
Cmq, a parte il risultato, il fatto è che ho visto che il libro
effettua la sostituzione:

x=u(1-v)
y=uv(1-w)
z=uvw

dicendo che "è facile verificare" che quella trasformazione manda il
nostro tetraedro nel cubo
0<= u <= 1
0<= v <= 1
0<= w <= 1
e risolve l'integrale, divenuto facilissimo, in DUE sole righe!

Le domande sono:
1) E' giusta la decomposizione del dominio in coordinate cartesiane che
avevo usato?
2) In base a quale divinazione avrei potuto/dovuto pensare a quella
sostituzione?
3) Come si fa a capire che il tetraedro diventa un cubo?
4) si dice "il jacobiano" o "lo jacobiano"?

Ciao e grazie!

[jc]

Post by zenodoro
Il mio esercizio è: risolvere l'integrale triplo di
x*y*z*(x+y+z)^n
esteso al tetraedro compreso tra i piani x=0,y=0,z=0,x+y+z=1.
Ho provato a farlo direttamente in coordinate cartesiane
0<= z <= 1
0<= x <= 1-z
0<= y <= 1-x-y
e integrando prima y, poi x, poi z.
Così facendo, dopo due intere paginone di conti, ho ottenuto un
risultato sbagliato! :-D
Cmq, a parte il risultato, il fatto è che ho visto che il libro
x=u(1-v)
y=uv(1-w)
z=uvw
dicendo che "è facile verificare" che quella trasformazione manda il
nostro tetraedro nel cubo
0<= u <= 1
0<= v <= 1
0<= w <= 1
e risolve l'integrale, divenuto facilissimo, in DUE sole righe!
1) E' giusta la decomposizione del dominio in coordinate cartesiane che
avevo usato?

0 <= y <= 1 - x - z

Post by zenodoro
2) In base a quale divinazione avrei potuto/dovuto pensare a quella
sostituzione?

Effettivamente non e' immediata.
Pero' anche una sostituzione piu' intuitiva, del tipo
u = x, v = x + y, w = x + y + z
porta a integrare la funzione u(v-u)(w-v)w^n sul dominio
0 <= w <= 1, 0 <= v <= w, 0 <= u <= v,
integrale che si svolge in un paio di passaggi fornendo, salvo errori,
il risultato 1/(120(n+6)).

Post by zenodoro
3) Come si fa a capire che il tetraedro diventa un cubo?

Si vede meglio osservando che
u = x+y+z, uv = y+z, uvw = z.
Quindi 0 <= u <= 1 si vede subito.
Poi hai v = (y+z)/(x+y+z) e w = z/(y+z), che variano entrambi su [0,1].

Post by zenodoro
4) si dice "il jacobiano" o "lo jacobiano"?

Lo jacobiano.

Ciao,
jc

[zenodoro]

Post by jc
Pero' anche una sostituzione piu' intuitiva, del tipo
u = x, v = x + y, w = x + y + z
porta a integrare la funzione u(v-u)(w-v)w^n sul dominio
0 <= w <= 1, 0 <= v <= w, 0 <= u <= v,

Perfetto! La tua sostituzione in effetti è più intuitiva.
Grazie millle, come al solito...

[Enrico Gregorio]

Post by zenodoro
4) si dice "il jacobiano" o "lo jacobiano"?

Siccome si tratta del tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi (prussiano, per
la precisione), la pronuncia del cognome è "iacóbi". Chiunque lo
pronunci "all'inglese" cioè "giacobi" denota come minimo sciatteria.
Che gli americani dicano "gecobian" non ci dovrebbe influenzare.

Un altro nome che spesso viene pronunciato "all'inglese" è quello di
Camille Jordan (francese). La faccenda si complica perché ci fu anche
Wilhelm Jordan (tedesco), che ideò la variante dell'eliminazione di
Gauss nota come metodo di Gauss-Jordan (si pronuncia "iòrdan"); noto
in matematica è anche il fisico Pascual Jordan (anche lui tedesco, ma
un suo avo era spagnolo e si trasferì in Germania durante le guerre
napoleoniche) per le famose algebre di Jordan.

Perciò si parla di forma canonica, o del teorema della curva, o del
lemma di Jordan (pronuncia "zhordàn", con zh che sta per la "j"
francese), mentre il nome Jordan nel "procedimento di eliminazione di
Gauss-Jordan" o nelle "algebre di Jordan" va pronunciato "iòrdan".

In questi giorni si parla spesso della via dedicata a Milano al signor
Jenner (Edward Jenner, inglese, scopritore del primo vaccino della
storia, quello contro il vaiolo). Per motivi misteriosi la pronuncia
è invariabilmente "iènner", chissà perché. Ma i milanesi sono curiosi
anche quando parlano di "piazza Wagner", con il gn che suona come in
"pugno".

Ciao
Enrico

[jc]

Post by Enrico Gregorio

Post by zenodoro
4) si dice "il jacobiano" o "lo jacobiano"?

Siccome si tratta del tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi (prussiano, per
la precisione), la pronuncia del cognome è "iacóbi". Chiunque lo
pronunci "all'inglese" cioè "giacobi" denota come minimo sciatteria.
Che gli americani dicano "gecobian" non ci dovrebbe influenzare.
...

Concordo pienamente sulla pronuncia ma... manca la risposta alla domanda!

Ciao,
jc

[Enrico Gregorio]

Post by jc

Post by Enrico Gregorio

Post by zenodoro
4) si dice "il jacobiano" o "lo jacobiano"?

Siccome si tratta del tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi (prussiano, per
la precisione), la pronuncia del cognome è "iacóbi". Chiunque lo
pronunci "all'inglese" cioè "giacobi" denota come minimo sciatteria.
Che gli americani dicano "gecobian" non ci dovrebbe influenzare.
...

Concordo pienamente sulla pronuncia ma... manca la risposta alla domanda!

Era implicita, no? Se il cognome si pronuncia "iacóbi", sarà ovviamente
"lo iacobiano".

Un minimo di adattamento fonetico è inevitabile quando si pronunciano
nomi stranieri e soprattutto gli aggettivi derivati. Sarebbe difficile
parlare del "wronskiano" con la "n" che suona come "gn" in "pugno",
come sarebbe secondo la pronuncia polacca. Ma trasformare la "j" di
Jacobi in una "g" di "gelato" è davvero troppo.

Anche chi parla della "regola di lòspital" è piuttosto ridicolo. Del
tutto ridicolo è chi legge qualsiasi cosa straniera come se fosse
inglese: "aiter", "sain dai" per "iter" e "sine die" (latino) sono
famosi. Di recente il povero CT della Germania ai campionati europei
è stato più volte chiamato "lou" o "leu". Si chiama Löw: da "leone"
a "tappo" (unica traduzione possibile, anche se in inglese non si
può usare "low" per indicare una persona di bassa statura).

Siamo un po' OT, a dire il vero, ma la sciatteria non dovrebbe far
parte del bagaglio di una persona di cultura.

Ciao
Enrico

[Coso]

Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:16... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
Del
tutto ridicolo è chi legge qualsiasi cosa straniera come se fosse
inglese: "aiter", "sain dai" per "iter" e "sine die" (latino) sono
famosi.

C'e` un caso piuttosto famoso, fattomi notare da un'amica...
maicrosoft... ma essendo un nome inventato e` forse giusto che sia
l'inventore stesso a darne la pronuncia... :-)

Ciao ciao
Claudio

[Enrico Gregorio]

Post by Coso
Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:16... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
Del
tutto ridicolo è chi legge qualsiasi cosa straniera come se fosse
inglese: "aiter", "sain dai" per "iter" e "sine die" (latino) sono
famosi.

C'e` un caso piuttosto famoso, fattomi notare da un'amica...
maicrosoft... ma essendo un nome inventato e` forse giusto che sia
l'inventore stesso a darne la pronuncia... :-)

Il prefisso "micro" è sempre pronunciato "maicro" in inglese.

Ciao
Enrico

[Coso]

Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:31... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
Il prefisso "micro" è sempre pronunciato "maicro" in inglese.

Ah, non sapevo... come non detto, allora.

Ciao ciao
Claudio

[mind]

Post by Enrico Gregorio

Post by Coso
Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:16... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
Del
tutto ridicolo è chi legge qualsiasi cosa straniera come se fosse
inglese: "aiter", "sain dai" per "iter" e "sine die" (latino) sono
famosi.

C'e` un caso piuttosto famoso, fattomi notare da un'amica...
maicrosoft... ma essendo un nome inventato e` forse giusto che sia
l'inventore stesso a darne la pronuncia... :-)

Il prefisso "micro" è sempre pronunciato "maicro" in inglese.
Ciao
Enrico

Se non sbaglio, in origine era "micro soft", quindi due parole.
Comunque in generale sono d'accordo sul cercare di mantenere una
pronuncia più vicina all'originale possibile, però d'altro canto
opportuni
adattamenti sono inevitabili: ad esempio sarebbe alquanto scomodo
pronunciare le vocali secondo la lingua del nome/parola (e farebbero
sembrare il nome/parola fuori luogo).
Comunque è una mia opinione, forse anche perché avendo l'r moscia
(rotacismo) almeno una consonante l'ho già persa.
Saluti, Gil

[zenodoro]

Post by Enrico Gregorio
Era implicita, no? Se il cognome si pronuncia "iacóbi", sarà ovviamente
"lo iacobiano".

Avevo fatto la domanda perché sul libro c'era scritto IL jacobiano che
mi suonava male.
Andando a vedere meglio però ho visto che spesso scrive "il determinante
jacobiano", quindi quando dice il jacobiano sottintende la parola
determinante. Ciao

[Enrico Gregorio]

Post by zenodoro

Post by Enrico Gregorio
Era implicita, no? Se il cognome si pronuncia "iacóbi", sarà ovviamente
"lo iacobiano".

Avevo fatto la domanda perché sul libro c'era scritto IL jacobiano che
mi suonava male.
Andando a vedere meglio però ho visto che spesso scrive "il determinante
jacobiano", quindi quando dice il jacobiano sottintende la parola
determinante. Ciao

I casi sono due: refuso dovuto all'eliminazione della parola oppure
pronuncia sciatta "giacobiano" da parte dell'autore. Se c'è sempre
"il" quando manca "determinante", purtroppo siamo sulla seconda.

Se dici "il fiume Zero" (esiste, dalle mie parti) e poi sottintendi
"fiume", mica dici "il Zero". Cambia esempio, se sei veneto.

Ciao
Enrico

[Coso]

Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:41... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
I casi sono due: refuso dovuto all'eliminazione della parola oppure
pronuncia sciatta "giacobiano" da parte dell'autore. Se c'è sempre
"il" quando manca "determinante", purtroppo siamo sulla seconda.

Credo sia piu` complicato di cosi`. E` possibile, se non probabile, che
l'autore veda la i iniziale come semiconsonantica... percio`, da quel
punto di vista *correttamente*, scriva *il*...
Comunque a mio avviso non considererei ne` l'uno ne` l'altro caso come
giusto o sbagliato... se non nella prevalenza del suo uso che non
conosco.

Ciao ciao
Claudio

[Enrico Gregorio]

Post by Coso
Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 18:41... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
I casi sono due: refuso dovuto all'eliminazione della parola oppure
pronuncia sciatta "giacobiano" da parte dell'autore. Se c'è sempre
"il" quando manca "determinante", purtroppo siamo sulla seconda.

Credo sia piu` complicato di cosi`. E` possibile, se non probabile, che
l'autore veda la i iniziale come semiconsonantica... percio`, da quel
punto di vista *correttamente*, scriva *il*...
Comunque a mio avviso non considererei ne` l'uno ne` l'altro caso come
giusto o sbagliato... se non nella prevalenza del suo uso che non
conosco.

Che io sappia, davanti a "i" semivocale, o semiconsonante come
preferisci, va sempre l'articolo "lo". O forse tu dici normalmente
"il iettatore", "il iato", "il iodio", "il Ionio"?

Ciao
Enrico

[Coso]

Era martedi`, 8 luglio 2008, alle ore 19:10... quando, guardando il
dito o seguendo la luna, Enrico Gregorio scrisse in

Post by Enrico Gregorio
Che io sappia, davanti a "i" semivocale, o semiconsonante come
preferisci, va sempre l'articolo "lo". O forse tu dici normalmente
"il iettatore", "il iato", "il iodio", "il Ionio"?

E` un problema... c'e` chi segue un uso chi quell'altro...
Personalmente preferisco sempre *lo* per semplicita`... pero` so che
appunto in molti fanno distinzione. Per fare un esempio, il Carducci
scriveva "il Ionio"...

Ciao ciao
Claudio

[zenodoro]

Post by Enrico Gregorio
I casi sono due: refuso dovuto all'eliminazione della parola oppure
pronuncia sciatta "giacobiano" da parte dell'autore. Se c'è sempre
"il" quando manca "determinante", purtroppo siamo sulla seconda.
Se dici "il fiume Zero" (esiste, dalle mie parti) e poi sottintendi
"fiume", mica dici "il Zero". Cambia esempio, se sei veneto.

Continuando con l'OT...
Sono andato a vedere sul volume di teoria dove definisce lo jacobiano:
"si chiama il determinante jacobiano (o semplicemente IL jacobiano)"

Quindi secondo te IL non è riferito al sostantivo sottinteso, ma sta lì
perché gli autori pronunciano giacobiano.

Ah, a proposito, il libro è IL Ghizzetti,Rosati...
o dovrei dire I Ghizzetti,Rosati visto che sono due? :-D

A parte gli scherzi, su questo sito: http://www.italians-dizionario.net
(della cui attendibilità non so nulla) dice
"Nel caso vi sia un sostantivo sottinteso (al singolare o al plurale,
secondo i casi) l'uso dell'artico, accordato con il sostantivo
sottinteso, è grammaticalmente corretto" e fa come esempio
...sognando di diventare un giorno dei Mozart o dei Beethoven.

Un altro esempio che mi viene in mente: i biblisti spesso dicono "il
Genesi", riferendosi al libro. Ciao

[Enrico Gregorio]

Post by zenodoro

Post by Enrico Gregorio
I casi sono due: refuso dovuto all'eliminazione della parola oppure
pronuncia sciatta "giacobiano" da parte dell'autore. Se c'è sempre
"il" quando manca "determinante", purtroppo siamo sulla seconda.
Se dici "il fiume Zero" (esiste, dalle mie parti) e poi sottintendi
"fiume", mica dici "il Zero". Cambia esempio, se sei veneto.

Continuando con l'OT...
"si chiama il determinante jacobiano (o semplicemente IL jacobiano)"
Quindi secondo te IL non è riferito al sostantivo sottinteso, ma sta lì
perché gli autori pronunciano giacobiano.
Ah, a proposito, il libro è IL Ghizzetti,Rosati...
o dovrei dire I Ghizzetti,Rosati visto che sono due? :-D
A parte gli scherzi, su questo sito: http://www.italians-dizionario.net
(della cui attendibilità non so nulla) dice
"Nel caso vi sia un sostantivo sottinteso (al singolare o al plurale,
secondo i casi) l'uso dell'artico, accordato con il sostantivo
sottinteso, è grammaticalmente corretto" e fa come esempio
...sognando di diventare un giorno dei Mozart o dei Beethoven.

Concordi l'articolo in numero, non in "specie". L'articolo maschile
è "il" oppure "lo" e si usa uno o l'altro a seconda di come comincia
la parola seguente: diresti forse "sognando di diventare un giorno
dei Alfieri o dei Alighieri"? A parte che qui non vedo alcun nome
sottinteso, l'autore di quel sito dice che è sottinteso "compositori
come", mi pare molto forzato: è semplicemente il cognome usato come
nome comune al plurale.

Post by zenodoro
Un altro esempio che mi viene in mente: i biblisti spesso dicono "il
Genesi", riferendosi al libro. Ciao

Pensi che i biblisti direbbero "il Ecclesiaste"? Va be', adesso si
chiama "Qoelet", ma fa lo stesso, nessuno direbbe "il Esodo", sei
d'accordo?

Ciao
Enrico

[zenodoro]

Enrico Gregorio ha scritto:
[...]

sei d'accordo?

Sì, hai ragione su tutta la linea.
Però nel caso specifico del Ghizzetti sono convinto che quando dice "il
jacobiano" - magari usando una regola grammaticale impropria -
stia effettivamente riferendo quel IL al "determinante" sottinteso e
sono anche convinto che sapesse bene come si pronuncia Jacobi;
d'altronde il tedesco lo conosceva di sicuro perché per la
dimostrazione, immagino abbastanza comune (???), del fatto che "una
curva piana semplice e chiusa è sempre la frontiera di un dominio
regolare" rimanda ad un libro in tedesco del 1923! Comodo da consultare,
no? :-D
Ciao!

[Enrico Gregorio]

Post by zenodoro
[...]

sei d'accordo?

Sì, hai ragione su tutta la linea.
Però nel caso specifico del Ghizzetti sono convinto che quando dice "il
jacobiano" - magari usando una regola grammaticale impropria -
stia effettivamente riferendo quel IL al "determinante" sottinteso e
sono anche convinto che sapesse bene come si pronuncia Jacobi;
d'altronde il tedesco lo conosceva di sicuro perché per la
dimostrazione, immagino abbastanza comune (???), del fatto che "una
curva piana semplice e chiusa è sempre la frontiera di un dominio
regolare" rimanda ad un libro in tedesco del 1923! Comodo da consultare,
no? :-D

Non sai come funzionano le citazioni. ;-)

Ciao
Enrico

[Roberto Montaruli]

Post by Enrico Gregorio
Ma i milanesi sono curiosi
anche quando parlano di "piazza Wagner", con il gn che suona come in
"pugno".

In 40 anni a Milano non ho mai sentito una volta chiamare Piazza Wagner
con il suono gn come in "pugno" o "ragno".

(che tra l'altro e' una piazza pure conosciuta per via della fermata
omonima della metropolitana)

Che milanesi hai sentito tu storpiare il nome di Wagner in quel modo?

[Enrico Gregorio]

Post by Roberto Montaruli

Post by Enrico Gregorio
Ma i milanesi sono curiosi
anche quando parlano di "piazza Wagner", con il gn che suona come in
"pugno".

In 40 anni a Milano non ho mai sentito una volta chiamare Piazza Wagner
con il suono gn come in "pugno" o "ragno".
(che tra l'altro e' una piazza pure conosciuta per via della fermata
omonima della metropolitana)
Che milanesi hai sentito tu storpiare il nome di Wagner in quel modo?

Evidentemente milanesi non autoctoni. Ma come la mettiamo con Jenner?

Ciao
Enrico

[Dalet]

Post by Enrico Gregorio

Post by Roberto Montaruli

Post by Enrico Gregorio
Ma i milanesi sono curiosi
anche quando parlano di "piazza Wagner", con il gn che suona come in
"pugno".

In 40 anni a Milano non ho mai sentito una volta chiamare Piazza Wagner
con il suono gn come in "pugno" o "ragno".
(che tra l'altro e' una piazza pure conosciuta per via della fermata
omonima della metropolitana)
Che milanesi hai sentito tu storpiare il nome di Wagner in quel modo?

Evidentemente milanesi non autoctoni. Ma come la mettiamo con Jenner?

Come no! passanti e negozianti, lo diceva sempre il mi'
nonno, solo che si riferiva agli anni '50, ...poi si vede
c'avra' pensato la tivi' a diffondere la vera cultura.