Il giorno lunedì 11 gennaio 2021 alle 11:59:16 UTC+1
Post by pino mugoCome mai per la seguente funzione f(x,y)
(x^(2))/(x^(2)+y^(2))
non esiste la derivata nel punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Lungo l'asse Y vale zero, la funzione è costante.
Grazie
( (0+t)^2 / (0+t)^2 ) / t
( (t)^2 / (t)^2 )* 1/ t
( t / t^2 )
$( 1/ t ) $
se t tende a 0 da destra, la derivata vale +inf
se t tende a 0 da sinistra, la derivata vale -inf
Al post dell'OP non avrei risposto, ma ora ti ci metti anche tu ad
aumentare il casino, e urge fare pulizia.
Cominciamo con la scrittura.
Se è pericoloso e non di rado errato omettere le parentesi necessarie
per interpretare un'espressione, anche inserire parentesi inutili non
è meno dannoso, quanto meno per la leggibilità di un'espressione.
La formula scritta dall'OP si può (si deve) molto meglio scrivere
cancellando parecchie parentesi:
x^2/(x^2 + y^2).
Le parentesi sono necessarie attorno al denominatore, perché senza
parentesi la divisione "/" avrebbe precedenza sull'addizione
"x^2 + y^2".
Prego anche notare quanto si guadagna in leggibilità inserendo due
spazi attorno al "+".
La successiva osservazione è stravecchia, ma sembra sempre necessaria.
Scrivere "la funzione f(x,y)" seguita da un'espressione algebrica *è
sbagliato*.
Questa è la regola nella matematica liceale, dove molti libri dopo
aver dato all'inizio una definizione di funzione tutta diversa, se ne
dimenticano appena girata la pagina, e intendono che una funzione sia
definita dalla sua espressione, senza occuparsi del dominio se non a
posteriori.
Ma qui l'errore è imperdonabile, perché l'argomento (derivata
direzionale di una funzione di due variabili) *non è liceale* ma
universitario.
Nessun corso universitario, che io sappia, segue l'uso liceale.
Le funzioni tra due insiemi vengono definite assegnando *nell'ordine*
1) il dominio
2) il codominio
3) la legge di corrispondenza; nel nostro caso, di funxioni R^2 --> R,
il modo come si calcola il valore della funzione per ogni coppia (x,y)
del dominio.
Può darsi che basti una formula (algebrica o altro); oppure un
algoritmo.
Ma può anche darsi che nel dominio ci siano punti particolari o
sottoinsiemi in cui la formula non funziona, e ciononostante si vuol
definire la funzione.
In tal caso occorre dare una definizione a parte.
Si potrebbe decidere invece di escludere dal dominio i punti
eccezionali, dove la formula non si può applicare; ma vedremo che nel
nostro caso questo *non si può fare*, visto il quesito.
Esaminiamo la formula. In quali punti di R^2 non la si può applicare?
La risposta è semplice: il solo ostacolo è la presenza di una
divisione, e si sa che la divisione *non è definita* quando il
divisore si annulla (e solo in questo caso).
Qual è il divisore? E' "x^2 + y^2".
Per quali (x,y) si annulla? Solo in (0,0).
Quindi *non si può* inserire nel dominio questo punto, e poi definire
la funzione con quella formula.
Le soluzioni sono due:
a) escludere (0,0) dal dominio
b) dare in (0,0) una diversa definizione del valore di f.
Sulla b) si noti che in generale non ci sarebbero vincoli per il valore
da dare: qualunque numero reale andrebbe bene, per es. 2. Però ...
v. fra poco.
La soluzione a) invece non è applicabile, perché il quesito impone che
(0,0) faccia parte del dominio, visto che si chiede di calcolare
derivate proprio in quel punto.
Per definizione di derivata il punto in cui si calcola la derivata
*deve appartenere al dominio della funzione* perché il rapporto
incrementale contiene f(0,0) nella sua definizione.
Di nuovo la definizione di derivata non ci lascia liberi di definire
f(0,0) come ci pare. Vediamo meglio.
Ma prima faccio una deviazione.
L'OP scrive
Come mai per la seguente funzione [...] non esiste la derivata nel
punto (0,0) calcolata lungo l'asse X ?
Io chiederei chi gli ha detto che quella derivata non esiste.
Invece Francesca pasticcia ulteriormente, scrivendo un'espressione che
*non è* il rapporto incrementale!
Vediamo di fare il discorso pulito.
Per calcolare le derivate direzionali bisogna ragionare non su f(x)
ma sulle sue *restrizioni* risp. all'asse x e all'asse y:
g: R --> R, x |--> g(x) = f(x,0)
h: R --> R, y |--> h(y) = f(0,y).
Bisogna poi calcolare dg/dx per x=0 e dh/dy per y=0.
Partendo dalla formula, avremmo g(x) = f(x,0) = x^2/x^2 = 1.
Però attenzione: questo va bene per qualunque x ma non per x=0, dove
f(x,0) assume la forma indeterminata 0/0.
Potremmo cavarcela definendo f(0,0) = 1 e otterremmo g(x) = 1 su tutto
R, e poi dg/dx = 0.
Passiamo a h(y). Abbiamo h(y) = f(0,y) = 0/y^2 = 0; ma di nuovo questa
non definisce h(0) per la solita ragione: f(0,0) diventa 0/0.
Anche qui possiamo cavarcela, definendo f(0,0) = 0, che ci darebbe
h(y) = 0 per qualunque y, e quindi dh/dx = 0.
Il problema è che le due soluzioni sono incompatibili:
- se definiamo f(0,0) = 1, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo x, ma non quella lungo y
- se definiamo f(0,0) = 0, è definita = 0 la derivata direzionale
lungo y, ma non quella lungo x.
Non possiamo mai avere le due derivate insieme.
Se poi ci venisse il capriccio di porre f(0,0) = 2 o qualsiasi altro
valore diverso da 0 e da 1, nessuna delle due derivate sarebbe
definita.
Questa è la risposta al quesito, e non quella riferita dall'OP e
"dimostrata" da Francesca.
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Elio Fabri