Derivare la funzione segno

[Gian Paolo Bronzetti]

In un thread recente ho sostenuto che la funzione segno sgn() puo`
essere derivata come una costante, considerando separatamente
il caso in cui l'argomento della funzione si annulla.
Se invece procedo cosi`:

|f(x)| = f(x) sgn(f(x))

d/dx |f(x)| = f'(x) sgn(f(x)) + f(x) d/dx(sgn(f(x))

Prendendo le definizioni dal sito di Wolfram e sostituendo
x -> f(x)

sgn(f(x)) = 2 H(f(x)) - 1
in cui H() e` la ben nota :-) funzione di Heaviside.

d/dx (sgn(f(x)) = 2 d/dx (H(f(x)) f'(x)

Essendo poi,
d/dx (H(f(x)) / dx = delta(f(x)) f'(x)
ove delta() e` la funzione di Dirac

si ottiene,
d/dx sgn(f(x)) = 2 delta(f(x)) f'(x)

quindi posso derivare, in generale la funzione segno, ma
quale valore assume delta() per f(x) = 0 ?

f(0) come dice il sito,
oo come leggo altrove,
altro?

Va bene derivare cosi` queste funzioni generalizzate ?
Ho nuovamente sconfinato in distribuzioni e misure, purtroppo.

---
Ciao,
Paolo

[Gian Paolo Bronzetti]

Tolgo le f'(x), le quali, almeno come le avevo piazzate, erano sbagliate.

Post by Gian Paolo Bronzetti
In un thread recente ho sostenuto che la funzione segno sgn() puo`
essere derivata come una costante, considerando separatamente
il caso in cui l'argomento della funzione si annulla.
|f(x)| = f(x) sgn(f(x))
d/dx |f(x)| = f'(x) sgn(f(x)) + f(x) d/dx(sgn(f(x))
Prendendo le definizioni dal sito di Wolfram e sostituendo
x -> f(x)
sgn(f(x)) = 2 H(f(x)) - 1
in cui H() e` la ben nota :-) funzione di Heaviside.

d/dx (sgn(f(x)) = 2 d/dx H(f(x))

Post by Gian Paolo Bronzetti
Essendo poi,

d/dx H(f(x)) = delta(f(x))

Post by Gian Paolo Bronzetti
ove delta() e` la funzione di Dirac
si ottiene,

d/dx sgn(f(x)) = 2 delta(f(x))

Post by Gian Paolo Bronzetti
quindi posso derivare, in generale la funzione segno, ma
quale valore assume delta() per f(x) = 0 ?
f(0) come dice il sito,
oo come leggo altrove,
altro?
Va bene derivare cosi` queste funzioni generalizzate ?
Ho nuovamente sconfinato in distribuzioni e misure, purtroppo.
---
Ciao,
Paolo

[Giorgio Pastore]

Gian Paolo Bronzetti wrote:
... ma

Post by Gian Paolo Bronzetti
quale valore assume delta() per f(x) = 0 ?
f(0) come dice il sito,
oo come leggo altrove,
altro?

Quello che ti manca e' il seguente risultato:

se f(x) ha zeri di molteplicita' 1 nei punti x_i

delta(f(x)) = somma_i delta(x-x_i)/|f'(x_i)|

Giorgio

[Gian Paolo Bronzetti]

Post by Giorgio Pastore
se f(x) ha zeri di molteplicita' 1 nei punti x_i
delta(f(x)) = somma_i delta(x-x_i)/|f'(x_i)|

Ci ho pensato parecchio, ma penso sia proprio fuori della mia portata,
la cosa piu` misteriosa e` la presenza della derivata a denominatore.

La soluzione del mio problema sarebbe dunque, [del tipo]

d/dx sgn(f(x)) = 2 somma_i delta(x-x_i)/|f'(x_i)|

Post by Giorgio Pastore
Giorgio

--
Ti sono molto grato,
Paolo

[Giorgio Pastore]

Post by Gian Paolo Bronzetti

Post by Giorgio Pastore
delta(f(x)) = somma_i delta(x-x_i)/|f'(x_i)|

Ci ho pensato parecchio, ma penso sia proprio fuori della mia portata,
la cosa piu` misteriosa e` la presenza della derivata a denominatore.

...

la tecnica e' di considerare che il funzionale con la delta associa
alla funzione g(x) i valori di g(x) nei puti in cui si annulla la delta:

Se adesso consideriamo deltta(f(x)), supponiamo che f(x) si annulli con
uno zero semplice nei punti x_i.
Nell' intorno di ciascuno zero posso scrivere la funzione f come :
f(x) = f'(x_i)(x-x_i) +O((x-x_i)^2) (perche' f(x_i)=0).

quindi, nell' intorno di x_i:

delta(f(x)) = delta(f'(x_i)(x-x_i))

qui si potrebbe procedere con un po' piu' di rigore ma formalmente, fai
un cambio di variabile a x' = x*f'(x_i) e, tenedo conto del segno di
f'(x_i) ti ritrovi un fattore +1/f'(x_i) se f' >0 e -1/f'(x_i) se f'
<0. Ovvero 1/|f'(x_i)|.

Analogamente si puo' procedere se ci sono zeri di molteplicita'
maggiore, ottenedo a denominatore derivate di ordine maggiore.

N.B. Questo risponde alla questione di derivare delta(f(x)) se f e'
derivabile in un intorno di x_i.


Giorgio

[Josh]

Post by Gian Paolo Bronzetti
In un thread recente ho sostenuto che la funzione segno sgn() puo`
essere derivata come una costante, considerando separatamente
il caso in cui l'argomento della funzione si annulla.
|f(x)| = f(x) sgn(f(x))
d/dx |f(x)| = f'(x) sgn(f(x)) + f(x) d/dx(sgn(f(x))
Prendendo le definizioni dal sito di Wolfram e sostituendo
x -> f(x)
sgn(f(x)) = 2 H(f(x)) - 1
in cui H() e` la ben nota :-) funzione di Heaviside.
d/dx (sgn(f(x)) = 2 d/dx (H(f(x)) f'(x)
Essendo poi,
d/dx (H(f(x)) / dx = delta(f(x)) f'(x)
ove delta() e` la funzione di Dirac
si ottiene,
d/dx sgn(f(x)) = 2 delta(f(x)) f'(x)
quindi posso derivare, in generale la funzione segno, ma
quale valore assume delta() per f(x) = 0 ?

Intendi quanto vale delta(f(x)) quando f è la funzione
identicamente nulla? Vale zero.

Cmq per derivare la funzione segno ti propongo quest'altra strada.

0=d(1)=d(sign^2)=2*sign * d(sign)

ne consegue d(sign)=0, in R-{0}.

Post by Gian Paolo Bronzetti
f(0) come dice il sito,
oo come leggo altrove,
altro?
Va bene derivare cosi` queste funzioni generalizzate ?
Ho nuovamente sconfinato in distribuzioni e misure, purtroppo.
---
Ciao,
Paolo

[Gian Paolo Bronzetti]

Post by Josh
Intendi quanto vale delta(f(x)) quando f è la funzione
identicamente nulla? Vale zero.

Non identicamente, ma quando si annulla.

Post by Josh
Cmq per derivare la funzione segno ti propongo quest'altra strada.
0=d(1)=d(sign^2)=2*sign * d(sign)
ne consegue d(sign)=0, in R-{0}

Molto carino, ma non vale in 0, che e` il mio problema iniziale sui
valori assoluti.

--
Grazie,
Paolo