Cuspidi

[Max]

Non mi è chiaro il discorso geometrico in base al quale se il limite
sinistro, in un punto x, del rapporto incrementale va a più
infinito(meno infinito) e quello destro va a meno infinito(più infinito)
abbiamo una cuspide verso l'alto(basso).
Forse più che di una spiegazione avrei bisogno di qualche disegno fatto
bene...


Dubbio strettamente correlato al problema:

Se in un punto considero il rapporto incrementale sinistro
[f(x+h)-f(x)]/h
Se la funzione nell'intorno sinistro di x è crescente avrò al
denominatore un valore negativo(perché intorno sinistro) al numeratore
un valore positivo, quindi è corretto dire che nel caso il rapporto
tenda a infinito questo sarà preso col segno meno?

Credo di no perché non mi trovo con le definizioni di cuspide che ho...
Grazie.

[Max]

Post by Max
Se la funzione nell'intorno sinistro di x è crescente avrò al
denominatore un valore negativo(perché intorno sinistro) al numeratore
un valore positivo, quindi è corretto dire che nel caso il rapporto
tenda a infinito questo sarà preso col segno meno?

Aspattate, forse ho capito l'errore: il segno sarà positivo perché anche
al numeratore abbiamo un valore negativo...quindi devo aver fatto
confusione prima.

[Luciano Buggio]

Post by Max
Non mi è chiaro il discorso geometrico in base al quale se il limite
sinistro, in un punto x,  del rapporto incrementale va a più
infinito(meno infinito) e quello destro va a meno infinito(più infinito)
abbiamo una cuspide verso l'alto(basso).
Forse più che di una spiegazione avrei bisogno di qualche disegno fatto
bene...

Ti suggerirei semplicemwente di visualizzare il comportamento di un
punto di una circonferenza che rotola nel momento di toccare il
pavimento e di cambiare istantaneamente direzione.
Interessante è anche il fatto che la curvatura , sia destra che
sinistra, della traiettoria è in quel punto infinita, continuando ad
essere le due tangenti ds e sx verticali.

Luciano B>uggio
http://www.lucianobuggio.altervista.org

[Tetis]

Post by Max
Non mi è chiaro il discorso geometrico in base al quale se il limite
sinistro, in un punto x,  del rapporto incrementale va a più
infinito(meno infinito) e quello destro va a meno infinito(più infinito)
abbiamo una cuspide verso l'alto(basso).

Per parlare di cuspide la funzione deve anche essere continua in quel
punto.

Post by Max
Forse più che di una spiegazione avrei bisogno di qualche disegno fatto
bene...

per esempio il grafico di (|x|)^(1/3) ha un punto di cuspide in x = 0.
Il grafico della funzione inversa di x^3, invece, ha solamente un
flesso verticale in x = 0. Cioè il grafico della funzione ha in
entrambi i casi "tangente" verticale in x=0, ma nel primo caso la
funzione ha una forma cuspidata. Le virgolette sono d'obbligo perché
la definizione operativa di retta tangente è delicata nel primo caso.

Post by Max
Se in un punto considero il rapporto incrementale sinistro
[f(x+h)-f(x)]/h
Se la funzione nell'intorno sinistro di x è crescente avrò al
denominatore un valore negativo(perché intorno sinistro) al numeratore
un valore positivo, quindi è corretto dire che nel caso il rapporto
tenda a infinito questo sarà preso col segno meno?

Sarà corretto dire che il rapporto incrementale è negativo
nell'intorno sinistro e se nel complesso tende ad infinito allora
nell'intorno sinistro tende a meno infinito, sì. Ora se la funzione
risulta crescente anche nell'intorno destro, ovvero ha un minimo in x
allora se il limite del rapporto incrementale nell'intorno destro sarà
+oo. E viceversa se la funzione ha un massimo in x.

Post by Max
Credo di no perché non mi trovo con le definizioni di cuspide che ho...
Grazie.

[Max]

On Saturday/16/01/2010 14:44, Tetis wrote:
rà corretto dire che il rapporto incrementale è negativo

Post by Tetis
Ora se la funzione
risulta crescente anche nell'intorno destro, ovvero ha un minimo in x
allora se il limite del rapporto incrementale nell'intorno destro sarà
+oo. E viceversa se la funzione ha un massimo in x.

Innanzitutto ringrazio entrambi per aver provato ad aiutarmi...
Vediamo se le idee le ho chiare, guardate questo esercizietto:

Loading Image...

Ditemi soltanto se è fatto bene oppure no e poi chiudo questo argomento
come "compreso" :-)

p.a. è un punto angoloso perché le derivate sinistre e destre sono
finite, ma diverse, c è una cuspide verso il basso o l'alto(ho indicato
come vanno a infinito i limiti destro e sinistro, credo di averli
scritti corretti), e poi l'ultimo è un punto di flesso...

Grazie ancora.

[Enrico Gregorio]

Post by Tetis
rà corretto dire che il rapporto incrementale è negativo

Post by Tetis
Ora se la funzione
risulta crescente anche nell'intorno destro, ovvero ha un minimo in x
allora se il limite del rapporto incrementale nell'intorno destro sarà
+oo. E viceversa se la funzione ha un massimo in x.

Innanzitutto ringrazio entrambi per aver provato ad aiutarmi...
http://digilander.libero.it/maxxam99/Pics/2010-01-17_111539.jpg
Ditemi soltanto se è fatto bene oppure no e poi chiudo questo argomento
come "compreso" :-)
p.a. è un punto angoloso perché le derivate sinistre e destre sono
finite, ma diverse, c è una cuspide verso il basso o l'alto(ho indicato
come vanno a infinito i limiti destro e sinistro, credo di averli
scritti corretti), e poi l'ultimo è un punto di flesso...

Naturalmente quello non può essere il grafico di una funzione.
Indichiamo con c l'ascissa del presunto punto angoloso. La
derivata destra non può avere coefficiente angolare positivo:
infatti devi calcolare il limite del rapporto incrementale

(f(c+h) - f(c))/h

con h>0; ma secondo il grafico indicato avremmo f(c+h) < f(c)
e quindi il rapporto incrementale sarebbe negativo.

Ciao
Enrico

[Max]

Post by Enrico Gregorio
Naturalmente quello non può essere il grafico di una funzione.

E' un esempio preso da un libro di analisi per le superiori(
geometra) di Zwirner - Scaglianti...

Credo che non si preoccupi di considerarla una funzione, vorrebbe solo
far capire le definizioni, e il punto p1 è il libro stesso a definirlo
punto angoloso...(infatti i miei dubbi erano più sulla correttezza dei
segni sui rapporti incrementali infiniti delle cuspidi)

Post by Enrico Gregorio
Indichiamo con c l'ascissa del presunto punto angoloso. La
infatti devi calcolare il limite del rapporto incrementale
(f(c+h) - f(c))/h
con h>0; ma secondo il grafico indicato avremmo f(c+h)< f(c)
e quindi il rapporto incrementale sarebbe negativo.

Un punto angoloso è un punto in cui esistono finiti i rapporti
incrementali destro e sinistro, ma sono diversi...il libro in quel punto
ha disegnato le rette tangenti, per far vedere che i coefficienti
angolari(e quindi le derivate) non sono gli stessi, da sinistra e da
destra, e che quindi quello è un punto angoloso...poi magari non è stato
preciso sul disegno..

Ti prego non distruggere una delle poche certezze che avevo! :-)
Ciao.

[Max]

Post by Max

Post by Enrico Gregorio
Naturalmente quello non può essere il grafico di una funzione.

E' un esempio preso da un libro di analisi per le superiori(
geometra) di Zwirner - Scaglianti...

Questo libro è stato fatto con i piedi, pare una bozza, guardate pure qui:


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E' chiaro che le figure 5.4 e 5.5 dovrebbero essere invertite per far
tornare i conti...