Ellisse, questa sconosciuta.

[R2-D2]

Ciao, su it.hobby.fai-da-te un utente ha posto un problema interessante, ma l'ha
posto ad una massa di braccia per fortuna mai rubate all'agricoltura.
:-)

Ho provato a ragionarci su, ma non sono per niente sicuro delle mie conclusioni.

Prima domanda: dati due punti su un piano cartesiano, c'è una sola ellisse
*avente centro nell'origine* che passa per quei due punti, o possono essercene
infinite?

Tolto il vincolo del centro nell'origine diventano ovviamente infinite, ma con
il vincolo...?

[Giorgio Bibbiani]

Il 16/07/2020 11:41, R2-D2 ha scritto:
...

Post by R2-D2
dati due punti su un piano cartesiano, c'è una sola ellisse
*avente centro nell'origine* che passa per quei due punti,
o possono essercene infinite?

Suppongo che i 3 punti O, P, Q non siano allineati tra loro,
allora esistono infinite ellissi aventi centro O e passanti
per P e Q.
Eseguiamo una trasformazione lineare L dei punti del piano
tale che i punti trasformati P' e Q' risultino simmetrici rispetto
all'asse y, adesso è evidente che esistono infinite ellissi con centro
in O e passanti per P' e Q' (basta prendere i fuochi sull'asse x in
posizioni simmetriche rispetto a O),
se poi si effettua la trasformazione inversa L^-1 allora le date
infinite ellissi si trasformano ancora in ellissi
CVD

Ciao

[Maurizio Frigeni]

Post by R2-D2
Prima domanda: dati due punti su un piano cartesiano, c'è una sola ellisse
*avente centro nell'origine* che passa per quei due punti, o possono essercene
infinite?

Se A, B sono i due punti dati, O il centro e A', B' i simmetrici di A e
B rispetto ad O, allora preso un altro qualsiasi punto P del piano
esiste una conica che passa per i cinque punti ABA'B'P.

Questa conica è un'ellisse se il punto P è interno ad una delle strisce
determinate dalle rette parallele AB e A'B', oppure AB' e A'B, ma non
alla loro intersezione.

M.

[Maurizio Frigeni]

Post by Maurizio Frigeni
Se A, B sono i due punti dati, O il centro e A', B' i simmetrici di A e
B rispetto ad O, allora preso un altro qualsiasi punto P del piano
esiste una conica che passa per i cinque punti ABA'B'P.

Mi sono dimenticato di aggiungere che questa conica ha sempre per centro
O.

M.

[Maurizio Frigeni]

Post by Maurizio Frigeni
Se A, B sono i due punti dati, O il centro e A', B' i simmetrici di A e
B rispetto ad O, allora preso un altro qualsiasi punto P del piano
esiste una conica che passa per i cinque punti ABA'B'P.
Questa conica è un'ellisse se il punto P è interno ad una delle strisce
determinate dalle rette parallele AB e A'B', oppure AB' e A'B, ma non
alla loro intersezione.

Determinarne gli assi con riga e compasso.

Cominciamo col costruire la retta tangente all'ellisse in A: se F è
l'intersezione fra le rette AB e PB', e G è l'intersezione fra AP e BA',
allora per il teorema di Pascal il punto T, intersezione fra FG e A'B',
appartiene alla tangente in A all'ellisse.

Possiamo poi determinare $S$, sulla retta tangente in B, come
intersezione fra AT e la retta passente per O e per il punto medio di
AB.

Tracciamo quindi da O la retta ON parallela ad AT e sia N la sua
intersezione con BS. Poi da B tracciamo la parallela al semidiametro OA,
che interseca ON in H. Sulla retta ON possiamo quindi prendere il punto
$C$ in modo che OC sia medio proporzionale fra ON e OH: il punto C
appartiene all'ellisse ed OC è il semidiametro coniugato ad OA.

Una volta trovati due idametri coniugati, possiamo trovare gli assi
usando la semplice costruzione descritta qui:

https://math.stackexchange.com/a/3321038

M.

[El Filibustero]

Post by Maurizio Frigeni
Cominciamo col costruire la retta tangente all'ellisse in A: se F è
l'intersezione fra le rette AB e PB', e G è l'intersezione fra AP e BA',
allora per il teorema di Pascal il punto T, intersezione fra FG e A'B',
appartiene alla tangente in A all'ellisse.

OK.

Post by Maurizio Frigeni
Possiamo poi determinare $S$, sulla retta tangente in B...

La // per O ad AT individua gia' il diametro conjugato ad AA': si puo'
saltare a

Post by Maurizio Frigeni
https://math.stackexchange.com/a/3321038

E per i vertici? Ciao

[Maurizio Frigeni]

Post by El Filibustero
La // per O ad AT individua gia' il diametro conjugato ad AA': si puo'
saltare a

Post by Maurizio Frigeni
https://math.stackexchange.com/a/3321038

E per i vertici?

La costruzione trova proprio i vertici.

M.

[El Filibustero]

Post by Maurizio Frigeni

Post by El Filibustero
La // per O ad AT individua gia' il diametro conjugato ad AA': si puo'
saltare a

Post by Maurizio Frigeni
https://math.stackexchange.com/a/3321038

OOOoopps, dimenticavo che l'ellisse... non c'e'. Per la costruzione
citata su stackexchange, servono entrambi gli estremi di due diametri
conjugati, non basta la // ad AT per O; per cui la parte che pensavo
di saltare e' essenziale per l'impiego di quella costruzione. E
proprio per lo stesso motivo...

Post by Maurizio Frigeni

Post by El Filibustero
E per i vertici?

La costruzione trova proprio i vertici.

... quella costruzione non individua i vertici nel nostro caso, dato
che l'ellisse non c'e'. Per i vertici occorre qualcosa di simile alla
tua parte che pensavo di saltare. Ciao

[Maurizio Frigeni]

Post by El Filibustero
... quella costruzione non individua i vertici nel nostro caso, dato
che l'ellisse non c'e'. Per i vertici occorre qualcosa di simile alla
tua parte che pensavo di saltare.

Ma infatti quella parte non va saltata e serve proprio a trovare la
lunghezza del secondo semidiametro coniugato. Dopodiché si trovano senza
problemi i vertici.

M.

[El Filibustero]

Post by Maurizio Frigeni

Post by El Filibustero
... quella costruzione non individua i vertici nel nostro caso, dato
che l'ellisse non c'e'. Per i vertici occorre qualcosa di simile alla
tua parte che pensavo di saltare.

Ma infatti quella parte non va saltata e serve proprio a trovare la
lunghezza del secondo semidiametro coniugato. Dopodiché si trovano senza
problemi i vertici.

Intendevo dire che stackexchange NON trova i vertici, ma solo gli
assi. La sequenza logica della tua costruzione e':

AA' ---> Diametro conjugato di AA' ---> stackexchange (niente vertici)

Per avere i vertici, stackexchange va completata. Ciao

[Maurizio Frigeni]

Post by El Filibustero
Intendevo dire che stackexchange NON trova i vertici, ma solo gli
assi.

Rileggi meglio:

IR = OQ' + OQ e TS = OQ' - OQ

sono proprio le lunghezze degli assi.

M.

[El Filibustero]

Post by Maurizio Frigeni
IR = OQ' + OQ e TS = OQ' - OQ

Ri-ooooooooooooops, e' vero. Piu' che leggere... ho guardato le
figure, come si dice. Ciao

[Yoda]

Post by R2-D2
Ciao, su it.hobby.fai-da-te un utente ha posto un problema
interessante, ma l'ha
posto ad una massa di braccia per fortuna mai rubate
all'agricoltura.
:-)
Ho provato a ragionarci su, ma non sono per niente sicuro delle mie conclusioni.

Be'.. per fortuna niente furto anche all'industria:-)

Post by R2-D2
Prima domanda: dati due punti su un piano cartesiano, c'è una sola ellisse
*avente centro nell'origine* che passa per quei due punti, o
possono essercene
infinite?

Probabilmente la miglior risposta e' "generalmente una e una sola",
perche' tu sei ragazzino - visto che fai questa domanda - che di
ellissi "oblique" non ne prevede, ne' prende in considerazione.. e
forse neppure conosce o ricorda eh?

Post by R2-D2
Tolto il vincolo del centro nell'origine diventano ovviamente
infinite, ma con
il vincolo...?

Questa seconda domanda e' sempre la "Prima domanda" stessa.
Ecco la risposta-soluzione.
L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine (e assi // agli assi
coordinati [*]) e': m x^2 + n y^2 = 1, i due incogniti coefficienti m
ed n li determini imponendo il passaggio per i punti dati (sistema di
due equazioni in due incognite) ciao

----------
[*] Se non sono // sono obliqui, di qui le ellissi "oblique" che
dicevo prima. L'equazione che ho scritto e' detta canonica, di
solito con nome piu' indicativo per i coefficienti: 1/a^2 ed 1/b^2,
che sono allora la lunghezza degli assi dell'ellisse.

[R2-D2]

Ciao, su it.hobby.fai-da-te un utente ha posto un problema interessante,...

...e giustamente mi fate notare che sono una capra. Sì, se i due punti sono
simmetrici rispetto a uno degli assi del piano cartesiano, o all'origine, le
ellissi sono infinite.

Ma se non lo sono? Ad esempio, si consideri quest'ellisse come centrata
nell'origine:
https://ibb.co/t86nLQL

Stiamo restringendo ulteriormente il campo delle ipotesi, imponendo una
posizione nel primo quadrante ai punti in questione. Per i punti (t1,long1)
(t2,long2) passa una sola ellisse centrata nell'origine?

Se la risposta fosse sì, nota longX si potrebbe calcolare tx, che è il problema
posto dall'OP su it.hobby.fai-da-te.

[Giorgio Bibbiani]

Il 16/07/2020 16:41, R2-D2 ha scritto:
...

Post by R2-D2
Ad esempio, si consideri quest'ellisse come centrata
https://ibb.co/t86nLQL
Stiamo restringendo ulteriormente il campo delle ipotesi, imponendo una
posizione nel primo quadrante ai punti in questione. Per i punti (t1,long1)
(t2,long2) passa una sola ellisse centrata nell'origine?

Ne passano infinite.

Post by R2-D2
Se la risposta fosse sì, nota longX si potrebbe calcolare tx, che è il problema
posto dall'OP su it.hobby.fai-da-te.

No hope ;-)

Ciao

[R2-D2]

Post by Giorgio Bibbiani
...

Post by R2-D2
Ad esempio, si consideri quest'ellisse come centrata
https://ibb.co/t86nLQL
Stiamo restringendo ulteriormente il campo delle ipotesi, imponendo una
posizione nel primo quadrante ai punti in questione. Per i punti (t1,long1)
(t2,long2) passa una sola ellisse centrata nell'origine?

Ne passano infinite.

Post by R2-D2
Se la risposta fosse sì, nota longX si potrebbe calcolare tx, che è il problema
posto dall'OP su it.hobby.fai-da-te.

No hope ;-)

Azz, peccato! Grazie.

[Bruno Campanini]

Post by R2-D2

Post by Giorgio Bibbiani
...

Post by R2-D2
Ad esempio, si consideri quest'ellisse come centrata
https://ibb.co/t86nLQL
Stiamo restringendo ulteriormente il campo delle ipotesi, imponendo una
posizione nel primo quadrante ai punti in questione. Per i punti (t1,long1)
(t2,long2) passa una sola ellisse centrata nell'origine?

Ne passano infinite.

Post by R2-D2
Se la risposta fosse sì, nota longX si potrebbe calcolare tx, che è il
problema posto dall'OP su it.hobby.fai-da-te.

No hope ;-)

Azz, peccato! Grazie.

Aggiornati, che i matematici san troppo di teoria:

https://www.lezionidimatematica.net/Ellisse/lezioni/ellisse_lezione_19.htm

Bruno