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curl, div
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ngs
2018-10-30 12:36:21 UTC
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Perché quasi(?) tutti sostengono che le espressioni /grad . F/ e /grad x
F/ siano soltanto un modo per ricordarsi le formule di div a curl?
A me pare che siano molto più di questo:
div misura il grado di parallelismo tra spostamento e deltaF
curl misura la perpendicolarità (con segno) tra spostamento e deltaF
Si tratta di medie. Per confermare la mia intuizione, ho provato a
calcolare direttamente quanto ho detto.

Per il div si ha:
(JF v) . v
In effetti
(JF e_1) . e_1 + (JF e_2) . e_2 + (JF e_3) . e_3 =
tr(JF) = grad . F
Questa è una sorta di media senza normalizzazione dove si considerano le
3 direzioni e_1, e_2 ed e_3.

Lo stesso vale per il curl:
(JF v) x v
Per v = e_1 abbiamo il determinante di
[i j k; @F_x/@x @F_y/@x @F_z/@x; 1 0 0]
che è equivalente al determinante di
[i j k; F_x F_y F_z; @/@x 0 0]
Se ora sommiamo i determinanti per e_1, e_2 ed e_3, per multilinearità
del determinante, otteniamo il determinante di
[i j k; F_x F_y F_z; @/@x @/@y @/@z]
che è quasi la def. del curl. Evidentemente l'esatta def. del curl si
ottiene considerando
v x (JF v)
ma la sostanza non cambia.

Kiuhnm
Pangloss
2018-10-30 15:00:08 UTC
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Post by ngs
Perché quasi(?) tutti sostengono che le espressioni /grad . F/ e /grad x
F/ siano soltanto un modo per ricordarsi le formule di div a curl?
Mi pare che con /grad tu stia denotando l'operatore differenziale americanamente
chiamato /nabla, spesso usato per scrivere in modo alternativo gli operatori
differenziali gradiente, divergenza e rotore (curl).

La notazione /nabla implica l'uso di coordinate cartesiane ortogonali.
Negli spazi euclidei tale notazione puo' essere analiticamente comoda, pero'
male si presta a chiarire il significato degli operatori grad, div e curl .

Questi tre operatori possono essere opportunamente definiti nelle varieta'
differenziali metriche (spazi di Riemann) tramite l'operatore di derivazione
(nella connessione di Levi-Civita). IMHO solo in questo ambito si puo'
arrivare a comprendere il significato "profondo" di grad, div e curl, ossia il
significato "intrinseco" di tali operatori differenziali, indipendente dal
sistema di coordinate (curvilinee) usato.

Cosi' ad esempio l'operatore div associa un campo scalare ad un campo vettoriale
assegnato, sfruttando il suo andamento "locale" (ossia usando la derivazione).
Sospetto addirittura che div sia l'unico operatore differenziale invariante di
questo tipo possibile (congettura di Pangloss).
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Giorgio Bibbiani
2018-10-30 15:22:45 UTC
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Il 30/10/2018 16.00, Pangloss ha scritto:
...
Post by Pangloss
Cosi' ad esempio l'operatore div associa un campo scalare ad un campo
vettoriale assegnato, sfruttando il suo andamento "locale" (ossia
usando la derivazione). Sospetto addirittura che div sia l'unico
operatore differenziale invariante di questo tipo possibile
(congettura di Pangloss).
Forse non ho ben capito quali condizioni imponi
sull'"operatore differenziale invariante", ma
banalmente non si può applicare a sinistra
dell'operatore div, n volte l'operatore
dalembertiano, per ottenere allora altri n
distinti "operatori differenziali invarianti"?

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Pangloss
2018-10-30 17:26:20 UTC
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Post by Giorgio Bibbiani
...
Post by Pangloss
Cosi' ad esempio l'operatore div associa un campo scalare ad un campo
vettoriale assegnato, sfruttando il suo andamento "locale" (ossia
usando la derivazione). Sospetto addirittura che div sia l'unico
operatore differenziale invariante di questo tipo possibile
(congettura di Pangloss).
Forse non ho ben capito quali condizioni imponi
sull'"operatore differenziale invariante", ma
banalmente non si può applicare a sinistra
dell'operatore div, n volte l'operatore
dalembertiano, per ottenere allora altri n
distinti "operatori differenziali invarianti"?
Suppongo che tu intendessi dire operatore "laplaciano" e non "dalambertiano".

Si' certo, sono stato frettoloso ed impreciso.
Il laplaciano div grad e' un operatore differenziale di secondo ordine),
che associa ad un campo scalare un altro campo scalare in modo intrinseco.
Del resto anche associando ad un campo vettoriale il suo modulo-quadro scalare
si ottiene un'applicazione intrinseca (differenziale di ordine zero!).

Dovevo precisare che la mia congettura riguarda gli operatori differenziali di
primo ordine. Comunque si tratta solo di un azzardo, basato sulla definizione
dell'operatore di derivazione e della divergenza nelle varieta' differenziali.
Non sono affatto sicuro che la mia congettura di unicita' sia corretta, magari
e' solo uno strafalcione. Controesempi sono graditi!
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Giorgio Bibbiani
2018-10-30 17:51:26 UTC
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Post by Pangloss
Suppongo che tu intendessi dire operatore "laplaciano" e non
"dalambertiano".
Può andare bene anche dalembertiano, dipende dallo spazio
su cui sono definiti quegli operatori.
Post by Pangloss
Si' certo, sono stato frettoloso ed impreciso. Il laplaciano div
grad e' un operatore differenziale di secondo ordine), che associa
ad un campo scalare un altro campo scalare in modo intrinseco. Del
resto anche associando ad un campo vettoriale il suo modulo-quadro
scalare si ottiene un'applicazione intrinseca (differenziale di
ordine zero!).
Dovevo precisare che la mia congettura riguarda gli operatori
differenziali di primo ordine. Comunque si tratta solo di un azzardo,
basato sulla definizione dell'operatore di derivazione e della
divergenza nelle varieta' differenziali. Non sono affatto sicuro che
la mia congettura di unicita' sia corretta, magari e' solo uno
strafalcione. Controesempi sono graditi!
Mi verrebbe da pensare: sia u un campo vettoriale assegnato
e v quello su cui operare, allora g(u, v) = <u, v> è uno
scalare, consideriamo la derivata di g lungo u, @g(u, v)/@u,
questo esempio soddisfa a quanto richiesto?

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
ngs
2018-10-30 16:48:29 UTC
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Post by Pangloss
Post by ngs
Perché quasi(?) tutti sostengono che le espressioni /grad . F/ e /grad x
F/ siano soltanto un modo per ricordarsi le formule di div a curl?
Mi pare che con /grad tu stia denotando l'operatore differenziale americanamente
chiamato /nabla, spesso usato per scrivere in modo alternativo gli operatori
differenziali gradiente, divergenza e rotore (curl).
La notazione /nabla implica l'uso di coordinate cartesiane ortogonali.
Negli spazi euclidei tale notazione puo' essere analiticamente comoda, pero'
male si presta a chiarire il significato degli operatori grad, div e curl .
Questi tre operatori possono essere opportunamente definiti nelle varieta'
differenziali metriche (spazi di Riemann) tramite l'operatore di derivazione
(nella connessione di Levi-Civita). IMHO solo in questo ambito si puo'
arrivare a comprendere il significato "profondo" di grad, div e curl, ossia il
significato "intrinseco" di tali operatori differenziali, indipendente dal
sistema di coordinate (curvilinee) usato.
Capisco che esista tutto l'apparato della geometria differenziale e
infatti sto studiando le forme differenziali, però il significato di
grad, div e curl mi pare molto semplice. In generale si studia la
matrice Jacobiana e div e curl sono particolari funzioni della
Jacobiana. Se fossimo in statistica sarebbero "statistiche" come la
media e la varianza.

Kiuhnm
ngs
2018-10-30 17:35:51 UTC
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Post by Pangloss
Questi tre operatori possono essere opportunamente definiti nelle varieta'
differenziali metriche (spazi di Riemann) tramite l'operatore di derivazione
(nella connessione di Levi-Civita). IMHO solo in questo ambito si puo'
arrivare a comprendere il significato "profondo" di grad, div e curl, ossia il
significato "intrinseco" di tali operatori differenziali, indipendente dal
sistema di coordinate (curvilinee) usato.
Vorrei aggiungere che definire intrinsecamente e generalizzare sono due
cose diverse. Per es. dai un'occhiata al libro "Geometrical Vectors" di
Weinreich che definisce ben 4 tipi di vettori. Le sue definizioni sono
intrinseche, ma non generali.
Inoltre esistono così tanti modi per fare geometria differenziale che
leggendo certe discussioni mi sembra di assistere alle guerre tra
linguaggi di programmazione. I linguaggi (general purpose) sono
chiaramente tutti Turing completi, ma la differenza a livello
d'espressività c'è.

Kiuhnm
Pangloss
2018-10-31 08:49:32 UTC
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Post by ngs
Vorrei aggiungere che definire intrinsecamente e generalizzare sono due
cose diverse. Per es. dai un'occhiata al libro "Geometrical Vectors" di
Weinreich che definisce ben 4 tipi di vettori. Le sue definizioni sono
intrinseche, ma non generali.
Di questo libro ho trovato una recensione della Mathematical Association of America.
L'autore e' un fisico, intento a costruire una sua originale proposta didattica.
La recensione MAA si conclude testualmente come segue:

"This book is lots of fun. Any math book with a section entitled “Hermaphrodite
Sense Gender of the Bases” is bound to be at least interesting. This one is both
interesting and illuminating. I probably won’t adopt Weinreich’s language anytime
soon, but I’m glad I’ve read his book."

Anch'io probabilmente non adottero' mai la terminologia di Weinreich, ma sarei curioso
di sapere cosa tale autore intenda per "4 tipi di vettori".
Per un matematico gli spazi vettoriali sono strutture algebriche costituite da un
gruppo e da un corpo, correlati da opportune operazioni. Gli elementi del gruppo
sono detti "vettori", quelli del corpo sono detti "scalari".
Comunque se lo scopo del thread e' quello di discutere il significato degli operatori
differenziali, stiamo andando OT... :(
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
ngs
2018-10-31 12:30:23 UTC
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Post by Pangloss
Anch'io probabilmente non adottero' mai la terminologia di Weinreich, ma sarei curioso
di sapere cosa tale autore intenda per "4 tipi di vettori".
Sono oggetti di tipo diverso. Per es. il prodotto scalare è definito tra
vettori del primo e del secondo tipo, ma non tra vettori dello stesso
tipo. Tutto questo viene fatto per rendere le definizioni intrinseche.
In altre parole, se due oggetti si devono trasformare in modo diverso
nei cambi di coordinate affinché certe proprietà importanti rimangano
invariate, allora la soluzione più semplice è di dire che tali vettori
siano di tipo diverso.
Per es. si dice sempre che il gradiente non è un vettore semplicemente
perché se così fosse non sarebbe indipendente dalle coordinate.
L'idea alla base del calcolo tensoriale è la stessa.
Esistono veramente molti modi di risolvere certi problemi di base come
l'invarianza dalle coordinate. Poi di solito vince un approccio e lo si
tramanda alle nuove generazioni come se fosse l'unico possibile.

Kiuhnm

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