Post by El FilibusteroNo. Il giochino va idealizzato come: trovare (se esiste) quella curva
piana di lunghezza minima (magari costituita di al piu' un'infinita'
numerabile di tratti continui) che interseca ogni retta distante meno
di 1 da un punto assegnato. Congettura: non puo' essere meno lunga di
pi.
Prova della congettura. Come gia' osservato nel vecchio thread, la
projezione ortogonale della curva lungo una qualsiasi direzione non
puo' misurare meno di 2, altrimenti ci sarebbero tubi in quella
direzione che non vengono intersecati dallo scavo.
Discretizziamo la situazione, immaginando la curva di lunghezza "a"
come unione di M segmenti uguali, ciascuno lungo a/M. Anche le
direzioni del piano siano discretizzate, immaginando che ogni segmento
debba giacere sulla direzione che forma l'angolo alpha_k:=k*pi/N con
l'asse x per un qualche k=1..N; sia alpha_k(j) l'angolo della
direzione su cui giace il j-esimo segmento, per j=1..M.
Inoltre, supponiamo che ogni possibile projezione sia ortogonale a una
di queste direzioni, cioe' ci sono solo N projezioni ortogonali P_k
possibili (ad esempio, P_N e' quella sull'asse x).
Ora, poiche' le projezioni di due segmenti possono sovrapporsi, la
projezione della curva in una certa direzione e' non superiore alla
somma delle projezioni in quella direzione dei segmenti che la
compongono:
P_k(curva) <= somma{j=1..M} P_k(j-esimo segmento)
= a/M somma{j=1..M} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|
sommando le misure di tutte le N projezioni della curva, per quanto
detto all'inizio, dovrebbe venire almeno 2N. Risulta:
somma{k=1..N} P_k(curva) <=
somma{k=1..N} a/M somma{j=1..M} |cos(alpha_k - alpha_k(j))| =
scambiando l'ordine delle somme
a/M somma{j=1..M} somma{k=1..N} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|
ma somma{k=1..N} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|, indipendentemente da
k(j), e' la somma delle diagonali piu' due lati dell' N-agono regolare
di diametro 1, pari a 1/tan(pi/(2N)), sicche'
somma{k=1..N} P_k(curva) <= 1/tan(pi/(2N)) a/M somma{j=1..M} 1 =
a/tan(pi/(2N)).
Per quanto grande possa essere N, si ha 1/(N tan(pi/(2N))) <= 2/pi
quindi
somma{k=1..N} P_k(curva) <= aN / (N tan(pi/(2N))) <= 2aN/pi
sicche' se fosse a<pi avremmo la somma delle projezioni inferiore a
2N. QED. Ciao