Giochino 56: lo scavo (repost)

[El Filibustero]

In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

[Angelo M.]

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Se scavo una circonferenza con centro nella bandierina incontro certamente il tubo in 2 Pi metri.
Ma come dimostrare che è lo scavo di lunghezza minima?

[El Filibustero]

Post by Angelo M.

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Se scavo una circonferenza con centro nella bandierina incontro certamente il tubo in 2 Pi metri.
Ma come dimostrare che è lo scavo di lunghezza minima?

Non senza problemi, dato che NON e' lo scavo di lunghezza minima. Ciao

[effe]

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

~4,819

[El Filibustero]

Post by effe

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

~4,819

Fatto come? Ciao

[effe]

Post by El Filibustero
Fatto come? Ciao

Traccio la circonferenza di centro O nella bandierina e r = 1m.
Mando la tangente t alla circonferenza in un suo punto A e considero un
altro punto qualunque B su t. Da B mando l'altra tangente alla
circonferenza che tocca la circ. in C e interseca in D il prolungamento
della semiretta AO.
Congiungo C con O e prolungo fino ad incontrare in E la t. EA=CD=x. DE è
la base del triangolo isoscele BED.
Da E e D mando le tangenti alla circ, che si incontrano in F e considero
l'altezza FH del triangolo isoscele DEF. DO=sqrt(1+x^2)

Pongo AOC=a per cui COD=pi-a. DOH=a/2 e DH=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)
ODC=a-pi/2=ODF e FDH=ODF-HDO=3a/2-pi per cui
FH=DH*tg(3a/2-pi)=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)*tg(3/2a-pi)

Ho una funzione f(a,x) con una condizione molto particolare (che il
punto D sia sulla verticale) che non so quanto sia legittima. Il sistema
delle derivate parziali per me è proibitivo. Ho provato ad alleggerire
dando a x valori opportuni.
Il risultato migliore l'ho trovato per x=3/4 a cui segue COD=arccos(4/5),
a=pi-arccos(4/5)=2,4980915 e DH=0,820976.
Scavo EA+arco BC+CD+FH=3/4+2,4980915+3/4+0,820976=~4.819m.
x=1 mi dava, se non ricordo male, 4.89 m.

Non credo sia il minimo perché la scelta dei 3/4 è stata fatta per
comodo, ma è possibile che entro le tre cifre decimali ci stia comunque.
Ma non è il minimo :-(

[El Filibustero]

Post by effe
Traccio la circonferenza di centro O nella bandierina e r = 1m.
Mando la tangente t alla circonferenza in un suo punto A e considero un
altro punto qualunque B su t. Da B mando l'altra tangente alla
circonferenza che tocca la circ. in C e interseca in D il prolungamento
della semiretta AO.
Congiungo C con O e prolungo fino ad incontrare in E la t. EA=CD=x.

In seguito sembra che tratterai x come variabile indipendente
dall'ampiezza "a" dell'arco AOC, ma non e' cosi'. Infatti x=tan(pi-a)

Post by effe
DE è la base del triangolo isoscele BED.
Da E e D mando le tangenti alla circ, che si incontrano in F e considero
l'altezza FH del triangolo isoscele DEF. DO=sqrt(1+x^2)

DO = 1/cos(pi-a)

Post by effe
Pongo AOC=a per cui COD=pi-a. DOH=a/2 e DH=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)
ODC=a-pi/2=ODF e FDH=ODF-HDO=3a/2-pi per cui
FH=DH*tg(3a/2-pi)=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)*tg(3/2a-pi)

FH = sin(a/2)*tg(3/2a-pi)/cos(pi-a)

Post by effe
Ho una funzione f(a,x)

Come detto sopra, x non e' indipendente da a, sicche' c'e' da
minimizzare una funzione in una sola variabile:

scavo(a) := AOC + 2EA + FH =
= a + 2 tan(pi-a) + sin(a/2)*tg(3/2a-pi)/cos(pi-a)

Post by effe
con una condizione molto particolare (che il
punto D sia sulla verticale) che non so quanto sia legittima. Il sistema
delle derivate parziali per me è proibitivo. Ho provato ad alleggerire
dando a x valori opportuni.
Il risultato migliore l'ho trovato per x=3/4

Scelta quasi ottima: infatti scavo(a) ha un minimo per a=~2.494825377
ossia x=tan(pi-a)=~0.7551159375 invece di 3/4 = 0.75

Post by effe
a cui segue COD=arccos(4/5),a=pi-arccos(4/5)=2,4980915 e DH=0,820976.
Scavo EA+arco BC+CD+FH=3/4+2,4980915+3/4+0,820976=~4.819m.

scavo(2.494825377)=~4.819022711

Post by effe
Non credo sia il minimo perché la scelta dei 3/4 è stata fatta per
comodo, ma è possibile che entro le tre cifre decimali ci stia comunque.

ci siamo vicinissimi. Comunque questa t[i/o]pologia di scavo l'ho
vista in

https://groups.google.com/g/it.scienza.matematica/c/_PU6FnzD4GA/m/5tM4hiVvdLgJ

dove la lunghezza dei baffi EA e DC e' veramente indipendente dal
labbro AC. Rifacendo i calcoli con una precisione migliore, il minimo
della categoria e' circa 4.818926456. Ciao

[effe]

Post by El Filibustero
In seguito sembra che tratterai x come variabile indipendente
dall'ampiezza "a" dell'arco AOC, ma non e' cosi'. Infatti x=tan(pi-a)

Vero! Mi è sfuggito.

Post by El Filibustero

Post by effe
Ho una funzione f(a,x)

Come detto sopra, x non e' indipendente da a, sicche' c'e' da
scavo(a) := AOC + 2EA + FH =
= a + 2 tan(pi-a) + sin(a/2)*tg(3/2a-pi)/cos(pi-a)

Già. Anche se non è semplice nemmeno quella da derivare.

Post by El Filibustero
Scelta quasi ottima: infatti scavo(a) ha un minimo per a=~2.494825377
ossia x=tan(pi-a)=~0.7551159375 invece di 3/4 = 0.75
scavo(2.494825377)=~4.819022711
Comunque questa t[i/o]pologia di scavo l'ho
vista in
https://groups.google.com/g/it.scienza.matematica/c/_PU6FnzD4GA/m/5tM4hiVvdLgJ
dove la lunghezza dei baffi EA e DC e' veramente indipendente dal
labbro AC. Rifacendo i calcoli con una precisione migliore, il minimo
della categoria e' circa 4.818926456. Ciao

Visto. Il tuo e quello di Marco Dalai. Mi devo studiare il tuo, quello
coi seni e coseni.
Che lo scavo dovesse essere simmetrico e spezzato l'avevo intuito
subito. La prima figura che avevo disegnato era una arco di 3pi/4 con la
semidiagonale opposta, ma restava scoperta la parte di circonferenza
sopra e sotto la congiungente dell'estremo superiore della semidiagonale
con gli estremi dell'arco. Da qui l'idea di prolungare con segmento fino
alla verticale e mandare le tangenti. Capisco adesso il 'reload' nel
titolo.
Interessante tutto il thread. Ciao.

PS. 'Un'altra osservazione: se esiste uno scavo di lunghezza <2 (altamente
improbabile), esiste anche uno scavo di lunghezza 0'.

PPS.Comunque uno scavo di lunghezza <2 non puo' esistere. Infatti
proiettando ortogonalmente quell'ipotetico scavo su un diametro
qualsiasi della circonferenza si otterrebbe un sottoinsieme della
retta diametrale, con misura <2. Tale proiezione presenterebbe
necessariamente almeno un "buco" rispetto al diametro che ha misura 2;
pertanto non incontrerebbe tutte le rette perpendicolari al diametro,
e lo stesso succederebbe allo scavo di partenza.

Perché hai pensato ad uno scavo (altamente improbabile) <2?

[El Filibustero]

Post by effe
Visto. Il tuo e quello di Marco Dalai. Mi devo studiare il tuo, quello
coi seni e coseni.

E' identico al tuo sia come geometria che come concetto (cioe' il
tratto sconnesso dall'arco funge a coprire dove i baffi non arrivano)
con la differenza che non vincola la lunghezza dei baffi alla
lunghezza dell'arco. Ma -- come abbiamo visto -- il guadagno e' appena
di circa un decimillesimo.

Post by effe
Perché hai pensato ad uno scavo (altamente improbabile) <2?

Perche' implicherebbe uno scavo di lunghezza 0. Ma e' un ragionamento
con un presupposto impossibile. Rilancio il topic con una congettura:
il lower bound della lunghezza dello scavo e' pi. Ciao

[effe]

Post by El Filibustero
E' identico al tuo sia come geometria che come concetto (cioe' il
tratto sconnesso dall'arco funge a coprire dove i baffi non arrivano)
con la differenza che non vincola la lunghezza dei baffi alla
lunghezza dell'arco. Ma -- come abbiamo visto -- il guadagno e' appena
di circa un decimillesimo.

C'è una cosa che avevo notato nella costruzione geometrica che ho
proposto, che mi aveva incuriosito ma poi ci sono passato sopra.
I segmenti DF, EF sono lati di un triangolo isoscele e mi ricordavano,
per la loro posizione, due lati del pentagono a cui faceva compagnia il
mezzo lato CD. Misura lato pentagono circoscritto alla circonferenza di
raggio unitario=1.453085m
Arco corrispondente a due lati è 2,513274m
Altezza relativa alla diagonale più vicina =0,854102m
Somma=4,820461m
Scavo=4.818927m
Quindi scavando in successione 1/2 lato+arco di due lati+1/2
lato+altezza si commette un errore di 1,5 mm. Niente male.

[effe]

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Traccio la circonferenza di centro O nella bandierina e r = 1m.
Mando la tangente t alla circonferenza in un suo punto A e considero un
altro punto qualunque B su t. Da B mando l'altra tangente alla
circonferenza che tocca la circ. in C e interseca in D il prolungamento
della semiretta AO.
Congiungo C con O e prolungo fino ad incontrare in E la t. EA=CD=x. DE è
la base del triangolo isoscele BED.
Da E e D mando le tangenti alla circ, che si incontrano in F e considero
l'altezza FH del triangolo isoscele DEF. DO=sqrt(1+x^2)

Pongo AOC=a per cui COD=pi-a. DOH=a/2 e DH=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)
ODC=a-pi/2=ODF e FDH=ODF-HDO=3a/2-pi per cui
FH=DH*tg(3a/2-pi)=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)*tg(3/2a-pi)

Ho una funzione f(a,x) con una condizione molto particolare (che il
punto D sia sulla verticale) che non so quanto sia legittima. Il sistema
delle derivate parziali per me è proibitivo. Ho provato ad alleggerire
dando a x valori opportuni.
Il risultato migliore l'ho trovato per x=3/4 a cui segue COD=arccos(4/5),
a=pi-arccos(4/5)=2,4980915 e DH=0,820976.
Scavo EA+arco BC+CD+FH=3/4+2,4980915+3/4+0,820976=~4.819m.
x=1 mi dava, se non ricordo male, 4.89 m.

Non credo sia il minimo perché la scelta dei 3/4 è stata fatta per
comodo, ma è possibile che entro le tre cifre decimali ci stia comunque.
Ma non è il minimo :-(

[Yoda]

Post by effe

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Traccio la circonferenza di centro O nella bandierina e r = 1m.
Mando la tangente t alla circonferenza in un suo punto A e considero un
altro punto qualunque B su t. Da B mando l'altra tangente alla
circonferenza che tocca la circ. in C e interseca in D il prolungamento
della semiretta AO.
Congiungo C con O e prolungo fino ad incontrare in E la t. EA=CD=x. DE è
la base del triangolo isoscele BED.
Da E e D mando le tangenti alla circ, che si incontrano in F e considero
l'altezza FH del triangolo isoscele DEF. DO=sqrt(1+x^2)
Pongo AOC=a per cui COD=pi-a. DOH=a/2 e DH=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)
ODC=a-pi/2=ODF e FDH=ODF-HDO=3a/2-pi per cui
FH=DH*tg(3a/2-pi)=sqrt(x^2+1)*sin(a/2)*tg(3/2a-pi)
Ho una funzione f(a,x) con una condizione molto particolare (che il
punto D sia sulla verticale) che non so quanto sia legittima. Il sistema
delle derivate parziali per me è proibitivo. Ho provato ad alleggerire
dando a x valori opportuni.
Il risultato migliore l'ho trovato per x=3/4 a cui segue COD=arccos(4/5),
a=pi-arccos(4/5)=2,4980915 e DH=0,820976.
Scavo EA+arco BC+CD+FH=3/4+2,4980915+3/4+0,820976=~4.819m.
x=1 mi dava, se non ricordo male, 4.89 m.
Non credo sia il minimo perché la scelta dei 3/4 è stata fatta per
comodo, ma è possibile che entro le tre cifre decimali ci stia comunque.
Ma non è il minimo :-(

Mi sbagliero', ma a occhiometro mi sembra impossibile battere il
minimo 2 + pi = 5,14.. che ottieni cosi':
- tracci il diametro orizzontale AB;
- tracci da A e da B i segmenti verticali verso il basso AH e BK,
entrambi unitari.
Il solco continuo e': HA + AB_arco (semicrf. alta) + BK ciao

[Socratis T.n.p.]

Post by Yoda

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Il solco continuo e': HA + AB_arco (semicrf. alta) + BK ciao

Male che vada Devi scavare 1 semisfera r=1m. per cui rimuovi al massimo,
un volume di terra , pari a : (4/3πr^3)/2 = 2.094395102 m^3.
Naturalmente scavi per strati successivi, e magari trovi il tubo con
una sola picconata, che sarebbe la lunghezza minima di Filibustero.
Quindi la risposta è : 1 buco fatto con un ago per cucire.

Io lo risolvo con la T.n.p. in tre secondi, e Tu/Voi ?

Saluti da Socratis T.n.p.

[effe]

Post by Yoda
Mi sbagliero', ma a occhiometro mi sembra impossibile battere il
- tracci il diametro orizzontale AB;
- tracci da A e da B i segmenti verticali verso il basso AH e BK,
entrambi unitari.
Il solco continuo e': HA + AB_arco (semicrf. alta) + BK ciao

Allora ho sbagliato?

[Yoda]

Post by effe

Post by Yoda
Mi sbagliero', ma a occhiometro mi sembra impossibile battere il
- tracci il diametro orizzontale AB;
- tracci da A e da B i segmenti verticali verso il basso AH e BK,
entrambi unitari.
Il solco continuo e': HA + AB_arco (semicrf. alta) + BK ciao

Allora ho sbagliato?

Be' questo non lo so.. ho detto solo una mia impressione, m'avevi
incuriosito con tutte quelle tangenti, solo che non ho capito com'
e' il solco tuo, il segmento FH sembra staccato dal resto ciao

[effe]

Post by Yoda
Be' questo non lo so.. ho detto solo una mia impressione, m'avevi
incuriosito con tutte quelle tangenti, solo che non ho capito com'
e' il solco tuo, il segmento FH sembra staccato dal resto ciao

Il tuo scavo funziona come il mio. In fondo hai mandato due segmenti di
tangente lunghi 1m. Però, se apri la semicirconferenza puoi arrivare più
lontano con la tangente e intercettare meglio il tubo. Il solco
discontinuo era permesso e quindi in qualche modo suggerito. Quello
blocca, da solo, e con un tratto minore, la parte coperta dalla tangente
che parte dal punto D. Ciao

[Yoda]

Post by Yoda

Post by Yoda
Be' questo non lo so.. ho detto solo una mia impressione, m'avevi
incuriosito con tutte quelle tangenti, solo che non ho capito com'
e' il solco tuo, il segmento FH sembra staccato dal resto ciao

-snip-

Post by Yoda
Il solco
discontinuo era permesso e quindi in qualche modo suggerito.

Si', avevo letto male il testo, mi sembrava di no.. va be' allora
come non detto ritiro tutto ciao

[Angelo M.]

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Se sono ammessi scavi discontinui sono ammessi anche scavi puntiformi.
Indico, sul cerchio unitario con centro bandierina, i punti dell'insieme di Cantor.
Faccio uno scavo puntiforme in ogni punto.
Poichè ogni retta che intersechi la circonferenza interseca anche un punto dell'insieme di Cantor, in questo modo sono certo di trovare il tubo.
Ma l'insieme di Cantor ha misura di Lebesgue nulla.
Allora la risposta è : zero.

[El Filibustero]

Post by Angelo M.
Indico, sul cerchio unitario con centro bandierina, i punti dell'insieme di Cantor.
Faccio uno scavo puntiforme in ogni punto.
Poichè ogni retta che intersechi la circonferenza interseca anche un punto
dell'insieme di Cantor

Falso. Ciao

[Angelo M.]

Post by El Filibustero

Post by Angelo M.
Indico, sul cerchio unitario con centro bandierina, i punti dell'insieme di Cantor.
Faccio uno scavo puntiforme in ogni punto.
Poichè ogni retta che intersechi la circonferenza interseca anche un punto
dell'insieme di Cantor

Falso. Ciao

No. Vero
TH: Ogni retta x − y = z, −1 ≤ z ≤ 1, interseca ogni Cn × Cn in
almeno un punto.

[Alberto Rasà]

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

Scusa la domanda, evidentemente ingenua (date le altre risposte): li scavo deve necessariamente partire dalla bandierina? Se no, ogni scavo "puntiforme" fatto sulla circonferenza di raggio 1 attorno alla bandierina va in realtà considerato di lunghezza minima pari al diametro del tubo?

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

Post by Alberto Rasà

Post by El Filibustero
In un campo, una bandierina e' piantata a meno di 1 metro da un tubo
rettilineo interrato. Qual e' la lunghezza minima dello scavo per
trovare il tubo? NB: sono ammessi scavi discontinui. Ciao

li scavo deve necessariamente partire dalla bandierina?

No.

Post by Alberto Rasà
Se no, ogni scavo "puntiforme" fatto sulla circonferenza di raggio 1
attorno alla bandierina va in realtà considerato di lunghezza minima
pari al diametro del tubo?

No. Il giochino va idealizzato come: trovare (se esiste) quella curva
piana di lunghezza minima (magari costituita di al piu' un'infinita'
numerabile di tratti continui) che interseca ogni retta distante meno
di 1 da un punto assegnato. Congettura: non puo' essere meno lunga di
pi. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
No. Il giochino va idealizzato come: trovare (se esiste) quella curva
piana di lunghezza minima (magari costituita di al piu' un'infinita'
numerabile di tratti continui) che interseca ogni retta distante meno
di 1 da un punto assegnato. Congettura: non puo' essere meno lunga di
pi.

Prova della congettura. Come gia' osservato nel vecchio thread, la
projezione ortogonale della curva lungo una qualsiasi direzione non
puo' misurare meno di 2, altrimenti ci sarebbero tubi in quella
direzione che non vengono intersecati dallo scavo.

Discretizziamo la situazione, immaginando la curva di lunghezza "a"
come unione di M segmenti uguali, ciascuno lungo a/M. Anche le
direzioni del piano siano discretizzate, immaginando che ogni segmento
debba giacere sulla direzione che forma l'angolo alpha_k:=k*pi/N con
l'asse x per un qualche k=1..N; sia alpha_k(j) l'angolo della
direzione su cui giace il j-esimo segmento, per j=1..M.

Inoltre, supponiamo che ogni possibile projezione sia ortogonale a una
di queste direzioni, cioe' ci sono solo N projezioni ortogonali P_k
possibili (ad esempio, P_N e' quella sull'asse x).

Ora, poiche' le projezioni di due segmenti possono sovrapporsi, la
projezione della curva in una certa direzione e' non superiore alla
somma delle projezioni in quella direzione dei segmenti che la
compongono:

P_k(curva) <= somma{j=1..M} P_k(j-esimo segmento)
= a/M somma{j=1..M} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|

sommando le misure di tutte le N projezioni della curva, per quanto
detto all'inizio, dovrebbe venire almeno 2N. Risulta:

somma{k=1..N} P_k(curva) <=

somma{k=1..N} a/M somma{j=1..M} |cos(alpha_k - alpha_k(j))| =

scambiando l'ordine delle somme

a/M somma{j=1..M} somma{k=1..N} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|

ma somma{k=1..N} |cos(alpha_k - alpha_k(j))|, indipendentemente da
k(j), e' la somma delle diagonali piu' due lati dell' N-agono regolare
di diametro 1, pari a 1/tan(pi/(2N)), sicche'

somma{k=1..N} P_k(curva) <= 1/tan(pi/(2N)) a/M somma{j=1..M} 1 =

a/tan(pi/(2N)).

Per quanto grande possa essere N, si ha 1/(N tan(pi/(2N))) <= 2/pi
quindi

somma{k=1..N} P_k(curva) <= aN / (N tan(pi/(2N))) <= 2aN/pi

sicche' se fosse a<pi avremmo la somma delle projezioni inferiore a
2N. QED. Ciao

[Elio Fabri]

Post by El Filibustero
No. Il giochino va idealizzato come: trovare (se esiste) quella curva
piana di lunghezza minima (magari costituita di al piu' un'infinita'
numerabile di tratti continui) che interseca ogni retta distante meno
di 1 da un punto assegnato. Congettura: non puo' essere meno lunga di
pi. Ciao

Ho finalmente concluso il lavoro che avevo intapreso su questo problema.
Riassumo velocemente i risultati.

1. Confermo il valore della lunghezza per la curva già nota.
2. Ho trovato un'altra soluzione che se anche di poco migliora quel
minimo: 4.799849375
3. tutto mi porta a crdere che neppure questo sia il minimo, ma io ci
ho lavorato anche troppo...

Chi fosse interessato ai dettagli, li trova (figure incluse) in
http://www.sagredo.eu/varie/curva-min-int.pdf

[Angelo M.]

Post by Elio Fabri

Post by El Filibustero
No. Il giochino va idealizzato come: trovare (se esiste) quella curva
piana di lunghezza minima (magari costituita di al piu' un'infinita'
numerabile di tratti continui) che interseca ogni retta distante meno
di 1 da un punto assegnato. Congettura: non puo' essere meno lunga di
pi. Ciao

Ho finalmente concluso il lavoro che avevo intapreso su questo problema.
Riassumo velocemente i risultati.
1. Confermo il valore della lunghezza per la curva già nota.
2. Ho trovato un'altra soluzione che se anche di poco migliora quel
minimo: 4.799849375
3. tutto mi porta a crdere che neppure questo sia il minimo, ma io ci
ho lavorato anche troppo...
Chi fosse interessato ai dettagli, li trova (figure incluse) in
http://www.sagredo.eu/varie/curva-min-int.pdf
--
Elio Fabri

Scusate se insisto, ma a me sembra che la soluzione sia uno scavo di lunghezza zero.
Se lo scavo non deve essere necessariamente continuo, allora sono ammessi scavi puntiformi.
Effettuo uno scavo puntiforme per ogni punto razionale (che abbia almeno una coordinata razionale) del cerchio.
Poichè nessun segmento di lunghezza finita può avere tutti i punti con coordinate irrazionali (c'è bisogno della dimostrazione di quest'affermazione ?) almeno uno scavo intercetterà il tubo.
I punti razionali del piano sono numerabili e hanno misura di Lebesgue pari a zero.
Da cui la mia risposta

[El Filibustero]

Post by Angelo M.
Scusate se insisto, ma a me sembra che la soluzione sia uno scavo di lunghezza zero.
Se lo scavo non deve essere necessariamente continuo, allora sono ammessi scavi puntiformi.

OK.

Post by Angelo M.
Effettuo uno scavo puntiforme per ogni punto razionale (che abbia almeno una coordinata
razionale) del cerchio.

Quindi uno scavo di lunghezza infinita, dato che ogni corda del
cerchio giacente su una retta del tipo x=razionale o y=razionale viene
completamente scavata, avendo ogni punto di queste corde "almeno una
coordinata razionale".

Forse volevi intendere: ogni punto che ha *una e una sola* coordinata
razionale, ossia {(QxR)U(RxQ)\Q^2} intersezione cerchio. Questo
insieme non contenga scavi di misura lineare>0, ma cio' non lo rende
classificabile come scavo di lunghezza 0, essendo unione *non
numerabile* di parti. Avevo gia' scritto di limitare la categoria
degli scavi alle unioni numerabili di linee continue (e di lunghezza
misurabile, va da se'). Ciao