girando qua e la' capito su
http://it.wikipedia.org/wiki/Geodetica#Superfici_e_variet.C3.A0
dove leggo appunto che i paralleli non sono le linee piu' corte che
uniscono due punti, sulla superficie terrestre, mentre lo sono i
meridiani e l'equatore.
perche'?
I)
Considera due punti sulla superficie 1,2
c'è una linea g(1,2) che li collega. Considera
ora un punto 3 lungo questa linea. Il tratto da 1 a 3
deve essere il più breve fra tutti i possibili. Infatti
in caso contrario la linea g(1,2) non sarebbe la più
breve potendo essere accorciata sostituendo al tratto
1,3 la linea g(1,3). Lo stesso vale per la linea g(3,2):
deve coincidere con il tratto di g(1,2) fra 3 e 2. La
distanza fra 1 e 2 : d(1,2) = d(1,3) + d(3,2) è pari alla
somma della distanza di tre da 1 e 2 rispettivamente.
II)
Fin qua non abbiamo detto nulla di come siano fatte queste
linee. Facciamo un ulteriore passo avanti: consideriamo
i punti distanti dal punto 1 meno, o al più tanto quanto, la
distanza d(1,3) del punto tre dal punto 1. E consideriamo
i punti distanti dal punto 2 meno di d(2,3). Queste
due regioni della sfera non possono intersecarsi perchè in
caso contrario avremmo un punto 3' nella regione di intersezione
che dista da 2 e da 1 meno del punto 3 e quindi la distanza fra
1 e 2, che è la somma delle due, potrebbe essere accorciata
passando per questo punto 3' anzichè per il punto 3 e quindi
g(1,2), che, per ipotesi costruttiva di 3, passa per il punto 3
non sarebbe la geodetica fra 1 e 2.
III)
Ancora non abbiamo detto nulla di come sono fatte queste geodetiche,
e nella fattispecie nessuna delle proprietà specifiche della sfera,
ma adesso ricordiamoci questa circostanza: consideriamo fisso il punto 1
e ruotiamo la sfera tenendo fisso il punto 1, le immagini del punto 3
saranno, per via di questo movimento che conserva le lunghezze punti
alla stessa distanza dal punto 1. Se infatti esistesse per assurdo un
punto 3' immagine del punto 3 che dista meno di d(1,3) potremmo riportare
questo punto 3' sul punto 3 e la curva g(1,3') su una curva differente da
g(1,3) e più breve, quindi g(1,3) non sarebbe la geodetica da 1 a 3.
Per questa ragione c'è una circonferenza intorno al punto
1 che passa per il punto 3 che contiene tutti i punti che distano da 1 meno
o
quanto d(1,3) ed analogamente una circonferenza intorno al punto 2 con la
stessa proprietà. Queste due circonferenze, per l'argomento del paragrafo
II) possono avere un solo punto in comune: il punto 3, in caso contrario,
se avessero due punti in comune le parti interne dovrebbero parzialmente
sovrapporsi e nel paragrafo II) abbiamo mostrato che questo non è possibile.
IV)
Le considerazioni espresse al paragrafo III) dicono che per qualsiasi
punto della geodetica da 1 a 2 sulla sfera le circonferenze tracciate
con centro in 1 e 2 e passanti per questo punto devono essere tangenti
nel punto comune e solo in quello: di conseguenza la geodetica è
descritta dal luogo dei punti di tangenza delle circonferenze mutuamente
tangenti con centro in 1 e 2.
V)
Consideriamo adesso un piano che contiene i punti 1,2 ed il centro della
sfera e mostriamo che la geodetica g(1,2) appartiene a questo piano.
Supponiamo per assurdo che non sia vero: allora esisterebbe un punto
3 esterno a questo piano per cui passa una geodetica, consideriamo
l'immagine
speculare del punto 3 tramite questo piano. Risulterà un punto 3' distante
tanto quanto il punto 3 sia da 1 che da 2. Ma abbiamo visto che questo è
in contraddizione con il punto sostenuto al paragrafo II) per via
dell'argomento
sviluppato nel paragrafo III che riposa sulle simmetrie della sfera).
Pertanto
risulta dimostrato che la geodetica per due punti 1,2 di una sfera
sta sul piano che passa per il centro della sfera, quindi si tratta di una
circonferenza massima.
Questo argomento in particolare completa l'argomento brillante di
Gnappa sulle curvature, in quanto fornisce una dimostrazione completa
del fatto che le geodetiche sono circonferenze, il che a priori non è
lecito assumere, per quanto l'argomento di Gnappa possa essere
riportato ad una forma più generale ragionando sui tratti di geodetica
ed i cerchi osculatori, ma risulta forse più sofisticato di quello terra
terra,
anche se un poco lunghetto che ho riportato in questi cinque paragrafi.
i meridiani lo possono essere se due punti si trovano allineati
verticalmente, l'equatore lo puo' essere se due punti si trovano
allineati orizzontalmente, lungo l'equatore. e' ovvio.
nel caso due punti fossero ad una latitudine E longitudine diversa
allora la linea sara' diversa.
ma perche' se due punti si trovano allineati lungo un parallelo allora
il parallelo stesso NON e' una geodetica?
Prova a riprodurre il passo V) a partire da due punti lungo un parallelo,
considera punti ragionevolmente vicini da potere proiettare le tue figure
su un piano, in particolare dovresti trovare due archi di circonferenza:
uno per il parallelo, l'altro per la sua immagine riflessa rispetto al piano
che interseca i punti 1,2 lungo una circonferenza massima.
Ora considera le circonferenze con centri in 1, 2 che passano per
un punto 3' lungo il parallelo e per il punto 3'' (che ne è l'immagine
riflessa). Queste due circonferenze si intersecano, di conseguenza
deve esistere al loro interno un punto che dista meno del punto 3'
da 1 e 2. Quindi, a meno che il parallelo considerato non sia
l'equatore non può essere la linea più breve che congiunge i punti
1 e 2.
grazie a chi potra' chiarire il mio dubbio...ciao
GiovanniN
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