Grado di trascendenza e grado di un'estensione di campi

[bubbo]

Ho un'estensione di campi L/K. C'è qualche legame tra trdeg(L/K) e [L:K]
? Non so, per esempio dei casi (anche banali) in cui conoscere l'uno ti
permette di conoscere anche l'altro.
Vi ringrazio dell'attenzione e scusate se la domanda ha poco senso.

[Enrico Gregorio]

Post by bubbo
Ho un'estensione di campi L/K. C'è qualche legame tra trdeg(L/K) e [L:K]
? Non so, per esempio dei casi (anche banali) in cui conoscere l'uno ti
permette di conoscere anche l'altro.
Vi ringrazio dell'attenzione e scusate se la domanda ha poco senso.

La dimensione di un'estensione trascendente è sempre infinita.

Per esempio, se se il grado di trascendenza è finito o numerabile, la
dimensione [L:K] è sempre la stessa. Dunque non puoi distinguere.

Ciao
Enrico

[bubbo]

Post by Enrico Gregorio
La dimensione di un'estensione trascendente è sempre infinita.
Per esempio, se se il grado di trascendenza è finito o numerabile, la
dimensione [L:K] è sempre la stessa. Dunque non puoi distinguere.

In altri termini affinchè [L:K] sia finito bisogna che l'estensione sia
algebrica cioè che il grado di trascendenza sia zero. Giusto?
Ti ringrazio Enrico e scusa se chiedo cose ovvie ma da quando ho fatto
l'esame di Algebra sono passati ben DUE anni!

[AndreaM]

Post by bubbo

Post by Enrico Gregorio
La dimensione di un'estensione trascendente è sempre infinita.
Per esempio, se se il grado di trascendenza è finito o numerabile, la
dimensione [L:K] è sempre la stessa. Dunque non puoi distinguere.

In altri termini affinchè [L:K] sia finito bisogna che l'estensione sia
algebrica cioè che il grado di trascendenza sia zero. Giusto?
Ti ringrazio Enrico e scusa se chiedo cose ovvie ma da quando ho fatto
l'esame di Algebra sono passati ben DUE anni!
--
bubbo

Attenzione che se l'estensione L di K è algebrica NON è detto che
[L:K] sia finito.

Ad esempio, il campo A di tutti i numeri complessi algebrici su Q è
per l'appunto un'estensione algebrica di Q, ma [A:Q] è infinito

[Enrico Gregorio]

Post by bubbo

Post by Enrico Gregorio
La dimensione di un'estensione trascendente è sempre infinita.
Per esempio, se se il grado di trascendenza è finito o numerabile, la
dimensione [L:K] è sempre la stessa. Dunque non puoi distinguere.

In altri termini affinchè [L:K] sia finito bisogna che l'estensione sia
algebrica cioè che il grado di trascendenza sia zero. Giusto?
Ti ringrazio Enrico e scusa se chiedo cose ovvie ma da quando ho fatto
l'esame di Algebra sono passati ben DUE anni!

Come ha osservato AndreaM, la condizione è solo sufficiente.

Dimostriamo che se [L:K]=n è finita l'estensione è algebrica.
Prendiamo b in L e consideriamo gli elementi di L

1, b, b^2, ..., b^n

I casi sono due: questi elementi sono tutti distinti, oppure due
di essi sono uguali.

Nel secondo caso, se b^h = b^k (con 0 <= h < k <= n), b è una
radice del polinomio X^k-X^h che ha coefficienti in K, quindi
b è algebrico.

Nel primo caso gli elementi sono necessariamente linearmente
dipendenti su K, perché sono più della dimensione di L su K.
Perciò esistono a_0, a_1, ..., a_n in K, non tutti nulli, tali
che

a_0 + a_1 b + ... + a_n b^n = 0

e quindi b è radice di un polinomio a coefficienti in K.

Ciao
Enrico