Discussione:
componenti controvarianti e covarianti di un vettore
(troppo vecchio per rispondere)
Michele Ortombina
2021-01-14 13:38:26 UTC
Permalink
Buon giorno a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto per chiarire il seguente problema.

Data la base di R^2: {(3,3),(1,2)}
Data la relativa base duale: {(-x+y),(2/3x-1/3y)}
Dato il vettore: V=(2,5)


Se faccio il prodotto scalare del vettore V con i vettori base di R^2 ottengo le componenti covarianti di V:
<(2,5),(3,3)>=21
<(2,5),(1,2)>=12

Se faccio il prodotto scalare del vettore V con i vettori della base duale ottengo le componenti controvarianti di V:
<(2,5),(-1,1)>=3
<(2,5),(2/3,-1/3)>=-1/3

Come è possibile dimostrare in generale tutto ciò per un qualsiasi vettore V ed una qualunque base di R^2 ??

Ho provato a rappresentare il problema a livello geometrico al seguente link: https://we.tl/t-4cZXzSxa5P

Grazie 1000 a tutti
Gianluca
2021-01-14 16:58:31 UTC
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Post by Michele Ortombina
Buon giorno a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto per chiarire il seguente problema.
Data la base di R^2: {(3,3),(1,2)}
Data la relativa base duale: {(-x+y),(2/3x-1/3y)}
Dato il vettore: V=(2,5)
<(2,5),(3,3)>=21
<(2,5),(1,2)>=12
<(2,5),(-1,1)>=3
<(2,5),(2/3,-1/3)>=-1/3
Come è possibile dimostrare in generale tutto ciò per un qualsiasi vettore V ed una qualunque base di R^2 ??
Ho provato a rappresentare il problema a livello geometrico al seguente link: https://we.tl/t-4cZXzSxa5P
Grazie 1000 a tutti
Per quanto ricordo di cose studiate 1 anno fa: la "dimostrazione" che
chiedi in realtà deriva da come è stata definita la base duale...

Sostanzialmente, dopo aver notato che le componenti di un vettore
ruotato di un angolo alfa, espresse in una base ortogonale, si
trasformano in modo controvariante rispetto a come si trasformano le
componenti di una base ruotata di alfa rispetto alla prima, ci si
chiede: nel caso di basi non ortogonali si può trovare una base per la
quale siano ancora valide le relazioni "controvariante-covariante"?

Si scopre che ciò accade se la base duale si costruisce nel modo che hai
seguito (la nuova base e1 ortogonale alla vecchia e2, ecc.).

La determinazione dei componenti covarianti e controvarianti come
prodotti scalari della base e della duale sono la conseguenza.


Gianluca
Yoda
2021-01-15 09:14:52 UTC
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Post by Michele Ortombina
Data la base di R^2: {(3,3),(1,2)}
Data la relativa base duale: {(-x+y),(2/3x-1/3y)}
Dato il vettore: V=(2,5)
Mi sa che hai scambiato gli indici della base duale.. ma controlla
perche' non l'ho fatto per scritto.
Post by Michele Ortombina
Se faccio il prodotto scalare del vettore V con i vettori base di
<(2,5),(3,3)>=21
<(2,5),(1,2)>=12
Se faccio il prodotto scalare del vettore V con i vettori della
<(2,5),(-1,1)>=3
<(2,5),(2/3,-1/3)>=-1/3
Come è possibile dimostrare in generale tutto ciò per un
qualsiasi vettore V ed una qualunque base di R^2 ??
Ma dimostrare cosa? hai solo applicato definizioni mi sembra ciao
--
Yoda
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