Integrale definito

[Max]

Un semplicissimo integrale razionale definito:
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Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?

A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

[fm2766]

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Dimentichi di cambiare un segno

frac{x^2}{2}-x - frac{4}{x+2} tra 0 e 2 è

(frac{2^2}{2}-2-frac{4}{2+2})-(frac{0^2}{2}-0-frac{4}{0+2})=
=(frac{4}{2}-2-frac{4}{4})-(frac{0}{2}-0-frac{4}{2})=
=(2-2-1)-(0-0-2)=
=3-2=1

[Max]

Post by fm2766

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Dimentichi di cambiare un segno
frac{x^2}{2}-x - frac{4}{x+2} tra 0 e 2 è
(frac{2^2}{2}-2-frac{4}{2+2})-(frac{0^2}{2}-0-frac{4}{0+2})=
=(frac{4}{2}-2-frac{4}{4})-(frac{0}{2}-0-frac{4}{2})=
=(2-2-1)-(0-0-2)=
=3-2=1

Che stupidata che era!! :-(
Meglio scriversi tutti i passaggi, anche quando si crede che siano
calcoli scontati.
Grazie.

[fm2766]

Post by Max

Post by fm2766

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Dimentichi di cambiare un segno
frac{x^2}{2}-x - frac{4}{x+2} tra 0 e 2 è
(frac{2^2}{2}-2-frac{4}{2+2})-(frac{0^2}{2}-0-frac{4}{0+2})=
=(frac{4}{2}-2-frac{4}{4})-(frac{0}{2}-0-frac{4}{2})=
=(2-2-1)-(0-0-2)=
=3-2=1

Che stupidata che era!! :-(

Càpita, ogni tanto.

Post by Max
Meglio scriversi tutti i passaggi, anche quando si crede che siano
calcoli scontati.
Grazie.

Prego

[Max]

Post by Max
Meglio scriversi tutti i passaggi, anche quando si crede che siano
calcoli scontati.
Grazie.

Prego

Questo invece credo l'abbia sbagliato il libro(sempre un segno), mi ha
fatto perdere due ore sto disgraziato, l'ho rifatto 10 volte, a me viene:

2log(6)-2-3log(2)

Controllando con Geogebra, stavolta il segno l'ha sbagliato lui, nella
soluzione dice:

+log|x-1|


Io in quel passaggio mi trovo -log|x-1|

[Max]

Post by Max
Meglio scriversi tutti i passaggi, anche quando si crede che siano
calcoli scontati.
Grazie.

Prego

Questo invece credo l'abbia sbagliato il libro(sempre un segno), mi ha
*2*log(6)-2-3log(2)

Ho sbagliato a digitare:

3log(6)-2-3log(2)

[Max]

Post by Max
3log(6)-2-3log(2)

Ho scordato il link!! :-)


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[Enrico Gregorio]

Post by Max

Post by Max
3log(6)-2-3log(2)

Ho scordato il link!! :-)
http://img138.imageshack.us/img138/613/logkq.jpg

Fra 2 e 3 si ha x-1>0 e x>0, dunque la funzione integranda
si può scrivere come

log(x-1) + log x

Una primitiva di log x è x log x - x, quindi una primitiva
della tua funzione è

F(x) = (x-1) log(x-1) - (x-1) + x log x - x

Si ha

F(3) = 2 log 2 - 2 + 3 log 3 - 3 = 2 log 2 + 3 log 3 - 5
F(2) = 1 log 1 - 1 + 2 log 2 - 2 = 2 log 2 - 3

Quindi

F(3) - F(2) = 3 log 3 - 2

che non coincide con il tuo né con il loro. :(

Vediamo di controllare scrivendo in altro modo:

F(x) = x log(x-1) - log(x-1) - x + 1 + x log x - x
= x log(x^2-x) - log(x-1) - 2x + 1

La tua congettura che fosse "-log(x-1)" è corretta (ovviamente
il +1 finale è irrilevante nella primitiva).

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Enrico Gregorio
che non coincide con il tuo né con il loro. :(

Ti riporto come l'ho fatto io su carta, spero sia chiaro, è un pochino
disordinato e scritto velocemente:

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L'integrale in alto a destra l'ho svolto qui:

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Grazie ancora Enrico.

[Enrico Gregorio]

Post by Max

Post by Enrico Gregorio
che non coincide con il tuo né con il loro. :(

Ti riporto come l'ho fatto io su carta, spero sia chiaro, è un pochino
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_230344.jpg
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_230437.jpg

Perché fare tanta fatica quando si può scrivere

log(x^2 - x) = log|x-1| + log|x|

(naturalmente dove x^2 - x > 0). Una primitiva di log|x| si trova
integrando per parti come per log x:

x log|x| - x

e hai ovviamente anche una primitiva di log|x-1|.

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_230437.jpg

Perché fare tanta fatica quando si può scrivere
log(x^2 - x) = log|x-1| + log|x|

Già scomponendolo come x(x-1)
Purtroppo non mi era passato per la testa.

Vabbe' mi sono allenato nei calcoli ;-)

Sia il tuo risultato che il mio danno 1.3 comunque...alla fine
l'importante è arrivare a Roma, no? Anche se io ci arrivo qualche ora
dopo ;-)

[Max]

Post by Max

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_230437.jpg

Perché fare tanta fatica quando si può scrivere
log(x^2 - x) = log|x-1| + log|x|

Già scomponendolo come x(x-1)
Purtroppo non mi era passato per la testa.

Adesso che ci penso: la pagina sull'eserciziario diceva espressamente:
integrare per parti! :-)

[Enrico Gregorio]

Post by Max

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_230437.jpg

Perché fare tanta fatica quando si può scrivere
log(x^2 - x) = log|x-1| + log|x|

Già scomponendolo come x(x-1)
Purtroppo non mi era passato per la testa.
Vabbe' mi sono allenato nei calcoli ;-)
Sia il tuo risultato che il mio danno 1.3 comunque...alla fine
l'importante è arrivare a Roma, no? Anche se io ci arrivo qualche ora
dopo ;-)

Pescando, forse, quello che hai scritto giusto, dovrebbe essere

3log(6)-2-3log(2)

Naturalmente log 6 = log 3 + log 2. :)

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Max
3log(6)-2-3log(2)
Naturalmente log 6 = log 3 + log 2. :)

vedi che mi trovavo? ;-)

Grazie Enrico, e buonanotte!(se ci sei ancora)

[fm2766]

Post by Max

Post by Max
Meglio scriversi tutti i passaggi, anche quando si crede che siano
calcoli scontati.
Grazie.

Prego

Questo invece credo l'abbia sbagliato il libro(sempre un segno), mi ha
*2*log(6)-2-3log(2)

3log(6)-2-3log(2)

In geogebra
log(x) rappresenta ln(x)
mentre
lg(x) rappresenta il logaritmo decimale

Credo che tu abbia sbagliato di nuovo.
Con geogebra calcoli l'integrale definito:

Integrale[lg(x² - x), 2, 3] = 0.56277
confrontato con
3 lg(6)-2-3 lg(2) = -0.56864
c'è qualche errore...

Ma perché non usi Maxima????

[Max]

Post by fm2766
In geogebra
log(x) rappresenta ln(x)

Si ho usato "log", che anche sul libro indica il logaritmo in base e.

Comunque Geogebra mi riporta come risultato 1.3 sia inserendo il mio
risultato 3log(6)-2-3log(2) sia lasciando calcolare a lui l'integrale.

Post by fm2766
Ma perché non usi Maxima????

Adesso che me l'hai detto lo provo, a me avevano consigliato Geogebra
come ottimo...ma se c'è di meglio ben venga! ;-)
Ciao.

[fm2766]

Post by Max

Post by fm2766
In geogebra
log(x) rappresenta ln(x)

Si ho usato "log", che anche sul libro indica il logaritmo in base e.
Comunque Geogebra mi riporta come risultato 1.3 sia inserendo il mio
risultato 3log(6)-2-3log(2) sia lasciando calcolare a lui l'integrale.

Post by fm2766
Ma perché non usi Maxima????

Adesso che me l'hai detto lo provo, a me avevano consigliato Geogebra
come ottimo...ma se c'è di meglio ben venga! ;-)
Ciao.

Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici e per
semplici calcoli.
Io, gli integrali, li farei con Maxima... meglio, con interfaccia
grafica (se hai windows, usa wxmaxima).
Ciao.

[superpollo]

Post by fm2766

Post by Max

Post by fm2766
In geogebra
log(x) rappresenta ln(x)

Si ho usato "log", che anche sul libro indica il logaritmo in base e.
Comunque Geogebra mi riporta come risultato 1.3 sia inserendo il mio
risultato 3log(6)-2-3log(2) sia lasciando calcolare a lui l'integrale.

Post by fm2766
Ma perché non usi Maxima????

Adesso che me l'hai detto lo provo, a me avevano consigliato Geogebra
come ottimo...ma se c'è di meglio ben venga! ;-)
Ciao.

Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici

mi oppongo! maxima fa ottimi grafici (via gnuplot)! ;-)

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bye

[Max]

Post by fm2766
Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici e per
semplici calcoli.

Appena installato, filosofia diversa da Geogebra, devo imparare ad
usarlo leggendo qualche manuale(ah, avessi il tempo, magari più in la...)


Come prima cosa ho provato il secondo integrale discusso in questo
post(quello logaritmico) e il risultato(espressione) è diverso...come
viene interpretato "log" con Maxima?

Ho notato una differenza(tra le infinite): Geogebra mi esegue
direttamente il calcolo numerico dell'integrale mentre Maxima mi
restituisce l'espressione, che può essere anche comodo, ma come si fa
poi ad avere anche il valore numerico?(cosi si possono confrontare
subito anche espressioni diverse dello stesso risultato)

Comunque per adesso uso Geogebra(con il quale ho più familiarità), poi
in parallelo cerco con calma di imparare ad usare anche Maxima...

Tra l'altro uno che ha Max come nick deve per forza imparare ad usarlo :-P

Ciao.

[superpollo]

Post by Max

Post by fm2766
Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici e per
semplici calcoli.

Appena installato, filosofia diversa da Geogebra, devo imparare ad
usarlo leggendo qualche manuale(ah, avessi il tempo, magari più in la...)
Come prima cosa ho provato il secondo integrale discusso in questo
post(quello logaritmico) e il risultato(espressione) è diverso...come
viene interpretato "log" con Maxima?
Ho notato una differenza(tra le infinite): Geogebra mi esegue
direttamente il calcolo numerico dell'integrale mentre Maxima mi
restituisce l'espressione, che può essere anche comodo, ma come si fa
poi ad avere anche il valore numerico?(cosi si possono confrontare
subito anche espressioni diverse dello stesso risultato)

(%i5) integrate (log(x^2-x), x);
2
(%o5) x log(x - x) - log(x - 1) - 2 x
(%i6) integrate (log(x^2-x), x, 2, 3);
(%o6) 3 log(6) - 3 log(2) - 2

bye

[Max]

Post by superpollo

Post by Max

Post by fm2766
Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici e per
semplici calcoli.

Appena installato, filosofia diversa da Geogebra, devo imparare ad
usarlo leggendo qualche manuale(ah, avessi il tempo, magari più in la...)
Come prima cosa ho provato il secondo integrale discusso in questo
post(quello logaritmico) e il risultato(espressione) è diverso...come
viene interpretato "log" con Maxima?
Ho notato una differenza(tra le infinite): Geogebra mi esegue
direttamente il calcolo numerico dell'integrale mentre Maxima mi
restituisce l'espressione, che può essere anche comodo, ma come si fa
poi ad avere anche il valore numerico?(cosi si possono confrontare
subito anche espressioni diverse dello stesso risultato)

(%i5) integrate (log(x^2-x), x);
2
(%o5) x log(x - x) - log(x - 1) - 2 x
(%i6) integrate (log(x^2-x), x, 2, 3);
(%o6) 3 log(6) - 3 log(2) - 2
bye

Come dicevo devo imparare ad usarlo :-P

Trovo scomodo che non si eseguano i calcoli semplicemente premendo invio
però...

[superpollo]

Post by Max

Post by superpollo

Post by Max

Post by fm2766
Maxima è ottimo per il calcolo, Geogebra lo è per i grafici e per
semplici calcoli.

Appena installato, filosofia diversa da Geogebra, devo imparare ad
usarlo leggendo qualche manuale(ah, avessi il tempo, magari più in la...)
Come prima cosa ho provato il secondo integrale discusso in questo
post(quello logaritmico) e il risultato(espressione) è diverso...come
viene interpretato "log" con Maxima?
Ho notato una differenza(tra le infinite): Geogebra mi esegue
direttamente il calcolo numerico dell'integrale mentre Maxima mi
restituisce l'espressione, che può essere anche comodo, ma come si fa
poi ad avere anche il valore numerico?(cosi si possono confrontare
subito anche espressioni diverse dello stesso risultato)

(%i5) integrate (log(x^2-x), x);
2
(%o5) x log(x - x) - log(x - 1) - 2 x
(%i6) integrate (log(x^2-x), x, 2, 3);
(%o6) 3 log(6) - 3 log(2) - 2
bye

Come dicevo devo imparare ad usarlo :-P
Trovo scomodo che non si eseguano i calcoli semplicemente premendo invio
però...

ah tu vuoi il valore approssimato?

(%i12) float(%o6);
(%o12) 1.295836866004329

bye

[Max]

(%i5) integrate (log(x2-x), x);
2
(%o5) x log(x - x) - log(x - 1) - 2 x

Ho fatto copia e incolla del tuo comando:

integrate (log(x2-x), x);



Mi restituisce:


-(x2-x)*log(x2-x)+x2-x

[superpollo]

(%i5) integrate (log(x2-x), x);
2
(%o5) x log(x - x) - log(x - 1) - 2 x

integrate (log(x2-x), x);
-(x2-x)*log(x2-x)+x2-x

non hai copiato bene, manca "^" fra "x" e "2". e' un problema del
newsreader... cerca di essere intelligente e non ci riesce ;-)

bye

[Max]

Post by superpollo
non hai copiato bene, manca "^" fra "x" e "2". e' un problema del
newsreader... cerca di essere intelligente e non ci riesce ;-)

Ah ecco :-P

[Max]

Post by superpollo
non hai copiato bene, manca "^" fra "x" e "2". e' un problema del
newsreader... cerca di essere intelligente e non ci riesce ;-)
bye

ah, ecco :-P

[Enrico Gregorio]

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Difficile che l'integrale di una funzione positiva sia negativo,
che dici?

(x - 1)(x^2 + 4x + 4) + 4 =
x^3 - x^2 + 4x^2 - 4x + 4x - 4 + 4 =
x^3 + 3x^2

Bene, la divisione è corretta. Una primitiva di 4/(x+2)^2
è -4/(x+2). Perciò una primitiva è

F(x) = x^2/2 - x - 4/(x+2)

F(2) = 4/2 - 2 - 1 = -1
F(0) = -2

F(2) - F(0) = -1 + 2 = 1

Ovviamente sbagli a scrivere l'ultimissimo -2 che invece è 2.

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Difficile che l'integrale di una funzione positiva sia negativo,
che dici?

Positiva tra 0 e 1(e a noi quello ci interessa), per x<-3 è negativa, no?

x^2(x+3)>0
Positiva per x>-3


Cmq alla fine era uno stupidissimo errore di calcolo.

[Enrico Gregorio]

Post by Max

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-06-13_170025.jpg
Controllato e ricontrollato...dove sbaglio?
A me viene -3, mentre il risultato corretto è 1.

Difficile che l'integrale di una funzione positiva sia negativo,
che dici?

Positiva tra 0 e 1(e a noi quello ci interessa), per x<-3 è negativa, no?
x^2(x+3)>0
Positiva per x>-3

Che cosa faccia la funzione fuori [0,2] non interessa minimamente.

Post by Max
Cmq alla fine era uno stupidissimo errore di calcolo.

Già. :) Meglio calcolarsi F(b) e F(a) separatamente, quando si ha
qualche dubbio: si fa presto a sbagliare un segno.

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Enrico Gregorio

Post by Max
Positiva tra 0 e 1(e a noi quello ci interessa), per x<-3 è negativa, no?
x^2(x+3)>0
Positiva per x>-3

Che cosa faccia la funzione fuori [0,2] non interessa minimamente.

Si quello volevo dire(prima o scritto tra 0 e *1*)

[Max]

Si quello volevo dire(prima *ho* scritto tra 0 e *1*)