Risoluzione equazione difficile

[Andrea]

Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione

e^t=t+k

qualcuno di voi li conosce?

Grazie per l'aiuto

Andrea

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Gianfranco]

Post by Andrea
Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione
e^t=t+k
qualcuno di voi li conosce?
Grazie per l'aiuto
Andrea
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

Per questo tipo di equazioni ci sono solo metodi numerici, trasforma
l'equazione di partenza in f(t)=e^t-t-k=0 e cerca gli zeri di f;
dei suddetti metodi ce ne sono tanti uno ad esempio è l'algoritmo di
Newton-Raphson.
In rete, se fate una ricerca, troverete sia i concetti teorici che le
implementazioni in vari linguaggi.
Ciao, Gianfranco.

[chicchi]

"Andrea" ha scritto

Post by Andrea
Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione
e^t=t+k

Se ti basta una soluzione approssimata
puo risolverla graficamente.
Disegni y = e^t e y=t+k e poi vedi quali sono i punti di intersezione.

Ciao

[Xelloss da Bologna]

Post by Andrea
Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione
e^t=t+k

La formula ricorsiva

t_h+1 = e^(t_h) + k

converge, per h -> inf, alla soluzione t dell'equazione data. Per t_0 basta
scegliere un'approssimazione di t che puoi trovare per via grafica, come
altri ti hanno suggerito.

Saluti.

[Giovanni Resta]

Post by Xelloss da Bologna

Post by Andrea
Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione
e^t=t+k

La formula ricorsiva
t_h+1 = e^(t_h) + k
converge, per h -> inf, alla soluzione t dell'equazione data. Per t_0 basta
scegliere un'approssimazione di t che puoi trovare per via grafica, come
altri ti hanno suggerito.

Non funziona!!

Scusa, ma se prendi, per esempio, k=2 le soluzioni di e^x=x+2 valgono
circa -1.84141 e 1.14619.
Se anche parti da una approssimazione buona tipo t_0=1.146,
ottieni
t_1 = 5.14559
t_2 = 173.672
ecc.ecc (e ovviamente non converge).

Questo in primo luogo perche' e' sbagliata la tua formula, perche'
trasformando e^t=t+k caso mai ti dovrebbe venire t_(h+1)=e^(t_h) - k,
e non ...+ k.

Comunque anche la formula corretta t_(h+1)=e^(t_h) - k
converge solo sotto particolari ipotesi.
Nel nostro caso se partiamo da un valore molto vicino alla soluzione
negativa abbiamo convergenza (alla soluzione negativa), per esempio:
t_0 = -1.8
t_1 = -1.8347
t_2 = -1.84034
t_3 = -1.84124
t_4 = -1.84138

e analogamente, partendo da -1.9.

Se pero' cerchiamo di approssimare la radice positiva sono dolori:
t_0 = 1.14
t_1 = 1.12677
t_2 = 1.08567
t_3 = 0.961419
t_4 = 0.615406
t_5 = -0.149593
t_6 = -1.13894
t_7 = -1.67984 e cosi' via fino alla convergenza alla radice negativa.

se partiamo da un valore leggermente piu' grande:
t_0 = 1.15
t_1 = 1.15819
t_2 = 1.18417
t_3 = 1.26799
t_4 = 1.55369
t_5 = 2.72888
t_6 = 13.3158 e cosi' via verso l'infinito e oltre !

Un metodo migliore, che in questo caso penso fornisca convergenza verso
entrambe le soluzioni e' quello di Newton.
In parole povere, data la equazione f(x) = 0 si costruisce il metodo
iterativo x_(i+1) = x_i - f(x_i)/f'(x_i) dove f' e' la derivata e
quindi x_(i+1) = x_i - (E^(x_i)-(x_i)-k)/(E^(x_i)-1)
Sotto ipotesi abbastanza generali e partendo da buone approssimazioni
la convergenza e' quadratica, ovvero ad ogni iterazioni il numero
di cifre corrette del risultato piu' o meno raddoppia.
In questo caso, ad esempio, in cui k=2 e le soluzioni sono
-1.841405660437 e 1.1461932206206

per
t_0 = 1.3
t_1 = 1.1616501971852
t_2 = 1.1463662055254
t_3 = 1.1461932425508
t_4 = 1.1461932206206

e per
t_0 = -2
t_1 = -1.843482357250
t_2 = -1.841406066158
t_3 = -1.841405660437

ciao,
g.

[Xelloss da Bologna]

Post by Giovanni Resta
Non funziona!!
[...]
Questo in primo luogo perche' e' sbagliata la tua formula, perche'
trasformando e^t=t+k caso mai ti dovrebbe venire t_(h+1)=e^(t_h) - k,
e non ...+ k.

Azz, il sonno 8-)

Post by Giovanni Resta
Un metodo migliore, che in questo caso penso fornisca convergenza verso
entrambe le soluzioni e' quello di Newton.

Non avevo voglia di rispolverare il metodo delle tangenti, data l'ora ;-)
A proposito, la convergenza del metodo di Newton viene compromessa da
eventuali punti di flesso, se non ricordo male. Il primo metodo, invece,
sotto quali ipotesi converge?

Saluti.

[Gianfranco]

Post by Andrea
Ciao con un mio amico stavamo chiedendoci se esistono dei metodi per
risolvere l'equazione
e^t=t+k
qualcuno di voi li conosce?
Grazie per l'aiuto
Andrea
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Ricordati che l'applicazione di qualsiasi metodo numerico è sottopopsta
all'esistenza degli, eventuali, zeri;
questo fatto lo puoi scoprire facendo appello al teorema di esistenza
degli zeri esso dice: Sia f:R->R definita su I=(a, b) continua su I e tale
che
f(a)*f(b)<0 allora esiste c app. ad (a, b): f(c)=0.
ad esempio la funzione sign(x) rispetta la seconda ipotesi, relativamente
ad un intorno dell'origine ma non la prima per cui anche se passa da
valori negativi a valori positivi non si annulla mai.
Buon lavoro Gianfranco.

[Gabriele 'LightKnight' Stilli]

Post by Gianfranco
ad esempio la funzione sign(x) rispetta la seconda ipotesi, relativamente
ad un intorno dell'origine ma non la prima per cui anche se passa da
valori negativi a valori positivi non si annulla mai.

Mi pare che sign(0)=0, o sbaglio? :-)

L'intenzione era buona, l'esempio va quasi bene... magari un pochino
ritoccato :-)

Gabry (e la pignoleria) :-)

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[Gianmarco Bramanti]

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Post by Gianfranco
ad esempio la funzione sign(x) rispetta la seconda ipotesi,

relativamente

Post by Gianfranco
ad un intorno dell'origine ma non la prima per cui anche se passa da
valori negativi a valori positivi non si annulla mai.

Mi pare che sign(0)=0, o sbaglio? :-)
L'intenzione era buona, l'esempio va quasi bene... magari un pochino
ritoccato :-)
Gabry (e la pignoleria) :-)

Si sign(0)=0

Comunque sign(x)+1/2 oppure 2H-1 funzionano come
esempi, H(t) è la funzione di Heaviside. Vale zero
per t non positivi ed 1 per t positivi. t perchè
era usata originariamente, ed ancora oggi, per
imporre che un segnale fosse ricevuto dopo il
tempo zero e non prima. A dir la verità se uno
la scrive come limite debole della trasformata di Fourier,
se stava cercando la funzione di Heaviside alla
fine trova una funzione che non è definita in zero.
Ed è perciò che spesso viene taciuto cosa succede in zero.
E si fa ricorso al valore principale dell'integrale
\fract [exp(i \omega t) \omega] : exp(i om t)/om
che per t uguale a zero addirittura non converge,
ma se lo vedi come limite opportuno al crescere
dell'intervallo considerato, in t=0 vale
proprio zero. Infatti un teorema garantisce
che la serie di Fourier di una funzione regolare a tratti
su intervallo converge puntualmente alla funzione in tutti
gli intervalli di continuità ed al valore medio fra i limiti
destro e sinistro della funzione nei punti di discontinuità.

Riguardo all'esercizio di Andrea si può notare, usando il
teorema degli zeri, come suggerisce Gianfranco, che
per valori di k minori di -1 esistono due zeri. Mentre
per valori di k maggiori di -1 non esistono zeri
e se k=1 esiste un solo zero in t=0.

Se k>>1 uno zero, a t negativo, è collocato prossimamente
al valore t = -k. Per valutarlo meglio si costruisce una
ricorsione molto semplice:

t_(n+1) = exp(t_n)-k con k intero. Si sceglie t_0 = -k.

Questa sequenza sarà un'approssimazione per
difetto della soluzione. Per valutare l'altro zero,
quello a t positivi, si impostra un'altra ricorsione:

t_(n+1) = ln [t_n + k]

Si può partire con t_0 = 0. Anche in questo caso
otteniamo un'approssimazione per difetto della soluzione.

Mi piacerebbe esser capace di dimostrare che la soluzione
"algebrica" di questa equazione, ovvero uno sviluppo in
serie della funzione inversa, non ammette espressione in
termini di funzioni razionali di funzione trigonometriche
circolari ed iperboliche, e radicali aritmetici, ma temo di
non essere all'altezza di tale compito. Cioè dimostrare
la "trascendenza" della soluzione trascende le attitudini
che posseggo attualmente, anche se immagino che esistano
dei trattati del tempo di Liouville e del post-Abel
sull'argomento, quanto meno dei tentativi di impostazione,
quando non la soluzione.

Gianmarco e la tranquillità.








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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Andrea]

Grazie a tutti per l'aiuto!!!

ciao
Andrea

Il 29 Nov 2003, 00:43, Gabriele 'LightKnight' Stilli

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Hash: SHA1

Post by Gianfranco
ad esempio la funzione sign(x) rispetta la seconda ipotesi,

relativamente

Post by Gianfranco
ad un intorno dell'origine ma non la prima per cui anche se passa da
valori negativi a valori positivi non si annulla mai.

Mi pare che sign(0)=0, o sbaglio? :-)
L'intenzione era buona, l'esempio va quasi bene... magari un pochino
ritoccato :-)
Gabry (e la pignoleria) :-)

Si sign(0)=0
Comunque sign(x)+1/2 oppure 2H-1 funzionano come
esempi, H(t) è la funzione di Heaviside. Vale zero
per t non positivi ed 1 per t positivi. t perchè
era usata originariamente, ed ancora oggi, per
imporre che un segnale fosse ricevuto dopo il
tempo zero e non prima. A dir la verità se uno
la scrive come limite debole della trasformata di Fourier,
se stava cercando la funzione di Heaviside alla
fine trova una funzione che non è definita in zero.
Ed è perciò che spesso viene taciuto cosa succede in zero.
E si fa ricorso al valore principale dell'integrale
\fract [exp(i \omega t) \omega] : exp(i om t)/om
che per t uguale a zero addirittura non converge,
ma se lo vedi come limite opportuno al crescere
dell'intervallo considerato, in t=0 vale
proprio zero. Infatti un teorema garantisce
che la serie di Fourier di una funzione regolare a tratti
su intervallo converge puntualmente alla funzione in tutti
gli intervalli di continuità ed al valore medio fra i limiti
destro e sinistro della funzione nei punti di discontinuità.
Riguardo all'esercizio di Andrea si può notare, usando il
teorema degli zeri, come suggerisce Gianfranco, che
per valori di k minori di -1 esistono due zeri. Mentre
per valori di k maggiori di -1 non esistono zeri
e se k=1 esiste un solo zero in t=0.
Se k>>1 uno zero, a t negativo, è collocato prossimamente
al valore t = -k. Per valutarlo meglio si costruisce una
t_(n+1) = exp(t_n)-k con k intero. Si sceglie t_0 = -k.
Questa sequenza sarà un'approssimazione per
difetto della soluzione. Per valutare l'altro zero,
t_(n+1) = ln [t_n + k]
Si può partire con t_0 = 0. Anche in questo caso
otteniamo un'approssimazione per difetto della soluzione.
Mi piacerebbe esser capace di dimostrare che la soluzione
"algebrica" di questa equazione, ovvero uno sviluppo in
serie della funzione inversa, non ammette espressione in
termini di funzioni razionali di funzione trigonometriche
circolari ed iperboliche, e radicali aritmetici, ma temo di
non essere all'altezza di tale compito. Cioè dimostrare
la "trascendenza" della soluzione trascende le attitudini
che posseggo attualmente, anche se immagino che esistano
dei trattati del tempo di Liouville e del post-Abel
sull'argomento, quanto meno dei tentativi di impostazione,
quando non la soluzione.
Gianmarco e la tranquillità.
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