Punto di accumulazione di una successione

[Pio]

Ho letto su un testo di analisi I, che l'unico punto di accumulazione
per una successione e' +oo

Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?

Grazie

[Simone]

Post by Pio
Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?

Non so cosa ti aspetti, anche perche' i teoremi non si spiegano sempre
"praticamente". Affermazioni cosi' stringate come quella che dici tu,
dovrebbe discendere direttamente da una definizione.
A questo punto mi domando chi abbia detto una cosa del genere. Temo che
tu abbia capito male, visto che e' consueto parlare di punto di
accumulazione per una successione intendendo punto di acc. per
l'immagine della successione. Dubito fortemente che una successione
costante abbia un punto di accumulazione all'infinito.

Per inciso, penso proprio di sapere quello che volevano dirti, e si
riferisce alla parte "per n che tende all'infinito". Questo e' comunque
un altro paio di maniche.

[Gianfranco]

Post by Pio
Ho letto su un testo di analisi I, che l'unico punto di accumulazione
per una successione e' +oo
Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?
Grazie

Ricordati la definizione di punto di accumulazione;
essa dice che un punto xo di un insieme A è punto di accumulazione se per
ogni intorno I del suddetto punto l'intersezione fra A e I, a meno del
punto stesso, non è mai vuota;
ossia in tale intersezione vi è sempre un punto diverso da xo.
Ora l'insieme dei naturali (insieme che costituisce il dominio delle
successioni, esse sono f:N->R) è costituito da punti isolati, quindi
prendendo, ad esempio, come intorno di un naturale n I=(n-1/2, n+1/2)
l'intersezione del suddetto I\{n} con N è sempre vuota.
Non è così per il punto all'infinito, infatti gli intorni di tale punto
sono tutte le semirette con origine in un generico a > 0 quindi scelto
come intorno I = [a, +oo) la sua intersezione con N, a meno del punto di
accumulazione, non è mai vuota.

Gianfranco.

[LordBeotian]

Post by Gianfranco

Post by Pio
Ho letto su un testo di analisi I, che l'unico punto di accumulazione
per una successione e' +oo
Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?

Ricordati la definizione di punto di accumulazione;
essa dice che un punto xo di un insieme A è punto di accumulazione se per
ogni intorno I del suddetto punto l'intersezione fra A e I, a meno del
punto stesso, non è mai vuota;
ossia in tale intersezione vi è sempre un punto diverso da xo.
Ora l'insieme dei naturali (insieme che costituisce il dominio delle
successioni, esse sono f:N->R) è costituito da punti isolati, quindi
prendendo, ad esempio, come intorno di un naturale n I=(n-1/2, n+1/2)
l'intersezione del suddetto I\{n} con N è sempre vuota.
Non è così per il punto all'infinito, infatti gli intorni di tale punto
sono tutte le semirette con origine in un generico a > 0 quindi scelto
come intorno I = [a, +oo) la sua intersezione con N, a meno del punto di
accumulazione, non è mai vuota.

...

Ciao.
Perchè hai preso come insieme A il dominio della successione anzichè
prendere l'immagine? Per me un "punto di accumulazione per una successione"
è sempre stato un punto di accumulazione per immagine.

[Luciano]

Un esempio geometrico, prendi una circonferenza C che contiene i vertici di
un quadrato (n=4)...aumenta il numero dei lati di a 5, 6 ...10...100... man
mano ti accorgi che il poligono assomiglia alla circonferenza, vero?
adesso continua ad aumentare il numero di lati e misura il perimetro del
poligono...chiamiamo P tale valore. bene, quando potrai dire che il
perimetro del poligono ha un valore pari a quella della
circonferenza(chiamiamo C tale valore) ? ... per n che "tende" a +oo!
quindi puoi asserire che per n-> +oo qualsiasi sia il margine di errore
ammissibile ( Epsilon ) potrai sempre trovare un numero di lati del poligono
tali che | P - C | < Epsilon ... allora la benedetta successione ha limite
C per n-> +oo

Per la questione dell'intorno, nel concetto di limite esso è sempre inteso
sul dominio della funzione/successione:
una successione ha limite "l" se associa due intorni, uno sul codominio, di
centro "l" e raggio Epsilon arbitrario( o Pasqualino..come vuoi..) e
l'altro, in N è sempre +oo

Post by LordBeotian

Post by Gianfranco

Post by Pio
Ho letto su un testo di analisi I, che l'unico punto di accumulazione
per una successione e' +oo
Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?

Ricordati la definizione di punto di accumulazione;
essa dice che un punto xo di un insieme A è punto di accumulazione se per
ogni intorno I del suddetto punto l'intersezione fra A e I, a meno del
punto stesso, non è mai vuota;
ossia in tale intersezione vi è sempre un punto diverso da xo.
Ora l'insieme dei naturali (insieme che costituisce il dominio delle
successioni, esse sono f:N->R) è costituito da punti isolati, quindi
prendendo, ad esempio, come intorno di un naturale n I=(n-1/2, n+1/2)
l'intersezione del suddetto I\{n} con N è sempre vuota.
Non è così per il punto all'infinito, infatti gli intorni di tale punto
sono tutte le semirette con origine in un generico a > 0 quindi scelto
come intorno I = [a, +oo) la sua intersezione con N, a meno del punto di
accumulazione, non è mai vuota.

Ciao.
Perchè hai preso come insieme A il dominio della successione anzichè
prendere l'immagine? Per me un "punto di accumulazione per una

...

successione"

Post by LordBeotian
è sempre stato un punto di accumulazione per immagine.

[dawide]

Post by Pio
Ho letto su un testo di analisi I, che l'unico punto di accumulazione
per una successione e' +oo
Dove posso trovare qualche esempio pratico che mi spieghi perche' cio'
e' vero?
Grazie

le successioni sono funzioni definite da Naturali ai Reali.
Ora immagina di rappresentare i numeri Naturali con dei punti uno dietro
all'altro con un certo spazio tra di essi....noterai che 0 è un punto
isolato, 1 è un punto isolato, 2 è un punto isolato..ecc perchè non esiste
nessun intorno di questi punti nell'insieme dei numeri naturali.....l'unico
posto in cui puoi trovare un punto di accumulazione (i limiti si possono
calcolare solo nei punti di accumulazione e non nei punti isolati) nei
numeri naturali è +infinito poichè un intorno di +infinito è una semiretta
che parte da un numero e va all'infinito e capisci bene che un oggetto così
definito lo trovi nei numeri naturali a + infinito

. . .
. . .
1 2 3 4
5 6

capito?

[Pio]

Grazie a tutti ora ho capito.