limite

[lindo]

Quanto vale il limite per x che tende a zero di (ln(1-x)+x)/x^2 ?
Si può calcolare con tecniche "elementari" senza ricorrere agli sviluppi
in serie o a de l'Hopital (che rende la cosa immediata)?
Grazie.

[El Filibustero]

Post by lindo
Quanto vale il limite per x che tende a zero di (ln(1-x)+x)/x^2 ?
Si può calcolare con tecniche "elementari" senza ricorrere agli sviluppi
in serie o a de l'Hopital (che rende la cosa immediata)?

Come succede anche per le funzioni goniometriche, gli sviluppi in
serie possono essere dedotti da considerazioni "elementari" che
bypassano il calcolo differenziale. Comunque, se partiamo dal
presupposto che

lim{x-->0} (exp(x)-1)/x = 1

e' dimostrabile elementarmente, lo e' anche

lim{x-->0} ln(1+x)/x = 1

cambiando il segno di x (importasega, dato che x tende a 0) segue che

lim{x-->0} ln(1-x)/x = -1

sostituendo x con xx (importasega, vedi sopra)

lim{x-->0} ln(1-xx)/(xx) = -1

o sia:

lim{x-->0} [ln(1-x)+ln(1+x)]/(xx) = -1

lim{x-->0} [(ln(1-x)+x) + (ln(1+x)-x)]/(xx) = -1

lim{x-->0} (ln(1-x)+x)/(xx) + lim{x-->0} (ln(1+x)-x)/(xx) = -1

nel secondo limite cambiamo il segno di x e viene come il primo.
Sicche'

2 lim{x-->0} (ln(1-x)+x)/(xx) = -1

Ammesso che esista, il limite richiesto deve essere -1/2. Ciao

[pino mugo]

Post by El Filibustero

Quanto vale il limite per x che tende a zero di (ln(1-x)+x)/x^2 ?
Si può calcolare con tecniche "elementari" senza ricorrere agli sviluppi
in serie o a de l'Hopital (che rende la cosa immediata)?

Come succede anche per le funzioni goniometriche, gli sviluppi in
serie possono essere dedotti da considerazioni "elementari" che
bypassano il calcolo differenziale. Comunque, se partiamo dal
presupposto che
lim{x-->0} (exp(x)-1)/x = 1
e' dimostrabile elementarmente,

come si dimostra?

grazie

[lindo]

Post by El Filibustero
2 lim{x-->0} (ln(1-x)+x)/(xx) = -1
Ammesso che esista, il limite richiesto deve essere -1/2. Ciao

Bello! anche se non ricordavo più di averlo chiesto. :)

[Dourlinski]

Post by lindo

Post by El Filibustero
2 lim{x-->0} (ln(1-x)+x)/(xx) = -1
Ammesso che esista, il limite richiesto deve essere -1/2. Ciao

Bello! anche se non ricordavo più di averlo chiesto. :)

Comunque -- come osservava Enrico Gregorio -- i procedimenti "senza
calcolo differenziale" ci fanno apprezzare quanto comodo sia il
calcolo differenziale. Un altro limite classico "senza calcolo
differenziale" e' quello di

(sin(x)-x)/x^3

per x-->0. Se ne ammettiamo l'esistenza, stabilire che valga 1/6 e' un
semplice trucchetto trigonometrico:

https://groups.google.com/g/it.scienza.matematica/c/4ji6HUGA5QM/m/hnktIoZVds0J

ma dimostrarlo rigorosamente provando -- ad esempio -- il fatto palese
che la funzione data e' limitata e monotona in un intorno di 0 (da cui
si deduce l'esistenza del limite) "senza calcolo differenziale" e'
pesantissimo:

https://groups.google.com/g/it.scienza.matematica/c/dCyS8_Xba7Q/m/TsfxFBqy_jsJ

Ciao