[?] Seconda formula dell'incremento finito

Gringo

2004-12-22 20:45:09 UTC

Post by xennek
Ciao a tuttti,
ho un problema con quella che il mio libro chiama "Seconda formula
dell'incremento finito".
Di fatto la formula deriva direttamente dal teorema di Lagrange, ed è
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), con tutte le ipotesi del teorema di L. e dove c
è un punto appartenente all'intervallo (a,b).
Ora, cosa significa che "il punto c dipende dai punti a e b, ma che in
generale tale dipendenza non è esplicita" ???

Significa che non puoi dedurre direttamente c mediante una espressione
esplicita
c=h(a,b), ossia non è detto che tu possa esplicitare il valore dell'ascissa
del punto, nel caso
unidimensionale, dalla conoscenza degli estremi dell'intervallo in cui è
definita la funzione,
quando in generale ciò non è possibile, la dipendeza è implicita.

Post by xennek
Secondo: è scritto che questa formula permette di ottenere delle
informazioni sull'incremento f(b)-f(a) della funzione dal
comportamento della funzione f' nell'intervallo [a,b].
Ok, ma io non capisco: se conosco già f', non posso direttamente
dedurne f attraverso una integrazione, in modo da avere tutte le
informazioni che voglio??? Non ci sarebbe nemmeno il problema della
costante di integrazione, dato che ci interessa una differenza (
f(b)-f(a) ).

Non sai però che l'integrazione non sempre è praticabile, ossia spesso
esistono
funzioni di cui non si riesce a calcolare un integrale in forma chiusa,
ossia una funzione
fatta di funzioni elementari note.
In questi non rari casi, come fai a sapere l'integrale che vuoi?

Post by xennek
Terzo, il libro continua dicendo che tale formula può essere usata per
descrivere il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto
x0 in modo più preciso rispetto a quanto fatto dalla "prima formula
dell'incremento finito" (che non è altro che la definizione di
differenziale, concetto di cui questo libro proprio non fa parola, non
capisco perchè...), ossia f(x)-f(x0)=f'(x0)(x-x0)+o(x-x0),x->x0
Infatti, dice, "consideriamo una f continua in x0 e derivabile in
tutto un intorno di x0 salvo al più in x0.
Allora, detto x un punto di tale intorno, applicando la Seconda
formula nell'intervallo di estremi x0 e x, si ottiene
DELTAf=f'(P)*DELTAx,
con P compreso tra x0 e x. Tale espressione rappresenta l'incremento
della variabile dipendente DELTAf come se fosse proporzionale
all'incremento della variabile indipendente DELTAx, salvo che il
coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata prima in un
punto vicino a x0 ma in generale non noto.
Sinceramente sta cosa mi è poco chiara....

LA formula da te espressa è la famosa approssimazione di una funzione
nell'intorno di un punto,
la quale afferma sotto certe ipotesi, che a meno di un infinitesimo di x-x0
il primo membro è ottenibile
moltiplicando la derivato della funzione nel punto iniziale per l'incremento
della variabile x, la formula
è una formula esatta bada bene ma ti dice che l'ultimo addendo a secondo
membro è sempre più piccolo
e quindi trascurabile tanto meno x è discosto da x0, e l'approssimazione è
f'(x0)*(x-x0), questa espressione
che fa uso della derivata nel punto inizale non è esatta, rispetto alla
formula di lagrangeil problema sta però
nel conoscere il punto c quindi, quanto può essere usata per conoscere a
partire dalla derivata non saprei, secondo
me solo in termini teorici per non portarsi appresso l'o piccolo di x-x0 che
è scomodo in effetti!