Punti di flesso

[Patrizio]

Ciao a tutti,

mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso. Qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point
ci sono piu' def. e alcune sono in contrasto
con le altre (credo).
Io direi che se in un x0 contenuto in un suo
intorno, nel quale la f'(x) e la f''(x) esistono,
e sono continue escluso al piu' x0, la f''(x)
cambia segno passando da x0-eps a x0+eps
(eps piccolo a piacere), allora la nostra f(x)
ha ivi un 'flesso di tipo A'; se concediamo che
f''(x0) esista e sia continua in tutto il succitato
intervallo, allora x0 e' un flesso di tipo B: in
questo caso la tangente alla curva f(x) 'attraversa'
la f(x) in x0. Esempio tipo A:
f = x^2, x in [0,1]
f = 2x-x^2, x in [1,2]

Non credo sia il caso di far l'esempio per B.

I flessi B sono un sottoinsieme di quelli A.

Bene, benche' forse non appaia, queste sono
riflessioni a caldo, da piu' parti manchera' il dovuto
rigore: potrei sapere cosa ne pensate?
In particolare, vi sembra necessario/opportuno
fare la distinzione tra A e B (etichette provvisorie)?

Ciao Patrizio

[?manu*]

Post by Patrizio
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso.

Fortunatamente non ci sono teoremi dove il "punto di flesso" entra tra
le ipotesi o la tesi. Dunque, in pratica, una definizione precisa non è
mai veramente necessaria, basta capirsi.

Detto questo, io sarei per mantenere le analogie con le definizioni di
massimo e minimo. Dunque te ne propongo altre due, entrambe più generali
di quelle che hai trovato:

C: un punto di flesso è un punti di massimo o minimo relativo per la
derivata della funzione

D: un punti di flesso è un punto tale che in un suo intorno la funzione
è concava da un lato e convessa dall'altro e inoltre esiste una retta
passante per il punto che sta "sotto" (minore o uguale) la parte
convessa e sopra la parte concava.

La C richiede che la funzione sia derivabile. La D neanche quello.

E.

[Patrizio]

Post by ?manu*

Post by Patrizio
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso.

Fortunatamente non ci sono teoremi dove il "punto di flesso" entra tra
le ipotesi o la tesi. Dunque, in pratica, una definizione precisa non è
mai veramente necessaria, basta capirsi.

Ah, ecco: non lo sapevo :)

Post by ?manu*
Detto questo, io sarei per mantenere le analogie con le definizioni di
massimo e minimo. Dunque te ne propongo altre due, entrambe più generali
C: un punto di flesso è un punti di massimo o minimo relativo per la
derivata della funzione

Qui non so se ho capito. Gli C sarebbero casi di B allorche'
la derivata seconda non esiste in x0, ma cambia segno?

Post by ?manu*
D: un punti di flesso è un punto tale che in un suo intorno la funzione
è concava da un lato e convessa dall'altro e inoltre esiste una retta
passante per il punto che sta "sotto" (minore o uguale) la parte
convessa e sopra la parte concava.

OK

Post by ?manu*
La C richiede che la funzione sia derivabile. La D neanche quello.

OK

Un esempio, forse carino (di B):

sgn(sin(x))*sin(x)*arcsin(sin(2x))

Post by ?manu*
E.

Ciao e grazie,
Patrizio

[?manu*]

Post by Patrizio

Post by ?manu*
C: un punto di flesso è un punti di massimo o minimo relativo per la
derivata della funzione

Qui non so se ho capito. Gli C sarebbero casi di B allorche'
la derivata seconda non esiste in x0, ma cambia segno?

A priori la derivata seconda potrebbe non esistere in nessun punto.
Dunque potrebbe non aver senso parlare del suo segno.

E.

[Andrea M.]

Post by ?manu*

Post by Patrizio
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso.

Fortunatamente non ci sono teoremi dove il "punto di flesso" entra tra
le ipotesi o la tesi. Dunque, in pratica, una definizione precisa non è
mai veramente necessaria, basta capirsi.

Stai scherzando vero?

Che ne dici di: I punti di flesso della cubica piana di weierstrass
sono esattamente i punti di 3-torsione. ?

Non è un bel teorema sui punti di flesso?

E chiedersi se i punti di flesso di una curva algebrica piana liscia
siano punti di Weierstrass non ti sembra una domanda interessante?

[Enrico Gregorio]

Post by Andrea M.

Post by ?manu*

Post by Patrizio
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso.

Fortunatamente non ci sono teoremi dove il "punto di flesso" entra tra
le ipotesi o la tesi. Dunque, in pratica, una definizione precisa non è
mai veramente necessaria, basta capirsi.

Stai scherzando vero?
Che ne dici di: I punti di flesso della cubica piana di weierstrass
sono esattamente i punti di 3-torsione. ?
Non è un bel teorema sui punti di flesso?
E chiedersi se i punti di flesso di una curva algebrica piana liscia
siano punti di Weierstrass non ti sembra una domanda interessante?

C'è da sottolineare che nel caso di una cubica la definizione di
flesso può essere data senza ricorrere a limiti: basta contare la
molteplicità di intersezione con la tangente. Le cose si complicano
un pochino con curve di ordine superiore, per la verità, ma per
esempio Hartshorne dà la definizione come punto in cui la molteplicità
di intersezione è maggiore di 2. Per funzioni reali credo che l'unico
modo sensato sia di limitarsi a funzioni di classe C^2 e guardare dove
la curvatura cambia segno.

Ciao
Enrico

[?manu*]

Post by Andrea M.

Post by ?manu*

Post by Patrizio
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso.

Fortunatamente non ci sono teoremi dove il "punto di flesso" entra tra
le ipotesi o la tesi. Dunque, in pratica, una definizione precisa non è
mai veramente necessaria, basta capirsi.

Stai scherzando vero?
Che ne dici di: I punti di flesso della cubica piana di weierstrass
sono esattamente i punti di 3-torsione. ?
Non è un bel teorema sui punti di flesso?

Onestamente non pensavo ci fossero...

Allora qual è dunque la definizione di punto di flesso?

E.

[Sororis]

il flesso è il punto di torsione irreversibile!
una linea del piano (ho detto piano, no retta!) ha
spessore infinitesimo che via via si avvolge su
se stesso fino ad un punto di rottura da cui parte
l'anti avvitamento, se guardi così cosa deduci?
che una torsione i^i^i a 3 dim produce flessione
di senso opposto all'avvitamento precedente mentre
il volume i^i planare rimane inchiodato all'estremo
della torsione, a quel punto scatta la risposta 3 dim
e ottieni un'inversione di torsione! E non puoi più
tornare indietro! Lasci la concavità ed entri nella convessità!

Post by Patrizio
Ciao a tutti,
mi sto chiedendo quale sia l'esatta definizione
di un punto di flesso. Qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point
ci sono piu' def. e alcune sono in contrasto
con le altre (credo).
Io direi che se in un x0 contenuto in un suo
intorno, nel quale la f'(x) e la f''(x) esistono,
e sono continue escluso al piu' x0, la f''(x)
cambia segno passando da x0-eps a x0+eps
(eps piccolo a piacere), allora la nostra f(x)
ha ivi un 'flesso di tipo A'; se concediamo che
f''(x0) esista e sia continua in tutto il succitato
intervallo, allora x0 e' un flesso di tipo B: in
questo caso la tangente alla curva f(x) 'attraversa'
f = x^2, x in [0,1]
f = 2x-x^2, x in [1,2]
Non credo sia il caso di far l'esempio per B.
I flessi B sono un sottoinsieme di quelli A.
Bene, benche' forse non appaia, queste sono
riflessioni a caldo, da piu' parti manchera' il dovuto
rigore: potrei sapere cosa ne pensate?
In particolare, vi sembra necessario/opportuno
fare la distinzione tra A e B (etichette provvisorie)?
Ciao Patrizio

[Socratis]

"Sororis" <***@ri.s>

Alias Radicale ha scritto le seguenti fesserie :

(((> il flesso è il punto di torsione irreversibile!

Post by Sororis
una linea del piano (ho detto piano, no retta!) ha
spessore infinitesimo che via via si avvolge su
se stesso fino ad un punto di rottura da cui parte
l'anti avvitamento, se guardi così cosa deduci?
che una torsione i^i^i a 3 dim produce flessione
di senso opposto all'avvitamento precedente mentre
il volume i^i planare rimane inchiodato all'estremo
della torsione, a quel punto scatta la risposta 3 dim
e ottieni un'inversione di torsione! E non puoi più
tornare indietro! Lasci la concavità ed entri nella convessità!)))

Non ho parole
Socratis.