Discussione:
Diseguaglianza
(troppo vecchio per rispondere)
Pangloss
2024-11-12 14:57:51 UTC
Permalink
Dimostrare la diseguaglianza:

(sum a_i)^2 - (sum b_i)^2 >= [sum sqrt(a_i^2 - b_i^2) ]^2

con a_1...a_n; b_1...b_n; (a_i>=b_i) numeri reali positivi qualsiasi
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Elio Fabri
2024-11-12 16:48:35 UTC
Permalink
Post by Pangloss
(sum a_i)^2 - (sum b_i)^2 >= [sum sqrt(a_i^2 - b_i^2) ]^2
con a_1...a_n; b_1...b_n; (a_i>=b_i) numeri reali positivi qualsiasi
Pongo a_i-b_i = c_i^2, a_i+b_i = d_i^2 con c_i,d_i >= 0$: la disug. da
dimostrare diventa

\sum c_i^2) \sum d_i^2 >= (\sum c_i\,d_i)^2

che \`e la disug.\ di Schwartz.

L'hai proposta per mettere alla prova il gruppo, o perché non la
sapevi dimostrare? (suppongo la prima).
--
--
Elio Fabri
Pangloss
2024-11-13 07:51:08 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Post by Pangloss
(sum a_i)^2 - (sum b_i)^2 >= [sum sqrt(a_i^2 - b_i^2) ]^2
con a_1...a_n; b_1...b_n; (a_i>=b_i) numeri reali positivi qualsiasi
Pongo a_i-b_i = c_i^2, a_i+b_i = d_i^2 con c_i,d_i >= 0$: la disug. da
dimostrare diventa
\sum c_i^2) \sum d_i^2 >= (\sum c_i\,d_i)^2
che \`e la disug.\ di Schwartz.
L'hai proposta per mettere alla prova il gruppo, o perché non la
sapevi dimostrare? (suppongo la prima).
Dimostrazione assai rapida ed elegante, come tuo solito. :-)
Sono incappato in tale diseguaglianza dimostrando la proprietà "maggiorante"
della massa propria invariante (non additiva) di un sistema di particelle,
recentemente discussa su isf (proprietà che non conoscevo!).
In tale ambito però le 'b_i' sono vettori (quantità di moto) da moltiplicarsi
con il prodotto scalare, circostanza che allunga un poco la dimostrazione.
La diseguaglianza proposta qui vale solo per il caso particolare dei vettori
paralleli e concordi.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Elio Fabri
2024-11-14 08:18:07 UTC
Permalink
Post by Pangloss
Sono incappato in tale diseguaglianza dimostrando la proprietà
"maggiorante" della massa propria invariante (non additiva) di un
sistema di particelle, recentemente discussa su isf (proprietà che
non conoscevo!).
Ma scusa, non è ovvia?
Siano E_i, p_i energie e q. di moto in un qualche rif. K.
Avremo E = sum E_i, P = sum p_i, M^2 = E^2 - P^2.
Dato che il 4-vettore (E,P) è di tipo tempo, esiste un rif. K0 in cui
P=0.
Allora in K0: M = E >= sum m_i.
Post by Pangloss
In tale ambito però le 'b_i' sono vettori (quantità di moto) da
moltiplicarsi con il prodotto scalare, circostanza che allunga un
poco la dimostrazione. La diseguaglianza proposta qui vale solo per
il caso particolare dei vettori paralleli e concordi.
La mia dim. richiede solo modifiche minime. Te la ricopio:

Debbo dimostrare

(sum a_i)^2 - |sum b_i|^2 >= [sum sqrt(a_i^2 - |b_i|^2)]^2 (1)

dove b_i sono vettori 3D e a_i > |b_i|.

Dalla disug. poligonale:

|sum b_i|^2 <= (sum |b_i|)^2

perciò se dimostro

(sum a_i)^2 - (sum |b_i|)^2 >= [sum sqrt(a_i^2 - |b_i|^2)^2 (2)

la~(1) \`e dimostrata.

Se definiamo

c_i^2 = a_i - |b_i| d_i^2 = a_i + |b_i|

la~(2) diventa

(sum c_i^2) (sum d_i^2) >= (sum c_i d_i)^2

che \`e la disug. di Schwarz per le c_i, d_i.
--
Elio Fabri
Pangloss
2024-11-15 09:36:58 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Post by Pangloss
Sono incappato in tale diseguaglianza dimostrando la proprietà
"maggiorante" della massa propria invariante (non additiva) di un
sistema di particelle, recentemente discussa su isf (proprietà che
non conoscevo!).
Ma scusa, non è ovvia?
Siano E_i, p_i energie e q. di moto in un qualche rif. K.
Avremo E = sum E_i, P = sum p_i, M^2 = E^2 - P^2.
Dato che il 4-vettore (E,P) è di tipo tempo, esiste un rif. K0 in cui
P=0.
Allora in K0: M = E >= sum m_i.
Per quanto riguarda la dimostrazione algebrica non ho nulla da eccepire,
anzi condivido l'entusiasmo di ansiagorod per la semplicità ed eleganza
del collegameno con la diseguaglianza di Schwarz.

Ho invece qualche perplessità sul carattere "ovvio" della dimostrazione
fisica. Persino l'asserzione (corretta) che (sum E_i,sum p_i) sia un
quadrivettore non mi sembra banale, poichè le somme sulle varie particelle
sono intese implicitamente da eseguirsi "simultaneamente".
Ci devo riflettere ancora un poco, semmai la questione andrebbe discussa più
a fondo su isf. Intanto mi tengo la bella dimostrazione basata su Schwarz.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Pier Franco Nali
2024-11-15 11:17:40 UTC
Permalink
Post by Pangloss
…….
Ho invece qualche perplessità sul carattere "ovvio" della dimostrazione
fisica. Persino l'asserzione (corretta) che (sum E_i,sum p_i) sia un
quadrivettore non mi sembra banale, poichè le somme sulle varie particelle
sono intese implicitamente da eseguirsi "simultaneamente".
…….
Scusami, ma posto che (E_i,p_i) è un quadrivettore, non basta la linearità,
senza altre considerazioni, per dire che (sum E_i,sum p_i) è un
quadrivettore?
--
Pier Franco Nali
Pangloss
2024-11-15 14:18:54 UTC
Permalink
Post by Pier Franco Nali
Post by Pangloss
…….
Ho invece qualche perplessità sul carattere "ovvio" della dimostrazione
fisica. Persino l'asserzione (corretta) che (sum E_i,sum p_i) sia un
quadrivettore non mi sembra banale, poichè le somme sulle varie particelle
sono intese implicitamente da eseguirsi "simultaneamente".
…….
Scusami, ma posto che (E_i,p_i) è un quadrivettore, non basta la linearità,
senza altre considerazioni, per dire che (sum E_i,sum p_i) è un
quadrivettore?
Certo, la somma di più vettori è un vettore, nel senso che in algebra lineare
i vettori sono per definizione elementi di un gruppo additivo.

Ma quando in RR diciamo che (E,p) è il "quadrivettore" energia-impulso di
una particella dichiariamo anche che esso è un tensore di rango uno,
le cui componenti si trasformano secondo le trasformazioni di Lorentz.

Ma le particelle di un sistema in generale interagiscono tra loro,
sicchè i vari quadrivettori (E_i,p_i) sono funzioni del tempo.
La somma di tali quadrivettori si intende implicitamente eseguita in un
medesimo istante, ma il concetto di simultaneità dipende dal riferimento.
La somma eseguita in un dato istante in un riferimento appare eseguita in
istanti diversi in un altro riferimento, circostanza che potrebbe fare
nascere (a priori) qualche dubbio sul suo carattere tensoriale.

Comunque il ragionamento "fisico" di Fabri rimane "ovviamente" corretto,
ma per questa ed altre ragioni lo chiamerei "euristico" e non "ovvio".
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Giorgio Bibbiani
2024-11-15 14:42:57 UTC
Permalink
Il 15/11/2024 15:18, Pangloss ha scritto:
...
Post by Pangloss
Ma le particelle di un sistema in generale interagiscono tra loro,
sicchè i vari quadrivettori (E_i,p_i) sono funzioni del tempo.
...

Osservo solo che Elio, nel suo messaggio del 16/10/2024 h 12:11, aveva scritto:
"un sistema di due *qualsiasi* particelle libere in generale ha una
massa che è maggiore della somma delle masse delle due particelle".

NB "libere".

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Elio Fabri
2024-11-15 14:58:07 UTC
Permalink
Post by Pangloss
...
Ma le particelle di un sistema in generale interagiscono tra loro,
...
Comunque il ragionamento "fisico" di Fabri rimane "ovviamente"
corretto, ma per questa ed altre ragioni lo chiamerei "euristico" e
non "ovvio".
Com'era prevedibile, siamo usciti dalla matematica.
Poco male, visto che qui pare non ci sia più nessuno che voglia
parlare di matematica.

Che le particelle del sistema debbano esere libere, era sottinteso
dall'inizio.
Se non sono libere, non solo energie e q. di moto delle singole
particelle variano nel tempo, ma non è più neppure vero che
E = sum E_i.
E nemmeno P = sum p_i: l'interazione ha luogo attraverso campi, che
hanno anche'essi energia e q. di moto.
E la disuguglianza può risultare falsa.

Pensa a un atomo d'idrogeno: nello stato fondamentale è forse
M >= m_p + m_e?
Al contrario, M < m_p + m_e. Si chiama "energia di legame".

Quindi il mio ragionamento non è "euristico" (?). È solo vero sotto
un'ipotesi che abbiamo tutti data per sottintesa: particelle libere.
--
Elio Fabri
pcf ansiagorod
2024-11-13 08:06:44 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Pongo a_i-b_i = c_i^2, a_i+b_i = d_i^2 con c_i,d_i >= 0$: la
disug. da
dimostrare diventa
\sum c_i^2) \sum d_i^2 >= (\sum c_i\,d_i)^2
che \`e la disug.\ di Schwartz.
L'hai proposta per mettere alla prova il gruppo, o perché non
la
sapevi dimostrare? (suppongo la prima).
--
Non ho parole. E' meravigliosa.
Pangloss
2024-11-13 09:58:55 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
.....
L'hai proposta per mettere alla prova il gruppo, o perché non la
sapevi dimostrare? (suppongo la prima).
Che ci si dovesse ridurre alla diseguaglianza di Schwarz era intuitivo,
ma per trovare le idonee sostituzioni ho tribolato parecchio, lo ammetto!
Per questo ho voluto condividere il divertimento su ism.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Loading...