Proprietà dell'insieme W

[Angelo M.]

Si consideri, nell'intervallo 0-1, l'insieme W dei punti che, rappresentati in base dieci, non contengono le cifre 2, 4, 6, 8.

Quali delle affermazioni seguenti sono vere?

1 - L'insieme W è non numerabile
2 - Ha misura di Lebesgue zero
3 - E' compatto.
4 -Nell'intorno di ogni punto dell'insieme W ci sono sia punti contenuti nell'insieme che punti contenuti nel suo complementare. Ne segue che ogni punto dell'insieme è punto di accumulazione.
5 - W è perfetto.
6 - W è totalmente disconnesso.
7 - Ogni spazio metrico compatto è l'immagine continua dell'insieme W.

Grazie

[Massimo Grazzini]

Post by Angelo M.
Si consideri, nell'intervallo 0-1, l'insieme W dei punti che, rappresentati in base dieci, non contengono le cifre 2, 4, 6, 8.
Quali delle affermazioni seguenti sono vere?
1 - L'insieme W è non numerabile
2 - Ha misura di Lebesgue zero
3 - E' compatto.
4 -Nell'intorno di ogni punto dell'insieme W ci sono sia punti contenuti nell'insieme che punti contenuti nel suo complementare. Ne segue che ogni punto dell'insieme è punto di accumulazione.
5 - W è perfetto.
6 - W è totalmente disconnesso.
7 - Ogni spazio metrico compatto è l'immagine continua dell'insieme W.
Grazie

La 1 è vera di sicuro (contiene tutti i decimali con 0 e 1, che, in base 2, permettono di rappresentare tutti i numeri di [0; 1]).
La 2 direi che è falsa... direi che è misurabile e che ha misura non nulla. E più non dimandare :-)
La 3 è sicuramente falsa: W infatti non è chiuso. Per convincersene si consideri la sequenza a valori in W (0,79; 0,799; 0,7999; 0,79999...), che chiaramente converge a 0,8; il limite tuttavia non appartiene a W.
La 4 è vera. Fissato e > 0 e x in W, basta cambiare con 8 la sua k-esima cifra decimale con k tale che 10^(-k) < e/10.
5... che vuol dire perfetto?
6 vera, perché W non include alcun intervallo (vedere la 4).


.

[Angelo M.]

Post by Massimo Grazzini
La 3 è sicuramente falsa: W infatti non è chiuso. Per convincersene si consideri la sequenza a valori in W (0,79; 0,799; 0,7999; 0,79999...), che chiaramente converge a 0,8; il limite tuttavia non appartiene a W.

Ho dei dubbi, su questo punto. L'insieme W è non numerabile ed ha misura di Lebesgue zero. Il suo complementare è unione di segmenti aperti, quindi è un aperto: quindi l'insieme W è un sottoinsieme chiuso dell'intervallo. Poiché l'intervallo è compatto, anche l'insieme W è compatto. Così mi parrebbe.

[El Filibustero]

Post by Angelo M.
L'insieme W è non numerabile ed ha misura di Lebesgue zero.
Il suo complementare è unione di segmenti aperti,

il complementare di W non contiene alcun segmento aperto, dato che W
e' denso in [0,1]. Ciao

[Massimo Grazzini]

Post by El Filibustero
il complementare di W non contiene alcun segmento aperto, dato che W
e' denso in [0,1].

Questa non mi torna...

[El Filibustero]

Post by Massimo Grazzini

Post by El Filibustero
il complementare di W non contiene alcun segmento aperto, dato che W
e' denso in [0,1].

Questa non mi torna...

Ooops, giusto. Pensavo a qualcos'altro. Ciao

[Massimo Grazzini]

Post by Massimo Grazzini
La 3 è sicuramente falsa: W infatti non è chiuso. Per convincersene si consideri la sequenza a valori in W (0,79; 0,799; 0,7999; 0,79999...),
che chiaramente converge a 0,8; il limite tuttavia non appartiene a W.

Ho dei dubbi, su questo punto. L'insieme W è non numerabile ed ha misura di Lebesgue zero. Il suo complementare è unione di segmenti aperti,
quindi è un aperto: quindi l'insieme W è un sottoinsieme chiuso dell'intervallo. Poiché l'intervallo è compatto, anche l'insieme W è compatto. Così mi parrebbe.

Le componenti connesse del complementare di W sono intervalli chiusi a sinistra. In particolare sono intervalli del tipo
[0,q_1q_2...q_k R; 0,q_1q_2...q_k (R+1)[, per certi q_1,q_1, q_2,..., q_k appartenenti a {0; 1; 3; 5; 7; 9} e R appartenente a {2; 4; 6; 8}.

[Massimo Grazzini]

Post by Angelo M.
Si consideri, nell'intervallo 0-1, l'insieme W dei punti che, rappresentati in base dieci, non contengono le cifre 2, 4, 6, 8.
Quali delle affermazioni seguenti sono vere?
1 - L'insieme W è non numerabile
2 - Ha misura di Lebesgue zero
3 - E' compatto.
4 -Nell'intorno di ogni punto dell'insieme W ci sono sia punti contenuti nell'insieme che punti contenuti nel suo complementare. Ne segue che ogni punto dell'insieme è punto di accumulazione.
5 - W è perfetto.
6 - W è totalmente disconnesso.
7 - Ogni spazio metrico compatto è l'immagine continua dell'insieme W.

Insieme perfetto <--> chiuso e privo di punti isolati. Ma W si è detto che non è chiuso.

[Massimo Grazzini]

Errata corrige. In realtà W ha misura nulla, cioè la 2 è vera.

Sia Y il suo complementare in [0; 1]. Y include gli intervalli [0,2; 0,3[, [0,4; 0,5[, [0,6; 0,7[, [0,8; 0,9[ e dunque, se misurabile, la sua misura è almeno 4/10.
Per ogni q_1 in G = {0; 1; 3; 5; 7; 9}, Y include gli intervalli [0,q_12; 0,q_13[, [0,q_14; 0,q_15[, [0,q_16; 0,q_17[, [0,q_18; 0,q_19[ e dunque la sua misura è almeno
4/10 + 6*4/100.
Per ogni q_1, q_2 in G = {0; 1; 3; 5; 7; 9}, Y include gli intervalli [0,q_1q_22; 0,q_1q_23[, [0,q_1q_24; 0,q_1q_25[, [0,q_1q_26; 0,q_1q_27[, [0,q_1q_28; 0,q_1q_29[ e dunque la sua misura è almeno
4/10 + 6*4/100 + 6^2*4/1000

Procedendo in questa maniera si vede che Y è dato dall'unione di una quantità numerabile di intervalli e dunque è misurabile secondo Lebesgue.
Ma se Y è misurabile lo è anche W. Inoltre la misura di Y vale:

4* sum(k= 0 --> infty) 6^k/10^(k+1) = 4/10 * sum(k= 0 --> infty) (3/5)^k = 4/10 * lim_(k --> infty) [1 - (3/5)^(k+1)]/(1 - 3/5) =
= 4/10 * 5/2 = 1.
Segue che la misura di W è nulla.

Post by Angelo M.
Si consideri, nell'intervallo 0-1, l'insieme W dei punti che, rappresentati in base dieci, non contengono le cifre 2, 4, 6, 8.
Quali delle affermazioni seguenti sono vere?
1 - L'insieme W è non numerabile
2 - Ha misura di Lebesgue zero
3 - E' compatto.
4 -Nell'intorno di ogni punto dell'insieme W ci sono sia punti contenuti nell'insieme che punti contenuti nel suo complementare. Ne segue che ogni punto dell'insieme è punto di accumulazione.
5 - W è perfetto.
6 - W è totalmente disconnesso.
7 - Ogni spazio metrico compatto è l'immagine continua dell'insieme W.
Grazie