Prodotto di convoluzione

[Gotenks]

Qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi (se credete sia possibile farlo
soltanto a parole) come si risolve il prodotto di convoluzione in via
grafica? Purtoppo il mio professore di teoria dei segnali è riuscito a dare
a me e ai miei compagni quattro diverse spiegazioni su come risolverlo!!!
(forse in base all'umore che aveva quel giorno...). Per farvi un esempio,
avendo due segnali, x(t) definito come una porta causale di ampiezza
unitaria e di durata T, e h(t)=sin(pi*t/T)*exp(-at)*u(t), viene chiesto di
farne la convoluzione e dire se il risultato, valutato in t=2T è maggiore,
minore o uguale a zero...abbiamo avuto tutte e tre le risposte!!! Vi lascio
immaginare la confusione che abbiamo in testa...grazie mille per il vostro
aiuto.
Ciao a tutti.

[Hypermars]

Post by Gotenks
Qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi (se credete sia possibile farlo
soltanto a parole) come si risolve il prodotto di convoluzione in via
grafica?

Ciao, allora secondo me non e' banale eseguire una convoluzione per via
grafica. Ci provo.

Per valutare la convoluzione, devi pensare di tenere ferma una delle due
funzioni, a tua scelta, e far "scorrere" l'altra rigidamente (traslarla)
partendo da meno infinito fino a piu' infinito. Devi insomma "spazzare"
tutto l'asse dei tempi con una delle due funzioni. Il risultato della
convoluzione e', punto per punto (cioe' a ogni posizione della funzione che
trasli), l'area compresa tra le due funzioni.

Ad esempio, perche' la convoluzione tra due "porte causali di ampiezza
unitaria e durata T" (non ho mai sentito questa definizione, ma penso di
capire che intendi una funzione che vale 1 da -T/2 a T/2 e zero altrove) e'
una funzione triangolare?

Prendi uno dei due rettangoli fisso al suo posto, tra -T/2 e T/2. L'altro lo
pensi a meno infinito che si sta avvicinando da sinistra, e pensa di
appiccicare una freccettina che ti indica la posizione del centro del
rettangolo. Fino a che le due non si toccano, non c'e' nessuna area sottesa
dall'intersezione delle due funzioni, quindi la convoluzione sara' sempre
zero, per t<-T (la freccetta che indica il centro del rettangolo e'
posizionata appunto in t=-T). Quando invece il rettangolo che si muove
inizia a spazzare la regione dove sta il rettangolo fermo, hai una area
diversa da zero (puoi pensare di colorarla in blu, man mano che si sposta).
Quando il rettangolo che si muove e' arrivato a toccare l'origine (la
freccettina e' in -T/2), il valore dell'area sottesa sara' il rettangolo di
base T/2 e altezza uno, quindi la convoluzione ha valore T/2*1 = T/2 nel
punto t=-T/2. Quando i due rettangolo sono sovrapposti (t=0, freccettina
nell'origine), l'area sottesa e' evidentemente pari a T. E cosi' via. Se ti
calcoli altri punti, vedrai che il risultato della convoluzione (ovvero
quando il rettangolo che si muove e' arrivato a +infinito) in questo caso e'
un triangolo che sta tra -T e T, ed ha altezza anch'essa T.

Post by Gotenks
avendo due segnali, x(t) definito come una porta causale di ampiezza
unitaria e di durata T, e h(t)=sin(pi*t/T)*exp(-at)*u(t), viene chiesto di
farne la convoluzione e dire se il risultato, valutato in t=2T è maggiore,
minore o uguale a zero...abbiamo avuto tutte e tre le risposte!!! Vi lascio
immaginare la confusione che abbiamo in testa...grazie mille per il vostro
aiuto.

Ora, venendo al tuo problema, teniamo ferma la funzione complicata e
facciamo spazzare il rettangolo. Ci interessa valutare il punto t=2T, quindi
dobbiamo pensare che il rettangolo e' arrivato a posizionarsi tra 2T-T/2 e
2T+T/2. Considerando che la funzione h(t) e' oscillante smorzata con periodo
2 T (a meno che la funzione non data u(t) sia "strana"), il rettangolo e'
proprio a cavallo di un cambio di segno della funzione. Siccome c'e' lo
smorzamento, e' verosimile che l'area della parte di h(t) compresa tra 2T e
2T+T/2 sia *minore* in modulo dell'area sottesa da h(t) tra 2T-T/2 e 2T.
Quindi, se u(t) e' positiva, il risultato della convoluzione nel punto t=2T
sara' negativa, e viceversa se u(t) e' negativa. Per maggiore precisione,
bisognerebbe assegnare esplicitamente u(t) e vedere cosa fa.

Tutto questo, salvo errori e distrazioni (ovviamente).

Bye
Hyper

[Gotenks]

Post by Hypermars
Ad esempio, perche' la convoluzione tra due "porte causali di ampiezza
unitaria e durata T" (non ho mai sentito questa definizione, ma penso
di capire che intendi una funzione che vale 1 da -T/2 a T/2 e zero
altrove) e' una funzione triangolare?

Più precisamente, una qualsiasi funzione causale vale 0 fino a t=0 e poi il
valore della funzione da t=0 in poi. In questo caso la porta causale vale
uno nell'intervallo [0,T] e 0 altrove, comunque non è questo il problema!

Post by Hypermars
tra 2T-T/2 e 2T+T/2. Considerando che la funzione h(t) e' oscillante
smorzata con periodo 2 T (a meno che la funzione non data u(t) sia
"strana"), il rettangolo e' proprio a cavallo di un cambio di segno

Niente stranezze, non l'ho specificato, ma con u(t) intendevo la funzione
gradino ideale!

Post by Hypermars
Bye
Hyper

Grazie mille, ora è tutto più chiaro!!!
Ciao.

[zaero]

http://profs.sci.univr.it/~fusiello/teaching/AnimatedConvolution/AnConvoluti
on.html