valor medio di cos(x)^2

[Andrea Menegolo]

Salve,
scusate il dubbio atroce. Ho già postato il quesito in
free.it.scienza.fisica ma forse è questo il luogo più indicato!

Per calcolare il valor medio di cos(x)^2 (che ha periodo pi) procedo nel
modo seguente:
<cos(x)^2> = 1/pi * int_0^pi(cos(x)^2 dx) =
= 1/pi * [ int_0^pi ( 1/2 dx) + int_0^pi (cos(2x)/2 dx) =
= 1/pi * pi/2 + 1/pi * 0 = 1/2
E quindi trovo 1/2

Il mio problema è dato dal fatto che il mio prof e il libro di testo
(Bransden-Joachain) dicono che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3. L'angolo
x è l'angolo tra il vettore di polarizzazione e il vettore posizione. Si
media il coseno nel caso in cui la luce non sia polarizzata per cui se ne
può prendere il valore medio.

La conclusione a cui sono giunto è che y=1/3 sia la retta che divide in
due parti uguali l'area sotto alla curva definita da cos(x)^2, ma non so
come si calcoli formalmente!
- L'area è naturalmente pi/2
- Mezza area è pi/4
mi fermi qui

Grazie per qualsiasi risposta!
Andrea

[ticonzero]

Post by Andrea Menegolo
Per calcolare il valor medio di cos(x)^2
Il mio problema è dato dal fatto che il mio prof e il libro di testo
(Bransden-Joachain) dicono che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3.
L'angolo x è l'angolo tra il vettore di polarizzazione e il vettore
posizione.

Ciao. Hai sommato sulle polarizzazioni?
Se hai due polarizzazioni indipendenti lungo x e lungo y allora sommando
sulle polarizzazioni hai

cos(x1)^2+cos(x2)^2

dove x1 e x2 sono gli angoli tra il raggio vettore e gli assi x e y:

cos(x1)= sin(theta) cos(phi)
cos(x2)= sin(theta) sin(phi)

cos(x1)^2+cos(x2)^2 = sin(theta)^2

se fai la media di sin(theta)^2 sull'angolo solido d(Omega)=sin(theta)
d(theta) d(phi)
ti dovrebbe venire 2/3.

Ciao!

PS
Ma le hai viste le soluzioni agli esercizi in appendice al tuo libro? :-D

[Andrea Menegolo]

Per calcolare il valor medio di cos(x)^2 Il mio problema è dato dal
fatto che il mio prof e il libro di testo (Bransden-Joachain) dicono
che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3. L'angolo x è l'angolo tra il
vettore di polarizzazione e il vettore posizione.

Ciao. Hai sommato sulle polarizzazioni? Se hai due polarizzazioni
indipendenti lungo x e lungo y allora sommando sulle polarizzazioni hai
cos(x1)^2+cos(x2)^2
cos(x1)= sin(theta) cos(phi)
cos(x2)= sin(theta) sin(phi)
cos(x1)^2+cos(x2)^2 = sin(theta)^2
se fai la media di sin(theta)^2 sull'angolo solido d(Omega)=sin(theta)
d(theta) d(phi)
ti dovrebbe venire 2/3.
Ciao!
PS
Ma le hai viste le soluzioni agli esercizi in appendice al tuo libro? :-D

Grazie dell'immenso aiuto. In realtà basta integrare la funzione cos
(theta)^2 rispetto a tutte le direzioni possibili del vettore di
polarizzazione e quindi sull'angolo solido:

(1/4pi) * INT_0^pi ( sin(theta)*cos(theta)^2 dtheta dphi) =
= 1/2 * 2/3 = 1/3

Grazie ancora!

[Andrea Menegolo]

(1/4pi) * INT_0^pi ( sin(theta)*cos(theta)^2 dtheta dphi) = = 1/2 * 2/3
= 1/3

naturalmente manca un INT_0^2pi per la variabile phi