Discussione:
Differenziabilità:dubbi su ipotesi e implicazioni
(troppo vecchio per rispondere)
Lorenzo
2006-01-19 19:26:29 UTC
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Ma se una funzione è differenziabile in un punto questo implica che in
quel punto esistono necessariamente tutte le derivate parziali, no? E il
viceversa è vero? cioè, se in un punto esistono tutte le derivate
parziali allora la funzione è differenziabile in quel punto?

Poi, il teorema del differenziale totale afferma che, senza bisogno di
calcolare il limite attraverso cui è definito il concetto di
differenziabilità, basta verificare se "in un intorno di un punto
x=(x1,...xn) esistono tutte le derivate parziali di f e sono continue in
x allora f è differenziabile".
Perchè nel testo del teorema si ipotizzano due condizioni, ossia che le
derivate parziali siano esistenti in tutto un intorno di x e che siano
continue in quel punto, quando la sola continuità in un punto garantisce
pure l'esistenza in tutto un intorno? Non è ridondante chiedere quindi
l'esistenza in un intorno di x?
(Pure il testo del teorema di Schwarz richiede sia l'esistenza delle
derivate parziali in un intorno di x sia la continuità in x)

Poi, il teorema qui sopra definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?

Poi, una semplice definizione linguistica a me non molto chiara: si dice
che una funzione è "k volte differenziabile" se f è dotata di tutte le
derivate parziali di ordine k-1 in un intorno di x e se ognuna di queste
derivate è differenziabile in x.
Bene, questa è la domanda più stupida: se tutte le derivate di ordine
k-1, stando alle ipotesi, sono differenziabili in x, questo non implica
che esistano - di f - tutte le derivate di ordine k in x??? Voglio dire,
che differenza c'è fra la definizione data di funzione "k volte
differenziabile" e la definizione secondo cui una funzione è "k volte
differenziabile" se esistono in x tutte le derivate parziali di ordine k?

Per finire, in che senso i teoremi del differenziale totale e il teorema
di Schwarz implicano che se una funzione è k volte differenziabile in x
allora esistono in un intorno di x tutte le derivate parziali
dall'ordine 1 all'ordine k-1? Non basta la semplice definizione di
funzione "k volte differenziabile" per implicare l'esistenza di tutte le
derivate dall'ordine 1 a quello k-1? Voglio dire, mi si dà una funzione
e mi si dice che essa è "k volte differenziabile". Quindi so che
esistono tutte le derviate parziali di ordine k-1. Ma per ottenere le
derivate k-1-esime dovevo conoscere le derivate k-2-esime e così
via...quindi cosa c'entrano i teoremi di S. e del differenziale totale???


Ciao a tutti e scusate la lunghezza...
Neo
2006-01-19 20:59:52 UTC
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Allora do una risposta frugale in quanto non ho molto tempo...

In R^n non vale piu' l'implicazione derivabilita'->continuita'. In R^n
una funzione puo' essere derivabile in un punto ma non continua.
L'implicazione piu' forte e' quella della differenziabilita'. Se un
campo e' differenziabile allora e' derivabile in ogni direzione
(derivate parziali incluse) ed e' continua. Se inoltre il campo e'
differenziabile in x_0 allora puoi scrivere l'equazione del piano
tangente e quindi puoi approssimare la funzione con una funzione
lineare. Cosi' come in R->R per avere il polinomio di taylor la
funzione doveva essere derivabile in R^n serve la differenziabilita'.

Ps: In R esiste la diff ma equivale alla derivabilita'.

Ciao Neo
carlo morpurgo
2006-01-20 13:28:48 UTC
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Post by Neo
Allora do una risposta frugale in quanto non ho molto tempo...
In R^n non vale piu' l'implicazione derivabilita'->continuita'. In R^n
una funzione puo' essere derivabile in un punto ma non continua.
scritta cosi' suona MALISSIMO....non credo di aver mai visto la
defiizione di "derivabile" nel senso che (spero) intendi tu.
carlo
Post by Neo
L'implicazione piu' forte e' quella della differenziabilita'. Se un
campo e' differenziabile allora e' derivabile in ogni direzione
(derivate parziali incluse) ed e' continua. Se inoltre il campo e'
differenziabile in x_0 allora puoi scrivere l'equazione del piano
tangente e quindi puoi approssimare la funzione con una funzione
lineare. Cosi' come in R->R per avere il polinomio di taylor la
funzione doveva essere derivabile in R^n serve la differenziabilita'.
Ps: In R esiste la diff ma equivale alla derivabilita'.
Ciao Neo
Neo
2006-01-21 16:23:26 UTC
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Post by carlo morpurgo
scritta cosi' suona MALISSIMO....non credo di aver mai visto la
defiizione di "derivabile" nel senso che (spero) intendi tu.
carlo
Secondo te qual'e' la mia definizione di derivata?

Ciao Neo
Lorenzo
2006-01-20 19:36:01 UTC
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[CUT]

grazie per la risposta ma non chiedevo questo; quelli che ho scritto
sono tutti i dubbi che riguardando il capitolo rimangono...
Poi, il teorema (del differenziale totale) definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
Poi, una semplice definizione linguistica a me non molto chiara: si dice
che una funzione è "k volte differenziabile" se (DEFINIZIONE:) f è dotata di tutte le
derivate parziali di ordine k-1 in un intorno di x e se ognuna di queste
derivate è differenziabile in x.
Bene, questa è la domanda più stupida: se tutte le derivate di ordine
k-1, stando alle ipotesi, sono differenziabili in x, questo non implica
che esistano - di f - tutte le derivate di ordine k in x??? Voglio dire,
che differenza c'è fra la definizione data di funzione "k volte
differenziabile" e la definizione secondo cui una funzione è "k volte
differenziabile" semplicemente se esistono in x tutte le derivate parziali di ordine k?
Marco
2006-01-21 00:20:58 UTC
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Poi, il teorema (del differenziale totale) definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).

Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.

Per l'altra domanda ora non ho voglia di pensarci... mi sembra una
definizione un po' oscura, ma forse e' solo l'ora tarda :)

Ciao!
carlo morpurgo
2006-01-21 14:49:10 UTC
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Post by Marco
Poi, il teorema (del differenziale totale) definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
Per l'altra domanda ora non ho voglia di pensarci... mi sembra una
definizione un po' oscura, ma forse e' solo l'ora tarda :)
Ciao!
se e' differenziabile le derivate parziali devono almeno esistere, ma
potrebbero essere non continue. es: f(x,y)=x^2 sin(1/x) se x non nullo e
0 se x=0.

carlo
Lorenzo
2006-01-21 17:52:31 UTC
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Post by Marco
Poi, il teorema (del differenziale totale) definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
non è che non sono continue, è che proprio non esistono in (0,0) !
Lorenzo
2006-01-21 17:59:41 UTC
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Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
non è che non sono continue, è che proprio non esistono in (0,0) !
mmhh...leggo ora una nota di un altro vecchio libro del liceo che
afferma che in letteratura, soprattutto in passato, si consideravano
punti di discontinuità solo quelli appartenenti al dominio mentre nei
casi come quello qui sopra ci si limitata a dire che , appunto , la
funzione non esiste in (0,0)...
carlo morpurgo
2006-01-21 18:45:55 UTC
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Post by Lorenzo
Post by Marco
Poi, il teorema (del differenziale totale) definisce una classe di
funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
non è che non sono continue, è che proprio non esistono in (0,0) !
ti sbagli....le derivate parziali in (0,0) esistono, e sono ambedue
nulle....

carlo
Lorenzo
2006-01-21 19:19:47 UTC
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Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
non è che non sono continue, è che proprio non esistono in (0,0) !
ti sbagli....le derivate parziali in (0,0) esistono, e sono ambedue
nulle....
carlo
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se la
funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè prolungata con
continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il limite dei rapporti
incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0. Confermi?

In poche parole quindi, si può generalizzare dicendo che tutte le
funzioni differenziabili "non con continuità" in un punto sono quelle
ivi prolungate con continuità?
carlo morpurgo
2006-01-21 20:48:29 UTC
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Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
Se fai le derivate parziali vedi che non sono continue in (0,0),
tuttavia il differenziale in quel punto esiste ed e' 0, come puoi
verificare direttamente.
non è che non sono continue, è che proprio non esistono in (0,0) !
ti sbagli....le derivate parziali in (0,0) esistono, e sono ambedue
nulle....
carlo
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se la
funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè prolungata con
continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il limite dei rapporti
incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0. Confermi?
certo ma questo che c'entra? la definizione di f nell'origine c'e'
la continuita' di f non e' ne necessaria ne sufficiente per l'esistenza
delle parziali.
Post by Lorenzo
In poche parole quindi, si può generalizzare dicendo che tutte le
funzioni differenziabili "non con continuità" in un punto sono quelle
ivi prolungate con continuità?
se sono differenziabili devono essere continue. non capisco cosa intendi
per "ivi prolungate concontinuita'". Per esempio la funzione x^2+y^2
e' prolungata con continuita' in (0,0)? Ogni funzione continua (in
particolare C^infinito) si puo' vedere come "prolungata per continuita'".

carlo
Lorenzo
2006-01-22 01:32:53 UTC
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Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se la
funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè prolungata con
continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il limite dei rapporti
incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0. Confermi?
certo ma questo che c'entra? la definizione di f nell'origine c'e'
la continuita' di f non e' ne necessaria ne sufficiente per l'esistenza
delle parziali.
se la definizione di f si fosse limitata a
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 )
non avrebbe avuto senso chiedersi il valore delle derivate parziali in
(0,0) .
Post by carlo morpurgo
se sono differenziabili devono essere continue. non capisco cosa intendi
per "ivi prolungate concontinuita'". Per esempio la funzione x^2+y^2
e' prolungata con continuita' in (0,0)? Ogni funzione continua (in
particolare C^infinito) si puo' vedere come "prolungata per continuita'".
per prolungata con continuità intendo una funzione la cui espressione
analitica è "aggiustata" inserendo, come nell'esempio sopra, il valore
della funzione in un punto o in un insieme di punti in cui l'espressione
analitica di per sè non è definita. Questo valore deve essere tale per
cui la funzione risulti poi continua in quel punto/insieme di punti.
E' una definizione che ho tratto dall'analisi in una variabile...
carlo morpurgo
2006-01-22 03:52:36 UTC
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Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se
la funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè prolungata
con continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il limite dei
rapporti incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0. Confermi?
certo ma questo che c'entra? la definizione di f nell'origine c'e'
la continuita' di f non e' ne necessaria ne sufficiente per
l'esistenza delle parziali.
se la definizione di f si fosse limitata a
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 )
non avrebbe avuto senso chiedersi il valore delle derivate parziali in
(0,0) .
non lo metto in dubbio, ma questo non c'entra niente con la domanda che
avevi fatto, e che hai oportunamente tagliato ed editato per confondere
la logica....questo e' quanto, altro tempo da sbattere con chi vuole
giocare a ce l'hai non ne ho.
Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
se sono differenziabili devono essere continue. non capisco cosa
intendi per "ivi prolungate concontinuita'". Per esempio la funzione
x^2+y^2
e' prolungata con continuita' in (0,0)? Ogni funzione continua (in
particolare C^infinito) si puo' vedere come "prolungata per continuita'".
per prolungata con continuità intendo una funzione la cui espressione
analitica è "aggiustata" inserendo, come nell'esempio sopra, il valore
della funzione in un punto o in un insieme di punti in cui l'espressione
analitica di per sè non è definita. Questo valore deve essere tale per
cui la funzione risulti poi continua in quel punto/insieme di punti.
E' una definizione che ho tratto dall'analisi in una variabile...
Lorenzo
2006-01-22 05:58:57 UTC
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Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se
la funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè
prolungata con continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il
limite dei rapporti incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0.
Confermi?
certo ma questo che c'entra? la definizione di f nell'origine c'e'
la continuita' di f non e' ne necessaria ne sufficiente per
l'esistenza delle parziali.
se la definizione di f si fosse limitata a
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 )
non avrebbe avuto senso chiedersi il valore delle derivate parziali in
(0,0) .
non lo metto in dubbio, ma questo non c'entra niente con la domanda che
avevi fatto, e che hai oportunamente tagliato ed editato per confondere
la logica....questo e' quanto, altro tempo da sbattere con chi vuole
giocare a ce l'hai non ne ho.
sì me ne sono reso conto, ho fatto parecchia confusione...la definizione
della funzione in (0,0) non serve ad altro che permettere il calcolo del
rapporto incrementale, di cui poi dovremo fare il limite.

Ero rimasto un poco perplesso perchè il valore della funzione in (0,0) è
proprio quello che permette alla funzione di essere continua in (0,0) e
ci avevo visto chissà quale "generalizzazione" ad alcuni teoremi di
analisi 1 che non sto a riscrivere...

Per inciso, tutto il resto mi è chiaro e gli esempi che mi avete portato
mi sono stati utilissimi!
carlo morpurgo
2006-01-22 11:55:46 UTC
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Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by carlo morpurgo
Post by Lorenzo
Post by Marco
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 ) per (x,y) =/= (0,0)
f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0).
ok, ma se non sbaglio proprio perchè f(x,y) è continua in (0,0): se
la funzione non fosse stata definita nulla per (0,0), cioè
prolungata con continuità, allora non avrebbe avuto senso fare il
limite dei rapporti incrementali lungo le direzioni x=0 e y=0.
Confermi?
certo ma questo che c'entra? la definizione di f nell'origine c'e'
la continuita' di f non e' ne necessaria ne sufficiente per
l'esistenza delle parziali.
se la definizione di f si fosse limitata a
f(x,y) = (x^2 + y^2)*sin( (x^2 + y^2)^-1 )
non avrebbe avuto senso chiedersi il valore delle derivate parziali
in (0,0) .
non lo metto in dubbio, ma questo non c'entra niente con la domanda
che avevi fatto, e che hai oportunamente tagliato ed editato per
confondere la logica....questo e' quanto, altro tempo da sbattere con
chi vuole giocare a ce l'hai non ne ho.
sì me ne sono reso conto, ho fatto parecchia confusione...la definizione
della funzione in (0,0) non serve ad altro che permettere il calcolo del
rapporto incrementale, di cui poi dovremo fare il limite.
certo, diciamo che tecnicamente la f non era definita nell'origine; solo
dopo il limite sai come definirla.
Post by Lorenzo
Ero rimasto un poco perplesso perchè il valore della funzione in (0,0) è
proprio quello che permette alla funzione di essere continua in (0,0) e
ci avevo visto chissà quale "generalizzazione" ad alcuni teoremi di
analisi 1 che non sto a riscrivere...
ho capito cosa cercavi di dire..."e' possibile trovare una f scritta in
un colpo solo senza doverla definire separatamente nell'origine, che sia
differenziabile ma non C^1"? Questo non ha nulla a che fare con le due
dimensioni. Pensa a R. Tieni presente che le funzioni derivate (in una
variabile) non possono avere salti, o discont. di prima specie.
e se vuoi la f derivaile nel punto allora sta derivata deve esistere in
un intorno e non ammettere limite ne finito ne infinito. quante funzioni
"esplicite" candidate a essere derivate conosci con queste proprieta'?
In qualche modo la tua funzione derivata deve essere lei stessa una roba
che si definisca separatamente nell'origine....

carlo
Post by Lorenzo
Per inciso, tutto il resto mi è chiaro e gli esempi che mi avete portato
mi sono stati utilissimi!
Enrico Gregorio
2006-01-21 18:21:27 UTC
Permalink
Post by Lorenzo
Ma se una funzione è differenziabile in un punto questo implica che in
quel punto esistono necessariamente tutte le derivate parziali, no? E il
viceversa è vero? cioè, se in un punto esistono tutte le derivate
parziali allora la funzione è differenziabile in quel punto?
Sì. Se f è differenziabile, allora è derivabile in ogni direzione.
Il viceversa non è vero. Trovi esempi in tutti i testi di Analisi 2.
Post by Lorenzo
Poi, il teorema del differenziale totale afferma che, senza bisogno di
calcolare il limite attraverso cui è definito il concetto di
differenziabilità, basta verificare se "in un intorno di un punto
x=(x1,...xn) esistono tutte le derivate parziali di f e sono continue in
x allora f è differenziabile".
È una condizione sufficiente, non necessaria.
Post by Lorenzo
Perchè nel testo del teorema si ipotizzano due condizioni, ossia che le
derivate parziali siano esistenti in tutto un intorno di x e che siano
continue in quel punto, quando la sola continuità in un punto garantisce
pure l'esistenza in tutto un intorno? Non è ridondante chiedere quindi
l'esistenza in un intorno di x?
Non è ridondante; una funzione è continua in ogni punto isolato del
dominio.
Post by Lorenzo
(Pure il testo del teorema di Schwarz richiede sia l'esistenza delle
derivate parziali in un intorno di x sia la continuità in x)
Stesso discorso di prima. Il teorema di Schwarz dà una condizione
sufficiente affinché le derivate seconde miste siano uguali.
Post by Lorenzo
Poi, il teorema qui sopra definisce una classe di funzioni, le funzioni
differenziabili con continuità; non vale il viceversa, ossia se una
funzione è differenziabile in un punto allora non necessariamente le
derivate parziali esistono e sono continue in quel punto.
Mi fate un esempio?
Il discorso è più sottile; è il differenziale che deve essere continuo.
Questo però equivale alla continuità delle derivate parziali.
Se f è differenziabile in un punto, le derivate parziali esistono,
ma non sono necessariamente continue.
Post by Lorenzo
Poi, una semplice definizione linguistica a me non molto chiara: si dice
che una funzione è "k volte differenziabile" se f è dotata di tutte le
derivate parziali di ordine k-1 in un intorno di x e se ognuna di queste
derivate è differenziabile in x.
Bene, questa è la domanda più stupida: se tutte le derivate di ordine
k-1, stando alle ipotesi, sono differenziabili in x, questo non implica
che esistano - di f - tutte le derivate di ordine k in x??? Voglio dire,
che differenza c'è fra la definizione data di funzione "k volte
differenziabile" e la definizione secondo cui una funzione è "k volte
differenziabile" se esistono in x tutte le derivate parziali di ordine k?
Richiedi l'esistenza delle derivate di ordine k-1 in un intorno proprio
per poter parlare delle derivate di ordine k nel punto. Altrimenti,
come fai? A sua volta, l'esistenza delle derivate di ordine k-1 in un
intorno assume l'esistenza di quelle di ordine k-2 in un intorno,
eccetera.

Ciao
Enrico
Lorenzo
2006-01-21 18:56:35 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Post by Lorenzo
Poi, una semplice definizione linguistica a me non molto chiara: si dice
che una funzione è "k volte differenziabile" se f è dotata di tutte le
derivate parziali di ordine k-1 in un intorno di x e se ognuna di queste
derivate è differenziabile in x.
Bene, questa è la domanda più stupida: se tutte le derivate di ordine
k-1, stando alle ipotesi, sono differenziabili in x, questo non implica
che esistano - di f - tutte le derivate di ordine k in x??? Voglio dire,
che differenza c'è fra la definizione data di funzione "k volte
differenziabile" e la definizione secondo cui una funzione è "k volte
differenziabile" se esistono in x tutte le derivate parziali di ordine k?
Richiedi l'esistenza delle derivate di ordine k-1 in un intorno proprio
per poter parlare delle derivate di ordine k nel punto. Altrimenti,
come fai?
penso di aver capito: l'intorno di cui ipotizziamo l'esistenza funge da
"dominio" per le derivate di ordine k
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