eccentricità e coniche

[chris]

ciao a tutti,
trovo parecchia confusione sui libri di testo delle superiori a
proposito di eccentricità e coniche.

prima questione
1) quando si introducono le ellissi si dice che l'ellisse con
eccentricità 1 è un'ellisse degenere
2) quando si parla di parabole, si dice che la parabola ha
eccentricità 1.
come si riconciliano le cose? O meglio, è possibile ottenere
l'eccentricità della parabola come limite di quella dell'ellisse,
considerando che la parabola è un'ellisse con un fuoco all'infinito?

Seconda questione, più generale: si dice che per tutte le coniche si
può definire una coppia fuoco-direttrice che, tramite l'eccentricità,
definisce la curva. Si trova scritto che la parabola ha una direttrice
(of course), l'ellisse due, la circonferenza una all'infinito,
l'iperbole due. Poi, per ogni curva si può dare una definizione di
luogo, variabile da conica a conica.
è possibile avere una lettura più "unitaria" del quadro? In
particolare non capisco il ruolo del "secondo fuoco" che è presente
nelle ellisse-iperbole e non nelle altre coniche. Mi serve avere un
dettaglio a livello universitario, poi lo adatto io per i miei scopi.
Sono laureato in fisica.

grazie, spero di essere stato chiaro.

chris

[Tetis]

Post by chris
ciao a tutti,
trovo parecchia confusione sui libri di testo delle superiori a
proposito di eccentricità e coniche.

Una stessa formula descrive tutte le coniche affini in coordinate
polari. In particolare la conica ha equazione generale:

r = a / (1+ e cos(t))

e si considerano ammissibili solo valori non negativi di r. Nel caso
a> 0 ed e<1 abbiamo ellissi. Quando e --> 0 abbiamo la degenerazione
dei due fuochi dell'ellisse. Quando e --> 1^- (ovvero dal basso)
abbiamo la degenerazione ad infinito di uno dei due fuochi, quando e >
1 abbiamo iperboli, anche quando e--> 1^+ (ovvero dall'alto) abbiamo
la degenerazione di uno dei due fuochi che si allontana ad infinito.
In particolare i due rami di iperbole si allontanano uno dall'altro.

Possiamo in particolare assegnare un fuoco ed un punto della conica
lungo l'asse di simmetria della medesima. Supponiamo che sia d la
distanza fra questi punti. Ne risulta allora che ponendo a = d(1+e).
Al variare di e la seguente equazione polare

d(1+e)/(1+e cos(t))

definisce, al variare di t in un intervallo simmetrico di t una curva
che può essere un ellisse (e<1), oppure una iperbole (e>1). E
definisce una parabola quando e = 1. In questo modo risulta che tutte
le ellissi sono contenute all'interno della parabola (nella parte di
piano che cioè definisce un dominio convesso) mentre tutti rami di
iperbole (se consideriamo l'intervallo di definizione che contiene t
= 0 esploriamo solo uno dei due rami di iperbole) sono esterni alla
parabole. Per quando riguarda il secondo fuoco la situazione è la
seguente: quando e--> 0 il secondo fuoco coincide con il primo, quando
e --> 1 dal basso il secondo fuoco si allontana rimanendo interno
alla parabola. Quando e --> 1 dall'alto il secondo fuoco si allontana
rimanendo esterno alla parabola.

Post by chris
prima questione
1) quando si introducono le ellissi si dice che l'ellisse con
eccentricità 1 è un'ellisse degenere

dizione incompleta è una conica degenere.

Post by chris
2) quando si parla di parabole, si dice che la parabola ha
eccentricità 1.

esatto, con riferimento alla descrizione polare che abbiamo appena
fornito.

Post by chris
come si riconciliano le cose? O meglio, è possibile ottenere
l'eccentricità della parabola come limite di quella dell'ellisse,
considerando che la parabola è un'ellisse con un fuoco all'infinito?

nel modo sopra indicato si ottiene proprio una cosa del genere.

Post by chris
Seconda questione, più generale:  si dice che per tutte le coniche si
può definire una coppia fuoco-direttrice che, tramite l'eccentricità,
definisce la curva. Si trova scritto che la parabola ha una direttrice
(of course), l'ellisse due, la circonferenza una all'infinito,
l'iperbole due. Poi, per ogni curva si può dare una definizione di
luogo, variabile da conica a conica.

La definizione di tutte le coniche in termini di direttrice e fuoco è
univoca:

http://it.wikipedia.org/wiki/Direttrice

al variare dell'eccentricità la direttrice associata al primo fuoco si
sposta in modo da rimanere a distanza ed dal punto assegnato sull'asse
di simmetria.

Post by chris
è possibile avere una lettura più "unitaria" del quadro? In
particolare non capisco il ruolo del "secondo fuoco" che è presente
nelle ellisse-iperbole e non nelle altre coniche. Mi serve avere un
dettaglio a livello universitario, poi lo adatto io per i miei scopi.
Sono laureato in fisica.

Puoi guardare l'interpretazione geometrica dell'equivalenza fra le
definizioni in termini di fuochi e di direttrici al link sulle sfere
di Dandelin:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

La dimostrazione li non la trovi, però se vai in una biblioteca ben
fornita trovi tutto quello che ti serve sul libro di David Hilbert
"Geometria intuitiva". La dimostrazione è comunque abbastanza semplice
da derivare una volta compresa la dimostrazione che i punti di
tangenza delle sfere inscritte al cono ed al piano della conica sono i
fuochi. In particolare si tratta di tracciare da un punto dell'ellisse
due rette ortogonali rispettivamente al piano del primo cerchio ed
alla direttrice associata quindi constatare che ci sono due angoli che
si mantengono costanti al variare del punto.

Post by chris
grazie, spero di essere stato chiaro.
chris

Sarebbe interessante trovare qualche esposizione classica che unifichi
ulteriormente la trattazione in termini algebrici ad esempio
ricorrendo alla teoria degli assoluti, penso che il lettore del ng che
si appella "Poincaré" potrebbe esser prodigo di indicazioni
bibliografiche sul tema. Rimane infatti piuttosto farraginoso
comprendere tutte le connessioni in termini puramente geometrici.

[Tetis]

In particolare non capisco il ruolo del "secondo fuoco" che è presente
nelle ellisse-iperbole e non nelle altre coniche. Mi serve avere un
dettaglio a livello universitario, poi lo adatto io per i miei scopi.
Sono laureato in fisica.
grazie, spero di essere stato chiaro.
chris

Aggiungo a quanto ho già detto che, come ricorda l'ottimo David
Hilbert, i nomi greci delle coniche sono ispirati proprio al valore
dell'eccentricità, che era nota anche ad Apollonio. Uso caratteri
latini per le intuibili corrispettive in greco:

Elleipein (l'eccentricità non raggiunge l'unità)
Yperballein (l'eccentricità eccede l'unità)
Paraballein (l'eccentricità è essattamente uguale all'unità).

[chris]

Caspita, grazie infinite per queste preziose indicazioni, adesso mi
metto a studiare!
chris

[chris]

Caspita, grazie infinite per queste preziose indicazioni, adesso mi
metto a studiare!
chris

[chris]

Caspita, grazie infinite per queste preziose indicazioni, adesso mi
metto a studiare!
chris

[Massimo Borsero]

Post by Tetis
Aggiungo a quanto ho già detto che, come ricorda l'ottimo David
Hilbert, i nomi greci delle coniche sono ispirati proprio al valore
dell'eccentricità, che era nota anche ad Apollonio. Uso caratteri
Elleipein (l'eccentricità non raggiunge l'unità)
Yperballein (l'eccentricità eccede l'unità)
Paraballein (l'eccentricità è essattamente uguale all'unità).

Favolosa questa! Wow sei proprio un pozzo di scienza!

[Tetis]

Post by Massimo Borsero

Post by Tetis
Aggiungo a quanto ho già detto che, come ricorda l'ottimo David
Hilbert, i nomi greci delleconichesono ispirati proprio al valore
dell'eccentricità, che era nota anche ad Apollonio. Uso caratteri
Elleipein (l'eccentricità non raggiunge l'unità)
Yperballein (l'eccentricità eccede l'unità)
Paraballein (l'eccentricità è essattamente uguale all'unità).

Favolosa questa! Wow sei proprio un pozzo di scienza!

Be' questo è quello che scrive Hilbert. A me è preso però un dubbio
che si fosse concesso una libertà interpretativa e la mia impressione
è che le tre parole andrebbero letteralmente intese come:

difetta rispetto all'altro/a
eccede l'altro/a
è uguale all'altro/a.

Dove "l'altro/a" è la distanza dal fuoco ed il soggetto è la distanza
dalla direttrice.

[Maurizio Frigeni]

Post by Tetis

Post by Tetis
Elleipein (l'eccentricità non raggiunge l'unità)
Yperballein (l'eccentricità eccede l'unità)
Paraballein (l'eccentricità è essattamente uguale all'unità).

Be' questo è quello che scrive Hilbert. A me è preso però un dubbio
che si fosse concesso una libertà interpretativa e la mia impressione
difetta rispetto all'altro/a
eccede l'altro/a
è uguale all'altro/a.

In realtà il Boyer dà una spiegazione diversa: Apollonio dedusse gli
equivalenti delle equazioni cartesiane delle coniche, in un riferimento
con l'origine in uno dei vertici ed un asse lungo la retta dei fuochi.
In tale contesto le equazioni diventano:

y^2 = l x (parabola)

y^2 = l x + k x^2 (iperbole)

y^2 = l x - k x^2 (ellisse)

Quindi l'ellisse ha la proprietà che l'area del quadrato costruito
sull'ordinata è uguale a quella del rettangolo formato dall'ascissa e
dal "latus rectum" l. Invece per l'ellisse tale area è minore (difetta)
e per l'ellisse è maggiore (eccede) rispetto all'area del rettangolo.

Maurizio

[Maurizio Frigeni]

Post by Maurizio Frigeni
Quindi l'ellisse ha la proprietà

Ovviamente era la parabola, non l'ellisse. Scusate il refuso.

Maurizio

[Dalet]

Post by chris
trovo parecchia confusione sui libri di testo delle superiori a
proposito di eccentricità e coniche.

Da quello che dici anche dopo una spiegazione potrebbe
essere che mischiano le proprieta' delle coniche (proiettive
affini metriche focali).

Post by chris
prima questione
1) quando si introducono le ellissi si dice che l'ellisse con
eccentricità 1 è un'ellisse degenere
2) quando si parla di parabole, si dice che la parabola ha
eccentricità 1.

Per la parabola non si definisce l'eccentricita', ma
si assume unitaria, proprio per unificare le condizioni
del rapporto costante se definite come luoghi.

Cmq, anche per il resto che dici, ma non trovi niente in
rete? tanto ormai e' quello che c'e' li' che fa testo.

[Tetis]

Post by Dalet
Per la parabola non si definisce l'eccentricita', ma
si assume unitaria, proprio per unificare le condizioni
del rapporto costante se definite come luoghi.

Ma tu come definisci l'eccentricità? Io direi che l'eccentricità è 1
perché questo è il rapporto fra la distanza dalla direttrice e la
distanza dal fuoco. Infatti una definizione canonica di parabola è
detta in questi termini: il luogo dei punti equidistanti da un punto
detto fuoco e da una retta detta direttrice, senza sapere della
proprietà caratterizzante generale per le coniche non si capisce che
la scelta di uguaglianza non è convenzionale ma dipende dalla
definizione generale di direttrice.

[Dalet]

Post by Tetis

Post by Dalet
Per la parabola non si definisce l'eccentricita', ma
si assume unitaria, proprio per unificare le condizioni
del rapporto costante se definite come luoghi.

Ma tu come definisci l'eccentricità?

La definisco e=c/a=sqrt(aa+-bb)/c solo per l'iperbole
e l'ellisse.

Va be' la puoi dare anche dall'invariante quadratico
come e=sqrt(k), da questa mnemonica:
(x-x0)^2+(y-y0)^2-k(ax+by+cz)^2=0 (se non sbaglio)
l'invariante essendo 1-k(aa+bb) che normalizzando la
direttrice diventa 1-k.

Post by Tetis
Io direi che l'eccentricità è 1
perché questo è il rapporto fra la distanza dalla direttrice e la
distanza dal fuoco. Infatti una definizione canonica di parabola è
detta in questi termini: il luogo dei punti equidistanti da un punto
detto fuoco e da una retta detta direttrice, senza sapere della
proprietà caratterizzante generale per le coniche non si capisce che
la scelta di uguaglianza non è convenzionale ma dipende dalla
definizione generale di direttrice.

Si', ma per me e' un teorema: "..sono luogo.. le cui distanze
da un fuoco e da una direttrice hanno rapporto costante,
rispettivamente <>=1. Tale rapporto uguaglia l'eccentricita'"