Post by ripeto16Post by TetisPost by ripeto16La controimmagine di un compatto non e' (necessariamente) un compatto.
L'immagine di un compatto e' un compatto.
Appunto.
Post by ripeto16Ho sbagliato, chiaramente. La dim della compattezza che conosco io e'
chiusura: la controimmagine di un chiuso {-1;+1} e' un chiuso.
? immediatamente errato.
L'applicazione det() e' continua, date le top. euclidee su M(n)
identificato con R^(n^2) e su R.
Certo che è continua nei parametri matriciali, ed è continua anche
rispetto alla topologia del gruppo. Ma il punto in questione è che
non è vero che la controimmagine di un chiuso è sempre un chiuso.
Per dimostrare che il gruppo SO(N) è chiuso basta osservare che
si può costruire un intorno dell'unità contenuto nel gruppo (che quindi
è un punto interno al gruppo e non di frontiera) e che la norma degli
elementi del gruppo ha un gap rispetto allo zero. Ovvero inf || O || > 0.
In modo che qualsiasi elemento che sia un punto di accumulazione
deve essere raggiungibile da un qualche intorno di un suo elemento
prossimale. Questa osservazione insieme con la proprietà di Cauchy
chiude la dimostrazione.
Post by ripeto16Post by TetisPost by ripeto16Con la metrica euclidea fai vedere che e' limitato ed e' fatto.
occorre mostrare poi che la topologia indotta dalla
metrica euclidea è compatibile con la topologia indotta
dalla metrica del gruppo. Se ragioni con la metrica del
gruppo fin da principio ti risparmi un sacco di rogne.
O no, c'è una scorciatoia?
Veramente non parlava di gruppo topologico: io ho inteso la sua
domanda su O(n) come sottoinsieme di M(n).
In un certo qual modo è la stessa cosa, solo che va dimostrato.
Ad esempio esprimendo la norma di una matrice invertibile: A,
intesa come operatore invertibile sullo spazio vettoriale con
la norma euclidea, in termini delle componenti della matrice.
(Risulta che la norma degli elementi di O(N) è costate ed uguale
ad 1) Indipendentemente dalla matrice la norma è definita:
sup || A v || = sup < v | A* A | v >
|v| = 1
le componenti della matrice A*A si esprimono
in termini delle componenti di A:
A*A _ ij = Sum_m A_mi A_mj
e siccome il vettore h =(1, ... 1) /sqrt(N) ha norma unitaria
< h | A*A | h> = Sum_ijm A_mi A_mj /N <= || A ||
in particolare Sum_ij (A_ij)^2 <= Sum_ijm A_mi A_mj <= N || A ||
quindi ogni intorno di A nella topologia di R^n^2 può essere
compreso in un intorno di A nella topologia operatoriale.
Per il viceversa si può ragionare considerando che la sfera
unitaria è contenuta nel cubo unitario e maggiorando la norma
di A con la somma dei moduli quadri delle sue componenti.
Questi discorsi non si estendono in dimensione infinita ed in
dimensione infinita la sfera unitaria nello spazio di Banach degli
operatori, come in qualsiasi spazio vettoriale, non è compatta.
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