Post by Giorgio Pastore... ho trovato una combinazione di parametri non
Post by PanglossPost by Tetis1-2/(1+e^(5x/2))
Era nota? E' inutile?
Da Tetis siamo abituati a leggere interventi di ben maggiore spessore!
Che i grafici di Erf(x) e di Tanh(x) (o meglio Tanh(a*x) con a opportuno)
abbiano una vaga rassomiglianza appare certamente intuitivo a molti, ma
altrettanto certamente e' un'osservazione inutile... ;-)
Tetis non ha fatto un' osservazione intuitivo/qualitativa sulla somiglianza
tra erf e tanh, nel qual caso il tuo commento poteva essere giustificato. Ha
proposto una formula con dei coefficienti numerici e per di piu' costituita
da valori "semplici". L' osservazione non e' quindi inutile.
Nel merito, sul fatto che sia nota, non so, proverei a cercare sull'
Abramowitz & Stegun.
E' proprio perché avevo provato ad usare alcune interpolazioni
polinomiali-esponenziali da quel volume (accuratissime) che mi ero poi
rivolto ad una approssimazione più semplice.
Post by Giorgio PastoreDal punto di vista pratico, ovviamente l' utilita' e'
legata all' accuratezza. La mia sensazione e' che potrebbe avere una limitata
utilita' per rapide stime numeriche.
Dipende infatti dall'intervallo d'interesse, per gli andamenti
asintotici nelle code è pessima, a me invece importa che vada bene
nell'intervallo fino ad una frazione significativa (diciamo entro il 2%
di area complementare della gaussiana associata) cioè per y da 0.02 a
0.98. Per una prima stima ho usato una molto più semplice e rozza
approssimazione lineare a tratti (del tipo che si usa in ingegneria
elettronica per le caratteristiche dei diodi) come perfezionamento
dell'approssimazione on/off.
In pratica quello che devo sturiare, in prima approssimazione è
descritto da una somma del tipo:
(k+erf(-a0+a)+erf(-a0+2a)+erf(-a0+3a)+...+erf(-a0+k a))/2k
k è una costante, mentre a ed a0 sono variabili ed io voglio una stima
di turn-on legato a questa somma al variare di a ed a0. Per piccoli
valori di a con a0 = 0 ad esempio risulterebbe un andamento asintotico:
[k+(k(k+1))a/sqrt(pi)]/(2k)
ma ad un certo punto l'andamento, al crescere di a diventa:
1
Il problema concreto comunque consiste essenzialmente nello studiare la
transizione al variare di a0 (è più complicato ma per accennare va
bene) in particolare quando il valor medio della somma vale una
frazione significativa dell'unità, questa frazione può variare fra il
2% ed il 40%.
Se a0 è negativo ed inizialmente grande in modulo rispetto alla
larghezza della erf, allora la somma vale zero finché ka-a0 è a sua
volta spostato molto a sinistra dello zero. Se faccio l'approssimazione
lineare ottengo un andamento quadratico in a0, ma l'andamento corretto
non somiglia affatto ad una parabola. Con questa approssimazione riesco
invece a stimare discretamente bene il punto di switch.
(in concreto da un termine all'altro cambia la larghezza della
gaussiana ed anche la spaziatura fra i termini non è costante)
Post by Giorgio PastorePer calcoli numerici intensivi, se la
velocita' e' cruciale si preferisce utilizzare una semplice formula di
interpolazione (operazioni elementari invece di "chiamata a funzione").
Ricordo le funzioni di smearing nella statistica elettronica e per
altri problemi di statistica degli eventi rari, qui invece sono nel
regime degli eventi frequenti.
Comunque vi dico anche che in questo caso il contesto del problema è
pressoché ludico. Magari in seguito, a soluzioni pubblicate, vi
racconto tutta la questione e scoprirete subito che questo aspetto è
marginale e magari lo tratterete senza le complicazioni in cui mi sono
imbattuto.
Post by Giorgio PastorePer
stime legata a maggiorazioni, ovviamente risente di un andamento troppo
"lento" dell' esponenziale rispetto all' erf.
Infatti, in quel caso sono preferibili le approssimazioni di Taylor o
altre approssimazioni ad hoc che convergono un poco più velocemente.