Michele Ancis
2005-10-23 15:49:59 UTC
Ciao,
sono sempre alle prese con questo problema:
*************************************************************************
sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba
a quelli e soltanto a quelli che non se la radono da soli.
Dimostrare che o B = \emptyset, oppure i barbieri appartenenti a B hanno
barbe...chilometriche.
*************************************************************************
Prima domanda: la locuzione "a quelli e soltanto a quelli" dovrebbe
significare "a tutti e soli quelli", secondo quel che ho capito io. Anche
perché se no le cose filano troppo lisce. E' "giusto" scrivere come ha
fatto l'autore?
Secondariamente, non so bene come passare dalla descrizione verbale ad una
formale con predicati, connettivi e quantificatori. A parole: un barbiere
appartenente a B dovrebbe radere *tutti* coloro che non si radono da soli,
dunque se si rade non dovrebbe (radendosi perde "il diritto" a farsi
radere...da sé stesso) e se non lo fa, dovrebbe (qui gioca ruolo
fondamentale quel "tutti" che ho fatto fatica ad intuire). Diciamo che il
paradosso mi è chiaro; almeno, a questo livello. Però già non riesco a
capire cosa significhi la seconda opzione: i barbieri appartenenti a B
hanno barbe...chilometriche. Che vuol dire? Io capisco che *non* si radono
ma..questo mi sembra assurdo perché se non si radono vanno a far parte del
"bacino degli aventi diritto" e per come ho capito non esiste la
possibilità che uno contemporaneamente non si rada e non venga raso da
altri. O sbaglio?
Per questo motivo, cercavo conforto in una formalizzazione che chiarisse il
problema, ma come ho detto sono in difficoltà. Ci provo, definendo il
predicato
p(x,y) : x rade y
x,y \in L, insieme dei barbieri di Lodi
Attraverso il predicato, dividiamo L in due sottoinsiemi:
T = {x: p(x,x)} e C = {x:~p(x,x)}
Per il principio del terzo escluso, i due insiemi sono disgiunti.Inoltre la
loro unione costituisce L.
ci interessa trovare B = {x : p(x,y) \forall y \in C}
A questo punto notiamo che x non può appartenere a C, perché ~p(x,x) nega
la condizione p(x,y) (con y = x) di appartenenza a B.
Parimenti, x non può appartenere a T, perché l'appartenenza anche a B
implica - poiché p(x,x) è vera - che x \in C, che contraddice la tesi.
A questo punto io direi che, non appartenendo gli elementi di B né a T, né
a C, risulti B = {\emptyset}.
Va bene come formalizzazione del problema? Se no, cosa dovrei cambiare,
capire...
La questione delle barbe chilometriche mi sfugge totalmente...
Grazie sentite a chi avrà voglia di leggersi 'sto papiro e magari darmi
qualche consiglio :-)
M
sono sempre alle prese con questo problema:
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sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba
a quelli e soltanto a quelli che non se la radono da soli.
Dimostrare che o B = \emptyset, oppure i barbieri appartenenti a B hanno
barbe...chilometriche.
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Prima domanda: la locuzione "a quelli e soltanto a quelli" dovrebbe
significare "a tutti e soli quelli", secondo quel che ho capito io. Anche
perché se no le cose filano troppo lisce. E' "giusto" scrivere come ha
fatto l'autore?
Secondariamente, non so bene come passare dalla descrizione verbale ad una
formale con predicati, connettivi e quantificatori. A parole: un barbiere
appartenente a B dovrebbe radere *tutti* coloro che non si radono da soli,
dunque se si rade non dovrebbe (radendosi perde "il diritto" a farsi
radere...da sé stesso) e se non lo fa, dovrebbe (qui gioca ruolo
fondamentale quel "tutti" che ho fatto fatica ad intuire). Diciamo che il
paradosso mi è chiaro; almeno, a questo livello. Però già non riesco a
capire cosa significhi la seconda opzione: i barbieri appartenenti a B
hanno barbe...chilometriche. Che vuol dire? Io capisco che *non* si radono
ma..questo mi sembra assurdo perché se non si radono vanno a far parte del
"bacino degli aventi diritto" e per come ho capito non esiste la
possibilità che uno contemporaneamente non si rada e non venga raso da
altri. O sbaglio?
Per questo motivo, cercavo conforto in una formalizzazione che chiarisse il
problema, ma come ho detto sono in difficoltà. Ci provo, definendo il
predicato
p(x,y) : x rade y
x,y \in L, insieme dei barbieri di Lodi
Attraverso il predicato, dividiamo L in due sottoinsiemi:
T = {x: p(x,x)} e C = {x:~p(x,x)}
Per il principio del terzo escluso, i due insiemi sono disgiunti.Inoltre la
loro unione costituisce L.
ci interessa trovare B = {x : p(x,y) \forall y \in C}
A questo punto notiamo che x non può appartenere a C, perché ~p(x,x) nega
la condizione p(x,y) (con y = x) di appartenenza a B.
Parimenti, x non può appartenere a T, perché l'appartenenza anche a B
implica - poiché p(x,x) è vera - che x \in C, che contraddice la tesi.
A questo punto io direi che, non appartenendo gli elementi di B né a T, né
a C, risulti B = {\emptyset}.
Va bene come formalizzazione del problema? Se no, cosa dovrei cambiare,
capire...
La questione delle barbe chilometriche mi sfugge totalmente...
Grazie sentite a chi avrà voglia di leggersi 'sto papiro e magari darmi
qualche consiglio :-)
M