Aiuto per un limite quasi risolto

[d***@hotmail.com]

Qualcuno sa risolvere questo limite?


lim (senx/x)^(1/x^2)
x->0

<<Limite di x che tende a zero di seno di x fratto x, tutto elevato
alla 1 su x quadro>>

Questi sono i passaggi che ho fatto fin'ora:

(senx/x)^(1/x^2)=e^[(1/x^2) * ln(senx/x)]

<<e (numero di nepero) elevato alla 1 su x quadro per logaritmo
naturale di seno di x su x>>

poi sommando e sottraendo 1 all'interno dell'argomento del logaritmo;
e moltiplicando e dividendo tutto per senx/x -1
si ottiene:

lim ln (senx/x -1 +1) 1
x->0 ----------------- * (senx/x - 1) * ---
senx/x -1 x^2


scomponendo il prodotto in 2 limiti abbiamo:



lim ln (senx/x -1 +1) lim
1
x->0 ----------------- * x->0 (senx/x - 1) * --
senx/x -1
x^2



lim ln (senx/x -1 +1)
x->0 ----------------- = 1 (limite notevole)
senx/x -1


quindi rimane da calcolare:


lim 1
x->0 (senx/x - 1) * -- che è nella forma indeterminata
0*infinito..
x^2

come si risolve??

Grazie!!

[cometa luminosa]

On 28 Gen, 12:49, ***@hotmail.com wrote:
[...]

lim (x-->0) di (senx/x - 1)/x^2 = lim (x-->0) di (senx - x)/x^3.

Quest'ultimo è un limite notevole, fa -1/6.

Puoi verificarlo con l'Hopital o con il metodo degli infinitesimi,
usando lo sviluppo di senx:

senx = x - x^3/6 + x^5/5! +...+ (-1)^(2n+1)[x^(2n+1)]/(2n+1)! +...

prendo i primi 2 termini: senx = x - x^3/6 + o(x^3)

sostituisco nel limite:

lim (x-->0) di (senx - x)/x^3 =

= lim (x-->0) di ( x - x^3/6 + o(x^3) - x)/x^3 =

= lim (x-->0) di (-1/6 + o(1)) = -1/6.

Perciò il tuo limite iniziale fa e^(-1/6).