Discussione:
Cammini equivalenti
(troppo vecchio per rispondere)
fadeh
2005-10-21 17:09:43 UTC
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Ciao a tutti,

studiando Analisi sul Bramanti-Pagani-Salsa (pag 452) mi sono trovato di
fronte a questa frase:
"In generale, se F e' un campo vettoriale irrotazionale in una regione A
qualsiasi (anche non semplicemente connessa), diciamo che due cammini
contenuti in A sono equivalenti per F quando e' possibile deformare con
continuita' l'uno fino a farlo coincidere con l'altro, senza mai uscire da
A.". Conclude sostendendo che il lavoro lungo i due cammini e' lo stesso.

Siccome questa definizione di "cammini equivalenti" mi sembrava piuttosto
brutta sono andato a cercare altro materiale e in alcune dispense del prof
titolare del corso per gli anni precedenti ho trovato:
"Si dice che il cammino f : [a, b] -> R^n e' equivalente al cammino g : [c,
d] -> R^n se esiste un diffeomorfismo p : [c, d] -> [a, b] con p(c) = a,
p(d) = b tale che g = f o p."

Ora, scremando l'essenziale dal formalismo matematico direi che nella prima
definizione l'equivalenza e' legata all'uguaglianza del lavoro lungo i due
cammini. Ma i due cammini possono essere molto diversi (es.: F = (- y / (x^2
+ y^2), x / /x^2 + y^2)), questo campo e' conservativo in tutto R^2 esclusa
l'origine. Per cui il lavoro di un cammino chiuso che non contiene l'origine
e' nullo, mentre il lavoro lungo qualsiasi (forse non proprio qualsiasi...
non ho verificato ma diciamo molti, non e' importante per ora) cammino
chiuso contenente (0, 0) e' sempre uguale a 2pigrego, indipendentemente
dalla "forma" del cammino).
Dalla seconda deduco che: due cammini sono equivalenti se rappresentano la
stessa curva parametrizzata in modi differenti.

Se ho capito bene quindi le due definizioni sono alquanto differenti....
Sono io che non ho capito una fava o c'e' realmente un abuso di notazione?


Ciao,

fadeh
Graziano
2005-10-21 18:18:52 UTC
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Post by fadeh
Ciao a tutti,
studiando Analisi sul Bramanti-Pagani-Salsa (pag 452) mi sono trovato di
"In generale, se F e' un campo vettoriale irrotazionale in una regione A
qualsiasi (anche non semplicemente connessa), diciamo che due cammini
contenuti in A sono equivalenti per F quando e' possibile deformare con
continuita' l'uno fino a farlo coincidere con l'altro, senza mai uscire da
A.". Conclude sostendendo che il lavoro lungo i due cammini e' lo stesso.
In questo caso si intende "cammini omotopicamente equivalenti", cioe'
equivalenti a meno di una omotopia.
Supponendo di avere due cammini g1, g2 :[0,1]-> A, una omotopia in A e'
una funzione continua F:[0,1]x[0,1] -> A tale che F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
Se esiste una siffatta omotopia, significa che il cammino g1 puo' essere
deformato con continuita' nel cammino g2 (senza uscire da A).
Post by fadeh
Siccome questa definizione di "cammini equivalenti" mi sembrava piuttosto
brutta sono andato a cercare altro materiale e in alcune dispense del prof
"Si dice che il cammino f : [a, b] -> R^n e' equivalente al cammino g : [c,
d] -> R^n se esiste un diffeomorfismo p : [c, d] -> [a, b] con p(c) = a,
p(d) = b tale che g = f o p."
Questa e' invece l'equivalenza di due cammini per riparametrizzazione
(in sostanza, la stessa curva viene percorsa a velocita' differenti).
--
Ciao,
Graziano
ex-matematico
2005-10-21 23:28:17 UTC
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Sto scrivendo questo messaggio sul blackberry per cui perdonatemi se non
cancello il testo della vostra email, ma e' troppo lavoro...
Post by Graziano
Post by fadeh
Ciao a tutti,
studiando Analisi sul Bramanti-Pagani-Salsa (pag 452) mi sono trovato di
"In generale, se F e' un campo vettoriale irrotazionale in una regione A
qualsiasi (anche non semplicemente connessa), diciamo che due cammini
contenuti in A sono equivalenti per F quando e' possibile deformare con
continuita' l'uno fino a farlo coincidere con l'altro, senza mai uscire da
A.". Conclude sostendendo che il lavoro lungo i due cammini e' lo stesso.
In questo caso si intende "cammini omotopicamente equivalenti", cioe'
equivalenti a meno di una omotopia.
Supponendo di avere due cammini g1, g2 :[0,1]-> A, una omotopia in A e'
una funzione continua F:[0,1]x[0,1] -> A tale che F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
Cosi' a occhio direi che ti serve anche la condizione F(-,0)=g_1(0)=g_2(0) e
F(-,1)=g_1(1)=g_2(1). Altrimenti anche il cammino circolare in R^2 meno un
punto e' nullomotopico...
Post by Graziano
Se esiste una siffatta omotopia, significa che il cammino g1 puo' essere
deformato con continuita' nel cammino g2 (senza uscire da A).
Post by fadeh
Siccome questa definizione di "cammini equivalenti" mi sembrava piuttosto
brutta sono andato a cercare altro materiale e in alcune dispense del prof
"Si dice che il cammino f : [a, b] -> R^n e' equivalente al cammino g : [c,
d] -> R^n se esiste un diffeomorfismo p : [c, d] -> [a, b] con p(c) = a,
p(d) = b tale che g = f o p."
Questa e' invece l'equivalenza di due cammini per riparametrizzazione
(in sostanza, la stessa curva viene percorsa a velocita' differenti).
--
Ciao,
Graziano
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fadeh
2005-10-22 01:14:45 UTC
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Post by ex-matematico
F(-,0)=g_1(0)=g_2(0)
Ciao,

fadeh
Graziano
2005-10-22 06:27:41 UTC
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Post by ex-matematico
Sto scrivendo questo messaggio sul blackberry per cui perdonatemi se non
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Ciao a tutti,
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"In generale, se F e' un campo vettoriale irrotazionale in una regione A
qualsiasi (anche non semplicemente connessa), diciamo che due cammini
contenuti in A sono equivalenti per F quando e' possibile deformare con
continuita' l'uno fino a farlo coincidere con l'altro, senza mai uscire
da
Post by Graziano
Post by fadeh
A.". Conclude sostendendo che il lavoro lungo i due cammini e' lo
stesso.
Post by Graziano
In questo caso si intende "cammini omotopicamente equivalenti", cioe'
equivalenti a meno di una omotopia.
Supponendo di avere due cammini g1, g2 :[0,1]-> A, una omotopia in A e'
una funzione continua F:[0,1]x[0,1] -> A tale che F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
Cosi' a occhio direi che ti serve anche la condizione F(-,0)=g_1(0)=g_2(0) e
F(-,1)=g_1(1)=g_2(1). Altrimenti anche il cammino circolare in R^2 meno un
punto e' nullomotopico...
Hai ragione, la mia def. non e' corretta.
La tua precisazione serve per definire correttamente un'omotopia per
cammini aventi gli stessi estremi.
Se invece partiamo da due cammini chiusi g1 e g2 in A, oltre alle
condizioni gia' scritte
F(0,t) = g1(t), F(1,t) = g2(t) per ogni t in [0,1]
occorre aggiungere la condizione
F(s,0) = F(s,1) per ogni s in [0,1].
--
Ciao,
Graziano
ex-matematico
2005-10-22 12:56:47 UTC
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Due brevi osservazioni:

1. La definizione che ho dato io di omotopia non ha bisogno di essere
adattata al caso dei cammini chiusi (al max. si tratta di una
riformulazione)

2. La definizione che hai dato tu di omotopia non e' sbagliata o impropria,
ma non e' sufficiente a garantire che l'integrale di un campo irrotazionale
sia indipendente dai cammini, perche' la tesi non segue piu' dal teo. di
Stokes (controesempio e' il campo associato alla funzione complessa 1/z
sulla curva a cui ho accennato prima).

Saluti da Zurigo,
ex-matematico
Post by Graziano
Post by ex-matematico
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"In generale, se F e' un campo vettoriale irrotazionale in una regione A
qualsiasi (anche non semplicemente connessa), diciamo che due cammini
contenuti in A sono equivalenti per F quando e' possibile deformare con
continuita' l'uno fino a farlo coincidere con l'altro, senza mai uscire
da
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A.". Conclude sostendendo che il lavoro lungo i due cammini e' lo
stesso.
Post by Graziano
In questo caso si intende "cammini omotopicamente equivalenti", cioe'
equivalenti a meno di una omotopia.
Supponendo di avere due cammini g1, g2 :[0,1]-> A, una omotopia in A e'
una funzione continua F:[0,1]x[0,1] -> A tale che F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
Cosi' a occhio direi che ti serve anche la condizione
F(-,0)=g_1(0)=g_2(0) e
Post by Graziano
Post by ex-matematico
F(-,1)=g_1(1)=g_2(1). Altrimenti anche il cammino circolare in R^2 meno un
punto e' nullomotopico...
Hai ragione, la mia def. non e' corretta.
La tua precisazione serve per definire correttamente un'omotopia per
cammini aventi gli stessi estremi.
Se invece partiamo da due cammini chiusi g1 e g2 in A, oltre alle
condizioni gia' scritte
F(0,t) = g1(t), F(1,t) = g2(t) per ogni t in [0,1]
occorre aggiungere la condizione
F(s,0) = F(s,1) per ogni s in [0,1].
--
Ciao,
Graziano
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Graziano
2005-10-22 13:08:45 UTC
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Post by ex-matematico
1. La definizione che ho dato io di omotopia non ha bisogno di essere
adattata al caso dei cammini chiusi (al max. si tratta di una
riformulazione)
2. La definizione che hai dato tu di omotopia non e' sbagliata o impropria,
ma non e' sufficiente a garantire che l'integrale di un campo irrotazionale
sia indipendente dai cammini, perche' la tesi non segue piu' dal teo. di
Stokes (controesempio e' il campo associato alla funzione complessa 1/z
sulla curva a cui ho accennato prima).
Non sono d'accordo sul punto 2.
Se ho due cammini chiusi omotopi (secondo la definizione che ho scritto)
in A=R^2\{0} ed un campo F irrotazionale in A, allora l'integrale di
linea del campo e' uguale sui due cammini.
--
Ciao,
Graziano
ex-matematico
2005-10-22 13:34:38 UTC
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Post by Graziano
Post by ex-matematico
1. La definizione che ho dato io di omotopia non ha bisogno di essere
adattata al caso dei cammini chiusi (al max. si tratta di una
riformulazione)
2. La definizione che hai dato tu di omotopia non e' sbagliata o impropria,
ma non e' sufficiente a garantire che l'integrale di un campo irrotazionale
sia indipendente dai cammini, perche' la tesi non segue piu' dal teo. di
Stokes (controesempio e' il campo associato alla funzione complessa 1/z
sulla curva a cui ho accennato prima).
Non sono d'accordo sul punto 2.
Se ho due cammini chiusi omotopi (secondo la definizione che ho scritto)
in A=R^2\{0} ed un campo F irrotazionale in A, allora l'integrale di
linea del campo e' uguale sui due cammini.
--
Ciao,
Graziano
a quale definizione ti riferisici? se a quella del tuo primo messaggio
(ovvero omotopia non relativa), allora ti sbagli. il controesempio e' dato
da una circonferenza in C meno zero che e' omotopa al cammino costante e dal
campo associato alla funzione 1/z (automaticamente irrotazionale a causa di
cauchy-riemann), ma con integrali diversi.

ex-matematico

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Graziano
2005-10-22 13:44:46 UTC
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Post by ex-matematico
a quale definizione ti riferisici? se a quella del tuo primo messaggio
(ovvero omotopia non relativa), allora ti sbagli. il controesempio e' dato
da una circonferenza in C meno zero che e' omotopa al cammino costante e dal
campo associato alla funzione 1/z (automaticamente irrotazionale a causa di
cauchy-riemann), ma con integrali diversi.
La definizione del primo messaggio, come avevo gia' scritto,
non e' corretta perche' mancava la condizione sotto riportata:

"Se invece partiamo da due cammini chiusi g1 e g2 in A, oltre alle
condizioni gia' scritte
F(0,t) = g1(t), F(1,t) = g2(t) per ogni t in [0,1]
occorre aggiungere la condizione
F(s,0) = F(s,1) per ogni s in [0,1]."

Una circonferenza in C\{0} non e' dunque omotopa, in C\{0}, ad un
cammino costante.
--
Ciao,
Graziano
ex-matematico
2005-10-22 14:24:14 UTC
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Post by Graziano
Post by ex-matematico
a quale definizione ti riferisici? se a quella del tuo primo messaggio
(ovvero omotopia non relativa), allora ti sbagli. il controesempio e' dato
da una circonferenza in C meno zero che e' omotopa al cammino costante e dal
campo associato alla funzione 1/z (automaticamente irrotazionale a causa di
cauchy-riemann), ma con integrali diversi.
La definizione del primo messaggio, come avevo gia' scritto,
Non e' che la definizione non sia corretta, e' solo che non basta a
implicare l'invarianza dell'integrale... sono due cose un po' diverse!
Post by Graziano
"Se invece partiamo da due cammini chiusi g1 e g2 in A, oltre alle
condizioni gia' scritte
F(0,t) = g1(t), F(1,t) = g2(t) per ogni t in [0,1]
occorre aggiungere la condizione
F(s,0) = F(s,1) per ogni s in [0,1]."
Una circonferenza in C\{0} non e' dunque omotopa, in C\{0}, ad un
cammino costante.
Giusto, ma questo "dunque" sembra indicare che l'implicazione sia una
banalita'. Per la cronaca: Una dimostrazione analitca di questo fatto si
ottiene proprio dal teo. di invarianza dell'integrale alla funzione 1/z.

Ciao,
ex-matematico

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ex-matematico
2005-10-22 13:34:48 UTC
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Post by Graziano
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1. La definizione che ho dato io di omotopia non ha bisogno di essere
adattata al caso dei cammini chiusi (al max. si tratta di una
riformulazione)
2. La definizione che hai dato tu di omotopia non e' sbagliata o impropria,
ma non e' sufficiente a garantire che l'integrale di un campo irrotazionale
sia indipendente dai cammini, perche' la tesi non segue piu' dal teo. di
Stokes (controesempio e' il campo associato alla funzione complessa 1/z
sulla curva a cui ho accennato prima).
Non sono d'accordo sul punto 2.
Se ho due cammini chiusi omotopi (secondo la definizione che ho scritto)
in A=R^2\{0} ed un campo F irrotazionale in A, allora l'integrale di
linea del campo e' uguale sui due cammini.
--
Ciao,
Graziano
a quale definizione ti riferisici? se a quella del tuo primo messaggio
(ovvero omotopia non relativa), allora ti sbagli. il controesempio e' dato
da una circonferenza in C meno zero che e' omotopa al cammino costante e dal
campo associato alla funzione 1/z (automaticamente irrotazionale a causa di
cauchy-riemann), ma con integrali diversi.

ex-matematico

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2005-10-22 13:35:01 UTC
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Post by Graziano
Post by ex-matematico
1. La definizione che ho dato io di omotopia non ha bisogno di essere
adattata al caso dei cammini chiusi (al max. si tratta di una
riformulazione)
2. La definizione che hai dato tu di omotopia non e' sbagliata o impropria,
ma non e' sufficiente a garantire che l'integrale di un campo irrotazionale
sia indipendente dai cammini, perche' la tesi non segue piu' dal teo. di
Stokes (controesempio e' il campo associato alla funzione complessa 1/z
sulla curva a cui ho accennato prima).
Non sono d'accordo sul punto 2.
Se ho due cammini chiusi omotopi (secondo la definizione che ho scritto)
in A=R^2\{0} ed un campo F irrotazionale in A, allora l'integrale di
linea del campo e' uguale sui due cammini.
--
Ciao,
Graziano
a quale definizione ti riferisici? se a quella del tuo primo messaggio
(ovvero omotopia non relativa), allora ti sbagli. il controesempio e' dato
da una circonferenza in C meno zero che e' omotopa al cammino costante e dal
campo associato alla funzione 1/z (automaticamente irrotazionale a causa di
cauchy-riemann), ma con integrali diversi.

ex-matematico

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2005-10-22 01:13:55 UTC
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Post by Graziano
F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
cosa si intende per F(0, .) ?


Ciao,

fadeh
Graziano
2005-10-22 06:07:59 UTC
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Post by fadeh
Post by Graziano
F(0,.)=g1 e F(1,.)=g2.
cosa si intende per F(0, .) ?
F(0, t) = g1(t), F(1,t) = g2(t) per ogni t in [0,1].
--
Ciao,
Graziano
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