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Derivata direzionale
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pino mugo
2021-01-11 10:59:14 UTC
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Come mai per la seguente funzione f(x,y)

(x^(2))/(x^(2)+y^(2))

non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero , la funzione è costante.

Grazie
Francesca Calafimi
2021-01-12 23:03:27 UTC
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Post by pino mugo
Come mai per la seguente funzione f(x,y)
(x^(2))/(x^(2)+y^(2))
non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero , la funzione è costante.
Grazie
Utilizza il rapporto incrementale:

( (0+t)^2 / (0+t)^2 ) / t

( (t)^2 / (t)^2 )* 1/ t

( t / t^2 )

$( 1/ t ) $

se t tende a 0 da destra , la derivata vale +inf
se t tende a 0 da sinistra , la derivata vale -inf
Elio Fabri
2021-01-13 15:34:29 UTC
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Il giorno lunedì 11 gennaio 2021 alle 11:59:16 UTC+1
Post by pino mugo
Come mai per la seguente funzione f(x,y)
(x^(2))/(x^(2)+y^(2))
non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero, la funzione è costante.
Grazie
( (0+t)^2 / (0+t)^2 ) / t
( (t)^2 / (t)^2 )* 1/ t
( t / t^2 )
$( 1/ t ) $
se t tende a 0 da destra, la derivata vale +inf
se t tende a 0 da sinistra, la derivata vale -inf
Al post dell'OP non avrei risposto, ma ora ti ci metti anche tu ad
aumentare il casino, e urge fare pulizia.

Cominciamo con la scrittura.

Se è pericoloso e non di rado errato omettere le parentesi necessarie
per interpretare un'espressione, anche inserire parentesi inutili non
è meno dannoso, quanto meno per la leggibilità di un'espressione.
La formula scritta dall'OP si può (si deve) molto meglio scrivere
cancellando parecchie parentesi:

x^2/(x^2 + y^2).

Le parentesi sono necessarie attorno al denominatore, perché senza
parentesi la divisione "/" avrebbe precedenza sull'addizione
"x^2 + y^2".
Prego anche notare quanto si guadagna in leggibilità inserendo due
spazi attorno al "+".

La successiva osservazione è stravecchia, ma sembra sempre necessaria.
Scrivere "la funzione f(x,y)" seguita da un'espressione algebrica *è
sbagliato*.
Questa è la regola nella matematica liceale, dove molti libri dopo
aver dato all'inizio una definizione di funzione tutta diversa, se ne
dimenticano appena girata la pagina, e intendono che una funzione sia
definita dalla sua espressione, senza occuparsi del dominio se non a
posteriori.
Ma qui l'errore è imperdonabile, perché l'argomento (derivata
direzionale di una funzione di due variabili) *non è liceale* ma
universitario.

Nessun corso universitario, che io sappia, segue l'uso liceale.
Le funzioni tra due insiemi vengono definite assegnando *nell'ordine*
1) il dominio
2) il codominio
3) la legge di corrispondenza; nel nostro caso, di funxioni R^2 --> R,
il modo come si calcola il valore della funzione per ogni coppia (x,y)
del dominio.

Può darsi che basti una formula (algebrica o altro); oppure un
algoritmo.
Ma può anche darsi che nel dominio ci siano punti particolari o
sottoinsiemi in cui la formula non funziona, e ciononostante si vuol
definire la funzione.
In tal caso occorre dare una definizione a parte.

Si potrebbe decidere invece di escludere dal dominio i punti
eccezionali, dove la formula non si può applicare; ma vedremo che nel
nostro caso questo *non si può fare*, visto il quesito.

Esaminiamo la formula. In quali punti di R^2 non la si può applicare?
La risposta è semplice: il solo ostacolo è la presenza di una
divisione, e si sa che la divisione *non è definita* quando il
divisore si annulla (e solo in questo caso).
Qual è il divisore? E' "x^2 + y^2".
Per quali (x,y) si annulla? Solo in (0,0).

Quindi *non si può* inserire nel dominio questo punto, e poi definire
la funzione con quella formula.
Le soluzioni sono due:
a) escludere (0,0) dal dominio
b) dare in (0,0) una diversa definizione del valore di f.
Sulla b) si noti che in generale non ci sarebbero vincoli per il valore
da dare: qualunque numero reale andrebbe bene, per es. 2. Però ...
v. fra poco.
La soluzione a) invece non è applicabile, perché il quesito impone che
(0,0) faccia parte del dominio, visto che si chiede di calcolare
derivate proprio in quel punto.
Per definizione di derivata il punto in cui si calcola la derivata
*deve appartenere al dominio della funzione* perché il rapporto
incrementale contiene f(0,0) nella sua definizione.

Di nuovo la definizione di derivata non ci lascia liberi di definire
f(0,0) come ci pare. Vediamo meglio.

Ma prima faccio una deviazione.
L'OP scrive
Come mai per la seguente funzione [...] non esiste la derivata nel
punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Io chiederei chi gli ha detto che quella derivata non esiste.
Invece Francesca pasticcia ulteriormente, scrivendo un'espressione che
*non è* il rapporto incrementale!

Vediamo di fare il discorso pulito.
Per calcolare le derivate direzionali bisogna ragionare non su f(x)
ma sulle sue *restrizioni* risp. all'asse x e all'asse y:
g: R --> R, x |--> g(x) = f(x,0)
h: R --> R, y |--> h(y) = f(0,y).
Bisogna poi calcolare dg/dx per x=0 e dh/dy per y=0.

Partendo dalla formula, avremmo g(x) = f(x,0) = x^2/x^2 = 1.
Però attenzione: questo va bene per qualunque x ma non per x=0, dove
f(x,0) assume la forma indeterminata 0/0.
Potremmo cavarcela definendo f(0,0) = 1 e otterremmo g(x) = 1 su tutto
R, e poi dg/dx = 0.

Passiamo a h(y). Abbiamo h(y) = f(0,y) = 0/y^2 = 0; ma di nuovo questa
non definisce h(0) per la solita ragione: f(0,0) diventa 0/0.
Anche qui possiamo cavarcela, definendo f(0,0) = 0, che ci darebbe
h(y) = 0 per qualunque y, e quindi dh/dx = 0.

Il problema è che le due soluzioni sono incompatibili:
- se definiamo f(0,0) = 1, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo x, ma non quella lungo y
- se definiamo f(0,0) = 0, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo y, ma non quella lungo x.
Non possiamo mai avere le due derivate insieme.
Se poi ci venisse il capriccio di porre f(0,0) = 2 o qualsiasi altro
valore diverso da 0 e da 1, nessuna delle due derivate sarebbe
definita.

Questa è la risposta al quesito, e non quella riferita dall'OP e
"dimostrata" da Francesca.
--
Elio Fabri
pino mugo
2021-01-13 19:14:24 UTC
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Post by Elio Fabri
Il giorno lunedì 11 gennaio 2021 alle 11:59:16 UTC+1
Post by pino mugo
Come mai per la seguente funzione f(x,y)
(x^(2))/(x^(2)+y^(2))
non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero, la funzione è costante.
Grazie
( (0+t)^2 / (0+t)^2 ) / t
( (t)^2 / (t)^2 )* 1/ t
( t / t^2 )
$( 1/ t ) $
se t tende a 0 da destra, la derivata vale +inf
se t tende a 0 da sinistra, la derivata vale -inf
Al post dell'OP non avrei risposto, ma ora ti ci metti anche tu ad
aumentare il casino, e urge fare pulizia.
Cominciamo con la scrittura.
Se è pericoloso e non di rado errato omettere le parentesi necessarie
per interpretare un'espressione, anche inserire parentesi inutili non
è meno dannoso, quanto meno per la leggibilità di un'espressione.
La formula scritta dall'OP si può (si deve) molto meglio scrivere
x^2/(x^2 + y^2).
Le parentesi sono necessarie attorno al denominatore, perché senza
parentesi la divisione "/" avrebbe precedenza sull'addizione
"x^2 + y^2".
Prego anche notare quanto si guadagna in leggibilità inserendo due
spazi attorno al "+".
La successiva osservazione è stravecchia, ma sembra sempre necessaria.
Scrivere "la funzione f(x,y)" seguita da un'espressione algebrica *è
sbagliato*.
Questa è la regola nella matematica liceale, dove molti libri dopo
aver dato all'inizio una definizione di funzione tutta diversa, se ne
dimenticano appena girata la pagina, e intendono che una funzione sia
definita dalla sua espressione, senza occuparsi del dominio se non a
posteriori.
Ma qui l'errore è imperdonabile, perché l'argomento (derivata
direzionale di una funzione di due variabili) *non è liceale* ma
universitario.
Nessun corso universitario, che io sappia, segue l'uso liceale.
Le funzioni tra due insiemi vengono definite assegnando *nell'ordine*
1) il dominio
2) il codominio
3) la legge di corrispondenza; nel nostro caso, di funxioni R^2 --> R,
il modo come si calcola il valore della funzione per ogni coppia (x,y)
del dominio.
Può darsi che basti una formula (algebrica o altro); oppure un
algoritmo.
Ma può anche darsi che nel dominio ci siano punti particolari o
sottoinsiemi in cui la formula non funziona, e ciononostante si vuol
definire la funzione.
In tal caso occorre dare una definizione a parte.
Si potrebbe decidere invece di escludere dal dominio i punti
eccezionali, dove la formula non si può applicare; ma vedremo che nel
nostro caso questo *non si può fare*, visto il quesito.
Esaminiamo la formula. In quali punti di R^2 non la si può applicare?
La risposta è semplice: il solo ostacolo è la presenza di una
divisione, e si sa che la divisione *non è definita* quando il
divisore si annulla (e solo in questo caso).
Qual è il divisore? E' "x^2 + y^2".
Per quali (x,y) si annulla? Solo in (0,0).
Quindi *non si può* inserire nel dominio questo punto, e poi definire
la funzione con quella formula.
a) escludere (0,0) dal dominio
b) dare in (0,0) una diversa definizione del valore di f.
Sulla b) si noti che in generale non ci sarebbero vincoli per il valore
da dare: qualunque numero reale andrebbe bene, per es. 2. Però ...
v. fra poco.
La soluzione a) invece non è applicabile, perché il quesito impone che
(0,0) faccia parte del dominio, visto che si chiede di calcolare
derivate proprio in quel punto.
Per definizione di derivata il punto in cui si calcola la derivata
*deve appartenere al dominio della funzione* perché il rapporto
incrementale contiene f(0,0) nella sua definizione.
Di nuovo la definizione di derivata non ci lascia liberi di definire
f(0,0) come ci pare. Vediamo meglio.
Ma prima faccio una deviazione.
L'OP scrive
Come mai per la seguente funzione [...] non esiste la derivata nel
punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Io chiederei chi gli ha detto che quella derivata non esiste.
Invece Francesca pasticcia ulteriormente, scrivendo un'espressione che
*non è* il rapporto incrementale!
Vediamo di fare il discorso pulito.
Per calcolare le derivate direzionali bisogna ragionare non su f(x)
g: R --> R, x |--> g(x) = f(x,0)
h: R --> R, y |--> h(y) = f(0,y).
Bisogna poi calcolare dg/dx per x=0 e dh/dy per y=0.
Partendo dalla formula, avremmo g(x) = f(x,0) = x^2/x^2 = 1.
Però attenzione: questo va bene per qualunque x ma non per x=0, dove
f(x,0) assume la forma indeterminata 0/0.
Potremmo cavarcela definendo f(0,0) = 1 e otterremmo g(x) = 1 su tutto
R, e poi dg/dx = 0.
Passiamo a h(y). Abbiamo h(y) = f(0,y) = 0/y^2 = 0; ma di nuovo questa
non definisce h(0) per la solita ragione: f(0,0) diventa 0/0.
Anche qui possiamo cavarcela, definendo f(0,0) = 0, che ci darebbe
h(y) = 0 per qualunque y, e quindi dh/dx = 0.
- se definiamo f(0,0) = 1, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo x, ma non quella lungo y
- se definiamo f(0,0) = 0, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo y, ma non quella lungo x.
Non possiamo mai avere le due derivate insieme.
Se poi ci venisse il capriccio di porre f(0,0) = 2 o qualsiasi altro
valore diverso da 0 e da 1, nessuna delle due derivate sarebbe
definita.
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
C'è proprio scritto esplicitamente ( se ho inteso bene) che la Derivata nella direzione e2 vale 0 nell'origine, mentre nella direzione e1 non esiste.

L'esercizio è tratto dal libro Analisi1 - Pagani Salsa, capitolo 7 , funzioni da R^n in R , pag 314 , esempio 1.1
Ho l'edizione seconda , del 2015 , ma credo che l'esempio sia rimasto.

qui la foto della pagina. https://files.fm/u/k6w4kk2by
pino mugo
2021-01-13 19:30:21 UTC
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qui si legge più nitido:

https://files.fm/u/a9sfnvuks
Alberto Rasà
2021-01-18 11:08:19 UTC
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Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.

--
Wakinian Tanka
pino mugo
2021-01-18 19:56:57 UTC
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Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.
--
Wakinian Tanka
vaffanculo stronzo
frank fart
2021-01-31 18:46:00 UTC
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Il giorno lunedì 18 gennaio 2021 alle 12:08:20 UTC+1
Il giorno mercoledì 13 gennaio 2021 alle 20:14:26 UTC+1
Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai
perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai
nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.
--
Wakinian Tanka
vaffanculo stronzo
HAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHA!!!!!!!!!!!!!!!
Francesca Calafimi
2021-01-29 23:49:55 UTC
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Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.
che quindi non conta nulla
Alberto Rasà
2021-01-30 15:57:57 UTC
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Post by Francesca Calafimi
Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.
che quindi non conta nulla
Quindi se avessi scritto che invece è una mia opinione professionale, contava?
Allora, per te, è una mia opinione professionale.

--
Alberto Rasà
gianna gianna
2021-02-08 01:33:37 UTC
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Post by Alberto Rasà
Post by Francesca Calafimi
Post by Alberto Rasà
Post by pino mugo
Grazie dell'intervento.
avevo dimenticato di dire che l'esercizio definiva f(x,y) = 0 nel punto ( 0,0).
Questo, *assieme alla tua domanda iniziale* mi fa dedurre che stai perdendo tempo: inutile tentare di studiare Analisi 2 se non hai nemmeno le basi di scuola media superiore.
E' una mia personale opinione, naturalmente.
che quindi non conta nulla
Quindi se avessi scritto che invece è una mia opinione professionale, contava?
Allora, per te, è una mia opinione professionale.
Solo i9^3+i11^3, produce 2'060-Litri.kg.
Solo (9dm)^3 + (11dm)^3==2'060dm^3.
Ora sapete che; 1dm^3 ====1.litro=1kg.

La cosa più importante è : Sapere che il prodotto di due termini va riferito al m^2,
Es; 0,1*1 = 0,1m^2=i*10i = 10i^2. mentre il prodotto di 3 fattori va riferito al m^3.
Es; 0.1*0,1*1 = 0,01m^3 = 10.kg. = Ovvero, i*i*10i = 10i^3= 10kg.
Es; 0.6*2 = 6i*20i = 120i^2 = 1.2m^2
0.1*0.6*2= i*6i*20i=120i^3 =0.12m^3 = 120.Kg. Basta provare, visto che i Prof.

Studiano senza sperimentare quello che dicono, e sai come si dice ?
Che la Pratica, Supera la Grammatica, In questo caso fatevi fare un cubo dal Fabbro,
che abbia gli spigoli da, 10cm=1dm, e poi versateci dentro un litro di acqua.

Ma sapete cosa dicono i Prof. dicono che 0.1^3 =0.001 = 1mm.
Hanno dimenticato di dire ; 0.001m^3.=1.Litro. Purtroppo usano 0.1 al posto del dm.
Mentre Archimede ha calcolato il volume della sfera immergendola nell'acqua.
contenuta in un cilindro e poi ha misurato l'acqua fuoriuscita dal cilindro.

Più semplice, non esiste-:))
Saluti dalla T.n.p.

pino mugo
2021-01-14 10:39:54 UTC
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Post by pino mugo
Come mai per la seguente funzione f(x,y)
(x^(2))/(x^(2)+y^(2))
non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero , la funzione è costante.
Grazie
( (0+t)^2 / (0+t)^2 ) / t
( (t)^2 / (t)^2 )* 1/ t
( t / t^2 )
$( 1/ t ) $
se t tende a 0 da destra , la derivata vale +inf
se t tende a 0 da sinistra , la derivata vale -inf
in effetti guardando il grafico 3D, la funzione CROLLA da 1 a 0 avvicinandosi da sinistra all'origine, e poi schizza da 0 a 1 allontanandosi verso destra .

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E%282%29%29%2F%28x%5E%282%29%2By%5E%282%29%29
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