Equivalenza di norme.

[Tetis]

Una perplessita'. Due topologie si dicono equivalenti se
danno luogo alla stessa topologia. E' facile trovare esempi
di distanze che non danno luogo alla stessa topologia.
Tuttavia se consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale
e normato allora le condizioni sulla norma danno luogo a vincoli
molto forti ed un dato spazio vettoriale finito dimensionale sembrerebbe
ammettere essenzialmente un'unica topologia. In altre parole sembra
che la struttura topologica del campo numerico condizioni fortemente
la struttura topologica degli spazi normati in dimensione finita.

E' vero cio' o sto prendendo un abbaglio? La mia idea di dimostrazione
di questo e' considerare la disuguaglianza triangolare:

|| a + b || <= || a || + || b ||

|| a || <= || a + b || + || b ||
|| b || <= || a + b || + || a ||

unitamente alla omogeneita' + la proprieta' archimedea .
Se tuttavia consideriamo l'estensione
ai numeri p-adici del valore assoluto, e quindi generalizziamo la
nozione di norma, l'intuizione geometrica si sfuma perche' il
campo non e' archimedeo. Ho notato tuttavia che i numeri
p-adici godono di una proprieta' simile a quella archimedea.

Ovvero per ogni coppia di numeri p-adici a, b tali che |a|_p => |b|_p
esiste un numero p-adico k tale che |kb|_p => |a|_p. Come si chiama
questa proprieta' ? Puo' essere utilizzata per dimostrare l'equivalenza
fra due norme p-adiche?


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[Betelgeuse]

Post by Tetis
Una perplessita'. Due topologie si dicono equivalenti se
danno luogo alla stessa topologia. E' facile trovare esempi
di distanze che non danno luogo alla stessa topologia.
Tuttavia se consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale
e normato allora le condizioni sulla norma danno luogo a vincoli
molto forti ed un dato spazio vettoriale finito dimensionale sembrerebbe
ammettere essenzialmente un'unica topologia. In altre parole sembra
che la struttura topologica del campo numerico condizioni fortemente
la struttura topologica degli spazi normati in dimensione finita.
E' vero cio' o sto prendendo un abbaglio? La mia idea di dimostrazione

Negli spazi normati finito dimensionale tutte le norme sono equivalenti.
Puoi pensare che lo spazio sia R^N (o C^N se sei in campo complesso).
La dimostrazione standard che conosco e' questa:

Sia ||.|| a norma-1, e sia ||.||_*
una qualsiasi altra norma su R^N. Detta {e_j}la base canonica di
R^N, fissato
x=sum k_j e_j si ha che
||x||_* <= sum k_j ||e_j||_* <= M ||x||,
dove M=max_j ||e_j||_*,
da cui segue che la funzione
f(x)=||x||_* e' continua da R^N in norma-1 in R.
Pertanto, per il Teorema di Weierstrass, la funzione positiva f ha un
minimo assoluto m >= 0
sulla sfera unitaria di R^N in norma-1. Quindi, per x diverso da 0, abbiamo

f(x/||x||)) >= m,
ovvero,
||x||_* >= m ||x||. Resta da dimostrare che m>0.
Ma se m fosse zero, esisterebbe x_{min} diverso da 0 tale che
||x_{min}||_*=0,
contraddicendo l'annullamento della
norma.

[Tetis]

In altre parole sembra

Post by Betelgeuse

Post by Tetis
che la struttura topologica del campo numerico condizioni fortemente
la struttura topologica degli spazi normati in dimensione finita.

Negli spazi normati finito dimensionale tutte le norme sono equivalenti.
Puoi pensare che lo spazio sia R^N (o C^N se sei in campo complesso).

Mi sembra che la dimostrazione che hai riportato si applichi ugualmente
bene al caso di spazio vettoriale finito dimensionale su un corpo normato,
ad esempio H^n.
Se consideriamo le combinazioni lineari di elementi a coefficienti in un
una algebra normata ugualmente tutti i passaggi si riapplicano quindi
anche per i moduli su un algebra normata finito dimensionale
forse funziona. In dimensione infinita, invece, mi sembra che
il teorema di Weierstrasse incontri qualche difficolta' perche'
richiede la condizione di compattezza. Tuttavia se non ho
inteso male la sfera unitaria chiusa nel duale dello spazio di
Banach e' compatta nella topologia debole. Ma in questo caso
la generalizzazione della proprieta' di equivalenza fra
pre-compattezza e limitatezza non so se serve a qualcosa.
Forse uno spazio vettoriale infinito puo' essere dotato di
piu' norme non equivalenti, ma i completamenti di questi
spazi lineari normati potranno mai essere identici?



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[Ludovico]

Tetis se scrivi il tuo indirizzo di posta ti invio una dimostrazione
rigorosa di ciò che chiedi - argomenti

Post by Tetis
In altre parole sembra

Post by Betelgeuse

Post by Tetis
che la struttura topologica del campo numerico condizioni fortemente
la struttura topologica degli spazi normati in dimensione finita.

Negli spazi normati finito dimensionale tutte le norme sono equivalenti.
Puoi pensare che lo spazio sia R^N (o C^N se sei in campo complesso).

Mi sembra che la dimostrazione che hai riportato si applichi ugualmente
bene al caso di spazio vettoriale finito dimensionale su un corpo normato,
ad esempio H^n.
Se consideriamo le combinazioni lineari di elementi a coefficienti in un
una algebra normata ugualmente tutti i passaggi si riapplicano quindi
anche per i moduli su un algebra normata finito dimensionale
forse funziona. In dimensione infinita, invece, mi sembra che
il teorema di Weierstrasse incontri qualche difficolta' perche'
richiede la condizione di compattezza. Tuttavia se non ho
inteso male la sfera unitaria chiusa nel duale dello spazio di
Banach e' compatta nella topologia debole. Ma in questo caso
la generalizzazione della proprieta' di equivalenza fra
pre-compattezza e limitatezza non so se serve a qualcosa.
Forse uno spazio vettoriale infinito puo' essere dotato di
piu' norme non equivalenti, ma i completamenti di questi
spazi lineari normati potranno mai essere identici?
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[Betelgeuse]

Post by Tetis
In dimensione infinita, invece, mi sembra che
il teorema di Weierstrasse incontri qualche difficolta' perche'
richiede la condizione di compattezza.

infatti questa dimostrazione si basa sul fatto che la sfera unitaria
e' compatta (falso in infinite dim)

Post by Tetis
inteso male la sfera unitaria chiusa nel duale dello spazio di
Banach e' compatta nella topologia debole.

(se e) solo se lo spazio e' riflessivo

Post by Tetis
Forse uno spazio vettoriale infinito puo' essere dotato di
piu' norme non equivalenti, ma i completamenti di questi
spazi lineari normati potranno mai essere identici?

in realta' puoi costruire due norme NON equivalenti su uno stesso
spazio lineare entrambe complete (sempre, ben inteso, in infinite
dimensioni)

[Tetis]

Post by Betelgeuse

Post by Tetis
Forse uno spazio vettoriale infinito puo' essere dotato di
piu' norme non equivalenti, ma i completamenti di questi
spazi lineari normati potranno mai essere identici?

in realta' puoi costruire due norme NON equivalenti su uno stesso
spazio lineare entrambe complete (sempre, ben inteso, in infinite
dimensioni)

Ad esempio?


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[Betelgeuse]

Post by Tetis

Post by Betelgeuse
in realta' puoi costruire due norme NON equivalenti su uno stesso
spazio lineare entrambe complete (sempre, ben inteso, in infinite
dimensioni)

Ad esempio?

prendi 2 spazi di Banach X e Y aventi la stessa dimensione
lineare (ad esempio, l^1 e l^2). Allora esiste T:X->Y lineare
e biunivoca.
Se definisci su X, oltre alla norma data ||.||_X, la norma
||x||=||Tx||_Y hai due norme di Banach non equivalenti
(a meno che X e Y siano isomorfi)

[Tetis]

Post by Betelgeuse

Post by Tetis

Post by Betelgeuse
in realta' puoi costruire due norme NON equivalenti su uno stesso
spazio lineare entrambe complete (sempre, ben inteso, in infinite
dimensioni)

Ad esempio?

prendi 2 spazi di Banach X e Y aventi la stessa dimensione
lineare (ad esempio, l^1 e l^2). Allora esiste T:X->Y lineare
e biunivoca.
Se definisci su X, oltre alla norma data ||.||_X, la norma
||x||=||Tx||_Y hai due norme di Banach non equivalenti
(a meno che X e Y siano isomorfi)

Vediamo se ho capito. Tu mi dici: L^1 ed L^2 hanno ciascuno
un sistema completo di funzioni denso con cui posso approssimare
qualsiasi funzione. Ad esempio in L^2 la base di Fourier, e la
stessa base in L^1. Ma forse se consideri gli spazi funzionali
c'è qualche difficoltà in più. Le cose vanno più semplicemente
nello spazio delle sequenze sommabili ed a quadrato sommabile.

In particolare l^1 è contenuto propriamente in l^2, a differenza di
L^1 rispetto ad L^2. Il problema che mi ponevo riguarda le
sequenze di Cauchy di l^1. Che però sono di Cauchy anche
in l^2 e convergono allo stesso elemento. Come si vede che
le norme non sono equivalenti? In linea di principio mi è
chiaro che devo mostrare che esiste un 2-intorno che non
contiene e non è contenuto in alcun 1-intorno. E/o viceversa.

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[Betelgeuse]

Post by Tetis

Post by Betelgeuse
prendi 2 spazi di Banach X e Y aventi la stessa dimensione
lineare (ad esempio, l^1 e l^2). Allora esiste T:X->Y lineare
e biunivoca.
Se definisci su X, oltre alla norma data ||.||_X, la norma
||x||=||Tx||_Y hai due norme di Banach non equivalenti
(a meno che X e Y siano isomorfi)

Vediamo se ho capito. Tu mi dici: L^1 ed L^2 hanno ciascuno
un sistema completo di funzioni denso con cui posso approssimare
qualsiasi funzione.

no. dico che l^1 e l^2 hanno la stessa dimensione lineare,
e quindi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalita'
(del continuo). Lo stesso dicasi per L^1 e L^2.

Post by Tetis
Ad esempio in L^2 la base di Fourier, e la
stessa base in L^1. Ma forse se consideri gli spazi funzionali
c'è qualche difficoltà in più. Le cose vanno più semplicemente
nello spazio delle sequenze sommabili ed a quadrato sommabile.
In particolare l^1 è contenuto propriamente in l^2, a differenza di
L^1 rispetto ad L^2. Il problema che mi ponevo riguarda le
sequenze di Cauchy di l^1. Che però sono di Cauchy anche
in l^2 e convergono allo stesso elemento. Come si vede che
le norme non sono equivalenti? In linea di principio mi è
chiaro che devo mostrare che esiste un 2-intorno che non
contiene e non è contenuto in alcun 1-intorno. E/o viceversa.

le 2 norme che costruisco non sono equivalenti, perche' se lo
fossero T sarebbe un isomormisfo tra spazi di Banach (per il
teorema della mappa aperta).

Post by Tetis
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[Betelgeuse]

Post by Betelgeuse
le 2 norme che costruisco non sono equivalenti, perche' se lo
fossero T sarebbe un isomormisfo tra spazi di Banach (per il
teorema della mappa aperta).

piu' precisamente, per il teorema della mappa aperta le due norme
non sono confrontabili (non vale nessuna delle due disuguaglianze)

[Tetis]

Post by Betelgeuse

Post by Betelgeuse
le 2 norme che costruisco non sono equivalenti, perche' se lo
fossero T sarebbe un isomormisfo tra spazi di Banach (per il
teorema della mappa aperta).

piu' precisamente, per il teorema della mappa aperta le due norme
non sono confrontabili (non vale nessuna delle due disuguaglianze)

Non me ne intendo molto ma credo che sia un bell'esempio.
In linea generale, infatti, l'esistenza di una base di Hamel non
è costruttiva, ma forse in questo caso si riesce ad esibire una
base? Ragionando ingenuamente sull'idea che tu intendessi
le basi di Fourier, per il caso di l^1 ed l^2 ero giunto alla conclusione
che poichè le approssimanti del vettore di l^2 1,1/2,1/3....
che sono tutte in l^1 sono vettori ad 1-norma divergente, allora
la l^2 sfera di l^1 ^ l^2 non può essere contenuta in un intorno di
l^1. Quindi la 2-norma e la 1-norma in l^1 ^^ l^2 non sono equivalenti.
Ma in questo modo il problema rimane il fatto che l^1 ^ l^2
non è uno spazio di Banach. Quindi, tornando all'esempio che
proponi: come si costruisce esplicitamente questo isomorfismo?
La mia idea di qualche anno fa era che un oggetto che contiene una
base di Hamel per l^1 fosse semplice da esibire facendo riferimento
analogico alle rappresentazioni di Cantor. In quel caso la norma
è la norma che assegna all'elemento di posto k il peso 1/10^k
(se consideriamo la base decimale). Non a caso in effetti R è
uno spazio di Banach. Tu hai un perfezionamento di questa idea
oppure pensi semplicemente all'enunciato esistenziale? O magari
fai riferimento ad un indebolimento dell'assioma di Zorn?


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[Betelgeuse]

Post by Tetis
Tu hai un perfezionamento di questa idea
oppure pensi semplicemente all'enunciato esistenziale? O magari
fai riferimento ad un indebolimento dell'assioma di Zorn?

Non credo che evitando il Lemma di Zorn (o similari) si possa
esibire una base di Hamel. Ma a dire il vero non sono molto
esperto di queste cose.

[Enrico Gregorio]

Post by Betelgeuse
Non credo che evitando il Lemma di Zorn (o similari) si possa
esibire una base di Hamel. Ma a dire il vero non sono molto
esperto di queste cose.

L'enunciato "ogni spazio vettoriale ha una base" è più debole
dell'assioma di scelta e quindi del Lemma di Zorn. Ma la sua
negazione è coerente con gli altri assiomi della teoria degli
insiemi (scelta esclusa, ovviamente).

Ciao
Enrico

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Post by Betelgeuse
Non credo che evitando il Lemma di Zorn (o similari) si possa
esibire una base di Hamel. Ma a dire il vero non sono molto
esperto di queste cose.

L'enunciato "ogni spazio vettoriale ha una base" è più debole
dell'assioma di scelta e quindi del Lemma di Zorn. Ma la sua
negazione è coerente con gli altri assiomi della teoria degli
insiemi (scelta esclusa, ovviamente).

E quindi, in pratica? E' "enumerabile" una base di Hamel di
L^1 ed una base di Hamel di L^2? In particolare per "enumerabile"
intendo che si può dare una regole che ad ogni numero reale
associa un elemento della base". Non è la stessa cosa che dire
che la base è costruibile ma si avvicina. In particolare l'assioma
della scelta ha un ruolo in questo caso? Possiamo forse indebolire
la pretesa fornendo una surgezione, ovvero non necessita ogni
elemento di R ma un suo sottoinsieme non numerabile. Grazie

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

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