Soluzioni di una equazione con parametro

[GiovanniC]

Salve a tutti
ho il seguente esercizio:

Determinare il numero delle soluzioni reali della seguente equazione al variare del parametro k:

x^3-(kx^2)+2-k=0

Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[Enrico Gregorio]

Post by GiovanniC
Salve a tutti
Determinare il numero delle soluzioni reali della seguente equazione al
x^3-(kx^2)+2-k=0
Gradirei qualche indicazione.

Dov'è il problema? Si studia una facile funzione.
Se ti aspetti un "metodo di Tartinville", scordatelo. :)

k(1 + x^2) = x^3 + 2

k = (x^3 + 2)/(x^2 + 1) = x + (2 - x)/(x^2 + 1)

La funzione

f(x) = x + (2 - x)/(x^2 + 1)

è definita ovunque

lim_{x -> +inf} f(x) = +inf
lim_{x -> -inf} f(x) = -inf

La derivata è

f'(x) = 1 + (-x^2 - 1 - 4x + 2x^2)/(x^2 + 1)^2
= (x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 - 4x - 1)/(x^2 + 1)^2
= x(x^3 + 3x - 4)/(x^2 + 1)^2

Il numeratore si fattorizza facilmente perché 1^3 + 3 - 4 = 0:

f'(x) = x(x - 1)(x^2 + x + 4)/(x^2 + 1)^2

che è dunque positiva per x < 0 e per x > 1.

C'è un massimo locale in 0, con f(0) = 2; un minimo locale in 1,
con f(1) = 3/2.

Riassumendo:

€ Una soluzione per k < 3/2
€ Due soluzioni per k = 3/2
€ Tre soluzioni per 3/2 < k < 2
€ Due soluzioni per k = 2
€ Una soluzione per k > 2

Ciao
Enrico

[Oceano]

Post by Enrico Gregorio
€ Una soluzione per k < 3/2
€ Due soluzioni per k = 3/2
€ Tre soluzioni per 3/2 < k < 2
€ Due soluzioni per k = 2
€ Una soluzione per k > 2

Bravo Enrico, sei il migliore:)

[GiovanniC]

Post by Enrico Gregorio

Post by GiovanniC
Salve a tutti
Determinare il numero delle soluzioni reali della seguente equazione al
x^3-(kx^2)+2-k=0
Gradirei qualche indicazione.

Dov'è il problema? Si studia una facile funzione.
Se ti aspetti un "metodo di Tartinville", scordatelo. :)
k(1 + x^2) = x^3 + 2
k = (x^3 + 2)/(x^2 + 1) = x + (2 - x)/(x^2 + 1)
La funzione
f(x) = x + (2 - x)/(x^2 + 1)
è definita ovunque
lim_{x -> +inf} f(x) = +inf
lim_{x -> -inf} f(x) = -inf
La derivata è
f'(x) = 1 + (-x^2 - 1 - 4x + 2x^2)/(x^2 + 1)^2
= (x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 - 4x - 1)/(x^2 + 1)^2
= x(x^3 + 3x - 4)/(x^2 + 1)^2
f'(x) = x(x - 1)(x^2 + x + 4)/(x^2 + 1)^2
che è dunque positiva per x < 0 e per x > 1.
C'è un massimo locale in 0, con f(0) = 2; un minimo locale in 1,
con f(1) = 3/2.
€ Una soluzione per k < 3/2
€ Due soluzioni per k = 3/2
€ Tre soluzioni per 3/2 < k < 2
€ Due soluzioni per k = 2
€ Una soluzione per k > 2
Ciao
Enrico

Ti ringrazio per la risposta, come sempre veloce e precisa.
Giovanni