Ordine di una radice n-esima dell'unità

[s***@gmail.com]

Nel campo dei numeri complessi
sia epsilon_k la k-esima
radice n-esima dell'unità

epsilon_k = cos(2k*pi/n) + i * sen(2k*pi/n)

Risulta che epsilon_k
è un generatore del gruppo
delle n radici n-esime
se e solo se (n,k) = 1.

Supponiamo che epsilon_k
non sia un generatore di tale gruppo
(in altre parole supponiamo che epsilon_k
non sia una radice primitiva di 1).


Congettura:

- -
Posto d = (n,k)
l'ordine di epsilon_k
come elemento del gruppo delle radici
n-esime di 1 è n/d.
- -

Per provare questa congettura
ho ragionato come segue:

E' un conto diretto provare che
(epsilon_k)^(n/d) = 1.

Resta da dimostrare che se esiste
0 < h <= n/d tale che (epsilon_k)^h = 1
allora h = n/d.

Da (epsilon_k)^h = 1
essendo 0 < h <= n/d
segue che h | n/d
("|" denota la relazione di divisibilità).

... non so proseguire, per questo chiedo il vostro
aiuto.

Grazie,
André

[El Filibustero]

Post by s***@gmail.com
epsilon_k = cos(2k*pi/n) + i * sen(2k*pi/n)
...
Posto d = (n,k)
...
Resta da dimostrare che se esiste
0 < h <= n/d tale che (epsilon_k)^h = 1
allora h = n/d.
Da (epsilon_k)^h = 1
essendo 0 < h <= n/d
segue che h | n/d
("|" denota la relazione di divisibilità).
... non so proseguire, per questo chiedo il vostro
aiuto.

epsilon_k^h = 1 <----> exp(2*pi*i*k/n)^h = 1
exp(2*pi*i*k*h/n) = 1 <----> kh/n e' intero <---> n divide kh
--->n/d divide k/d*h ---> n/d divide h. Ciao