Giochino 69: eh?

[El Filibustero]

lim{n->+inf} 2n(somma{k=0..n} 1/k! - (1+1/n)^n) = ?

[Alias]

Post by El Filibustero
lim{n->+inf} 2n(somma{k=0..n} 1/k! - (1+1/n)^n) = ?

e/2

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
lim{n->+inf} 2n(somma{k=0..n} 1/k! - (1+1/n)^n) = ?

e/2

Guasi. Ma all'inizio c'e' 2n, non n. Ciao

[Alias]

Post by El Filibustero

Post by El Filibustero
lim{n->+inf} 2n(somma{k=0..n} 1/k! - (1+1/n)^n) = ?

e/2

Guasi. Ma all'inizio c'e' 2n, non n. Ciao

Che razza di sciocchezza. E allora il risultato e'
ovviamente e.

Come si fa? Il fattore n a moltiplicare implica che dell'espressione va
preso il termine di ordine 1/n, in quanto il termine costante e'
chiaramente nullo.
Ora, la somma e' parte della serie di exp(x) per x=1.
Il termine successivo e':
sum_k=0^n 1/k! = e - sum_k=n+1^inf 1/k!

Dunque
sum_k=0^n 1/k! = e + O(1/(n+1)!)

ed il resto e' ben oltre l'ordine di 1/n.

Rimane il secondo termine:
(1+1/n)^n

ma questa e' l'espansione di un binomio. Prendi il termine O(1/n) e
les jeux sont faits.

[effe]

Post by El Filibustero
(1+1/n)^n
ma questa e' l'espansione di un binomio. Prendi il termine O(1/n) e
les jeux sont faits.

Se hai tempo, potresti spendere qualche parola in più sul secondo
termine? Qualche passaggio che mi aiuti a capire.
Il primo termine, col fattore n porta a e? Il secondo porta a e/2?
Non mi è chiaro cosa succede.