Discussione:
Si puo' fare un po di ordine nelle strutture algebriche ?
(troppo vecchio per rispondere)
r***@gmail.com
2008-12-23 11:27:36 UTC
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0.
l' oggetto piu' semplice e' un insieme X senza nessuna
operazione definita sopra

1.
Poi ci mettiamo una operazione binaria chiamiamola
+

2. Poi diciamo che e' associativa
3.
Poi diciamo che esiste u tale che per ogni x di X
u + x = x oppure x + u = x (neutro destro o sinistro)
4.
Poi diciamo che u + x = x + u
5.
Poi diciamo che + e' commutativa, ma se e'
e' commutativa implica la 4. Vedete ?
Invece la 4 non implica la 5.
Quindi significa che puo' accadere che
alcune proprieta' che vado ad aggiungere
"assorbono" proprieta' precedenti : non
sono indipendenti ! Azz ...

Poi :
6.
legge di cancellazione destra :
per ogni a, b da a + x = b + x derivo a = b
Legge di cancellazione sinistra :
da x + a = x + b derivo a = b
Ma se la + e' commutativa queste 2 leggi
sono una.
7.
ogni elemento ammette l' inverso destro
oppure il sinistro. Stesso discorso e a sua
volta ci sono collegamenti col neutro che
si dimostra essere unico se vale la 7 ...

Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Englishman
2008-12-23 11:51:48 UTC
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Post by r***@gmail.com
0.
Capisco, il tuo numero...
Post by r***@gmail.com
l' oggetto piu' semplice e' un insieme X senza nessuna
operazione definita sopra
Contenente?
Post by r***@gmail.com
Poi ci mettiamo una operazione binaria chiamiamola
+
Che fa cosa?
E' una relazione?
Di che tipo?
E' verificata per quali sottoinsiemi di X?
Post by r***@gmail.com
2. Poi diciamo che e' associativa
Diciamolo.
Lo assiomatizziamo?
Lo dimostriamo?
Post by r***@gmail.com
Insomma un gran casino
Ecco.


Ma che e', "Radicale contro Maciste"?
r***@gmail.com
2008-12-23 13:31:39 UTC
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Post by Englishman
Post by r***@gmail.com
0.
Capisco, il tuo numero...
Cioe' io secondo te sarei uno 'zero'.
Grazie, molto gentile.
Post by Englishman
Contenente?
Elementi ! Che importanza ha ?
Post by Englishman
Che fa cosa?
E' una relazione?
Di che tipo?
E' verificata per quali sottoinsiemi di X?
E che deve fare scusa, la birra ?
La solita cosa no ? Prende 2 elementi, li
smanetta insieme in qualche modo e sputazza
fuori un altro elemento dell' insieme !
Post by Englishman
Post by r***@gmail.com
2. Poi diciamo che e' associativa
Diciamolo.
Lo assiomatizziamo?
Lo dimostriamo?
... Dipende ! Ma che cambia a questi fini ?
Post by Englishman
Ecco.
Ma che e', "Radicale contro Maciste"?
E va be' ma che ho detto mai di cosi'
terribile ?
Loganino
2008-12-23 17:57:46 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Englishman
0.
Capisco, il tuo numero...
Cioe' io secondo te sarei uno 'zero'.
Grazie, molto gentile.
Post by Englishman
Contenente?
Elementi ! Che importanza ha ?
Ogni insieme è definito dagli elementi che contiene! (questa frase
implica parecchie cose tra cui l'importanza delea proprietà che
contraddistinguono questo insieme)

Ed ora ritorno nella savana! :D

PS: Ti seguo da un po' e ti ammiro per la tua voglia di imparare
PSS: ... ma a volte sei troppo pressante nella richiesta di
chiarimenti...
Radicale
2008-12-23 18:45:29 UTC
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Post by Loganino
Ogni insieme è definito dagli elementi che contiene!
Lo so ma questo fatto non c'entra un tubo secco con
le operazioni e tutto il resto del discorso !
Post by Loganino
Ed ora ritorno nella savana! :D
Eh ? :-)
Post by Loganino
PS: Ti seguo da un po' e ti ammiro per la tua voglia di >imparare
Grazie.
Post by Loganino
PSS: ... ma a volte sei troppo pressante nella richiesta >di chiarimenti...
Accetto la critica, ma rispondo che nessuno e' perfetto.
Englishman
2008-12-24 08:31:19 UTC
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Post by Radicale
Lo so ma questo fatto non c'entra un tubo secco con
le operazioni e tutto il resto del discorso !
Prova a trovare qualcosa di analogo all' operazione di somma sull'
insieme dei "giorni della settimana", oppure all' insieme "dipendenti
della FIAT", poi ne parliamo.
Radicale
2008-12-24 10:25:26 UTC
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Post by Englishman
Post by Radicale
Lo so ma questo fatto non c'entra un tubo secco con
le operazioni e tutto il resto del discorso !
Prova a trovare qualcosa di analogo all' operazione di somma sull'
insieme dei "giorni della settimana", oppure all' insieme "dipendenti
della FIAT", poi ne parliamo.
Vedo che non hai le idee molto chiare sulle basi, ma si sa :
piu' uno s'atteggia a maestro e meno capisce ...

Quelli che hai citato sono semplicemente dei modelli concreti di
determinate strutture algebriche. La struttura viene creata in modo
assiomatico e astratto (magari ispirandosi, ma solo all' inizio, a
qualcosa di reale) e non c'entra per nulla con la natura dei dati
a cui si applica.

Quindi ti rispondo :
rileggiti le basi della matematica, *poi ne parliamo*.
Englishman
2008-12-24 10:55:32 UTC
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Post by Radicale
rileggiti le basi della matematica, *poi ne parliamo*.
Rileggiti bene l' OP, e la mia risposta.
Loganino
2008-12-24 11:09:33 UTC
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On Wed, 24 Dec 2008 02:25:26 -0800 (PST), Radicale
Post by Radicale
Post by Englishman
Post by Radicale
Lo so ma questo fatto non c'entra un tubo secco con
le operazioni e tutto il resto del discorso !
Prova a trovare qualcosa di analogo all' operazione di somma sull'
insieme dei "giorni della settimana", oppure all' insieme "dipendenti
della FIAT", poi ne parliamo.
piu' uno s'atteggia a maestro e meno capisce ...
Dovresti essere un po' meno supponente tu però con queste risposte.
Cosa faresti se altri alle tue domande ti rispondessero in questo
modo? Penso che non ne saresti felice.. no?
Radicale
2008-12-24 11:19:02 UTC
Permalink
Dovresti essere un po' meno supponente tu per con queste risposte.
Cosa faresti se altri alle tue domande ti rispondessero in questo
modo? Penso che non ne saresti felice.. no?
Scusa Logan, ma guarda quel tizio come m' ha risposto all' inizio
e dopo. Ti sembra che non e' supponente ? Io sono pane al pane
e vino al vino : la prima volta l' ho tollerato, la seconda gli ho
risposto
per le rime, eccheccazz ... Quindi, per correttezza, avresti dovuto
dirlo prima a lui di non essere supponente.

Perche' non l' hai fatto ?
Loganino
2008-12-24 11:21:16 UTC
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On Wed, 24 Dec 2008 03:19:02 -0800 (PST), Radicale
Post by Radicale
Dovresti essere un po' meno supponente tu per con queste risposte.
Cosa faresti se altri alle tue domande ti rispondessero in questo
modo? Penso che non ne saresti felice.. no?
Scusa Logan, ma guarda quel tizio come m' ha risposto all' inizio
e dopo. Ti sembra che non e' supponente ? Io sono pane al pane
e vino al vino : la prima volta l' ho tollerato, la seconda gli ho
risposto
per le rime, eccheccazz ... Quindi, per correttezza, avresti dovuto
dirlo prima a lui di non essere supponente.
Perche' non l' hai fatto ?
Perchè la tua volontà di apprendere assomiglia alla mia e come detto
precedentemente ti ammiro per questo (visto che riesci a farlo ed io
no :D). Ed e' per questo che certe uscite da te mi dispiacciono!
E poi genericamente se altri errano non si è autorizzati a fare lo
stesso non credi? :)
Radicale
2008-12-24 11:32:28 UTC
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Post by Loganino
Perchè la tua volontà di apprendere assomiglia alla mia e come detto
precedentemente ti ammiro per questo (visto che riesci a farlo ed io
no :D). Ed e' per questo che certe uscite da te mi dispiacciono!
E pazienza. Io sono un ex pugile ex birraio ex portaportesaro ex
benzinaro ex sguattero e tante altre cose che e' meglio non dire.
Se qualcuno mi fa un graffio sono abituato ad addentarlo ed a
prenderlo a calci nel culo a due a due fino a che non diventano
dispari.
Non potendo farlo fisicamente, qui, mi sfogo a parole.
Post by Loganino
E poi genericamente se altri errano non si è autorizzati a fare lo
stesso non credi? :)
All ...
Te l' ho detto : *ho provato* con le buone all' inizio (vai a vedere)
ma
questo testa di cazzo m' ha preso di mira. Si vede che la moglie
gliela
da ad intermittenza, che ne so.
Giovanni
2008-12-23 12:29:10 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Non e' un casino.
Si tratta di DISTINGUERE tra ASSIOMI e TEOREMI.
E' la capacita' essenziale di un matematico che (aggiunto ad altro) lo
distingue da chi usa semplicemente la matematica per fare i conti.

Quello che non riesci assolutamente a derivare da altro e' un assioma,
ossia una proprieta' che devi porre tu all'inizio.
Le proprieta' che riesci a dimostrare valere, elaborando, con il
ragionamento, da altre proprieta' date sono i teoremi.

Una formalizzazione o sistema formale o sistema assiomatico, e'
qualcosa che serve proprio a METTERE ORDINE tra le tante proprieta':
Si parte ponendo le proprieta' fondamentali e tra loro inderivabili
(qualche volta, per comodita', si eccede negli assiomi mettendo anche
qualche proprieta' derivabile).
Poi, man mano, ordinatamente, si derivano le altre proprieta'.

Qui abbiamo a che fare con strutture algebriche.
Tra esse possono esserci delle proprieta' in comune oppure una
struttura essere una sotto-struttura di un altra (gli stessi assiomi
con altri in aggiunta).

Le relazioni tra strutture in questa complessa dialettica si vedono
giostrandosi tra assiomi, teoremi e dimostrazioni (che e' poi quello
che si fa sempre in matematica).

Una vera e propria sistemazione formale generale per tutte queste
strutture si ha nella Teoria delle categorie [
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_delle_categorie ]

.
Giovanni
LordBeotian
2008-12-23 13:02:42 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Non sarà più un casino quando avrai familiarizzato con tutti gli esempi e
controesempi in cui valgono o no le proprietà.
r***@gmail.com
2008-12-23 13:33:51 UTC
Permalink
Non sarà più un casino quando avrai familiarizzato con >tutti gli esempi e
controesempi in cui valgono o no le proprietà.
Dici che e' una questione di esercizio ?
LordBeotian
2008-12-25 20:43:54 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Non sarà più un casino quando avrai familiarizzato con >tutti gli esempi e
controesempi in cui valgono o no le proprietà.
Dici che e' una questione di esercizio ?
Non si tratta di esercizio, è il percorso naturale della conoscenza: prima si
conoscono gli "animali" che popolano il mondo delle strutture algebriche e
poi (proprio per fare ordine) li si classifica in base alle loro proprietà.
La classificazione è un utile modo di organizzare la conoscenza per chi
quella conoscenza ce l'ha, per chi non ce l'ha è soltanto un guazzabuglio...
Magister P.N.
2008-12-23 16:59:04 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
0.
l' oggetto piu' semplice e' un insieme X senza nessuna
operazione definita sopra
1.
Poi ci mettiamo una operazione binaria chiamiamola
+
2. Poi diciamo che e' associativa
3.
Poi diciamo che esiste u tale che per ogni x di X
u + x = x oppure x + u = x (neutro destro o sinistro)
4.
Poi diciamo che u + x = x + u
5.
Poi diciamo che + e' commutativa, ma se e'
e' commutativa implica la 4.  Vedete ?
Invece  la 4 non implica la 5.
Quindi significa che puo' accadere che
alcune proprieta' che vado ad aggiungere
"assorbono" proprieta' precedenti : non
sono indipendenti ! Azz ...
6.
per ogni a, b da a + x = b +  x derivo a = b
da x + a = x + b derivo a = b
Ma se la + e' commutativa queste 2 leggi
sono una.
7.
ogni elemento ammette l' inverso destro
oppure il sinistro. Stesso discorso e a sua
volta ci sono collegamenti col neutro che
si dimostra essere unico se vale la 7 ...
Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Un consiglio: anche se a volte viene la tentazione, e' meglio non
focalizzarsi eccessivamente sugli aspetti "classificatori", poiche' si
rischia di perdere la visione realmente matematica (ovvero, le
dimostrazioni)

Lo studio dell'algebra deve essere finalizzato a "collezionare"
teoremi del tipo
Se un'operazione in un insieme X ha una proprieta' P1, allora bla bla
bla...
Se un'operazione in un insieme X ha una proprieta' P2, allora bla bla
bla...
Se un'operazione in un insieme X ha entrambe P1 e P2, allora bla bla
bla...

Dopo di che (o parallelamente) si puo' verificare che esistono
raggruppamenti di proprieta' che sono particolarmente "fecondi" nel
generare teoremi, e per questo si studia la "struttura algebrica"
dotata contemporaneamente di tutte le proprieta' interessanti.

Ciao
R.
r***@gmail.com
2008-12-23 17:09:36 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Post by r***@gmail.com
0.
l' oggetto piu' semplice e' un insieme X senza nessuna
operazione definita sopra
1.
Poi ci mettiamo una operazione binaria chiamiamola
+
2. Poi diciamo che e' associativa
3.
Poi diciamo che esiste u tale che per ogni x di X
u + x = x oppure x + u = x (neutro destro o sinistro)
4.
Poi diciamo che u + x = x + u
5.
Poi diciamo che + e' commutativa, ma se e'
e' commutativa implica la 4.  Vedete ?
Invece  la 4 non implica la 5.
Quindi significa che puo' accadere che
alcune proprieta' che vado ad aggiungere
"assorbono" proprieta' precedenti : non
sono indipendenti ! Azz ...
6.
per ogni a, b da a + x = b +  x derivo a = b
da x + a = x + b derivo a = b
Ma se la + e' commutativa queste 2 leggi
sono una.
7.
ogni elemento ammette l' inverso destro
oppure il sinistro. Stesso discorso e a sua
volta ci sono collegamenti col neutro che
si dimostra essere unico se vale la 7 ...
Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Un consiglio: anche se a volte viene la tentazione, e' meglio non
focalizzarsi eccessivamente sugli aspetti "classificatori", poiche' si
rischia di perdere la visione realmente matematica (ovvero, le
dimostrazioni)
Lo studio dell'algebra deve essere finalizzato a "collezionare"
teoremi del tipo
Se un'operazione in un insieme X ha una proprieta' P1, allora bla bla
bla...
Se un'operazione in un insieme X ha una proprieta' P2, allora bla bla
bla...
Se un'operazione in un insieme X ha entrambe P1 e P2, allora bla bla
bla...
Dopo di che (o parallelamente) si puo' verificare che esistono
raggruppamenti di proprieta' che sono particolarmente "fecondi" nel
generare teoremi, e per questo si studia la "struttura algebrica"
dotata contemporaneamente di tutte le proprieta' interessanti.
Accetto di buon grado il consiglio.
Dammene un altro : Io studio sul Birkoff ma non
mi trovo bene. Visto che un po mi conosci, su
quale libro secondo te potrei trovarmi meglio ?
Magister P.N.
2008-12-23 17:44:04 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Accetto di buon grado il consiglio.
Dammene un altro : Io studio sul Birkoff ma non
mi trovo bene. Visto che un po mi conosci, su
quale libro secondo te potrei trovarmi meglio ?
Purtroppo non saprei cosa consigliarti... io ho studiato fisica, e un
corso specifico di algebra non l'ho fatto (solo di algebra lineare).
L'algebra l'ho studiata in parte sul Birkhoff, in parte sul Marchionna
Tibiletti, ma ho studiato parti scelte piuttosto che un libro intero.

Ciao
R.
Loganino
2008-12-23 18:02:10 UTC
Permalink
On Tue, 23 Dec 2008 09:44:04 -0800 (PST), "Magister P.N."
Post by Magister P.N.
Post by r***@gmail.com
Accetto di buon grado il consiglio.
Dammene un altro : Io studio sul Birkoff ma non
mi trovo bene. Visto che un po mi conosci, su
quale libro secondo te potrei trovarmi meglio ?
Purtroppo non saprei cosa consigliarti... io ho studiato fisica, e un
corso specifico di algebra non l'ho fatto (solo di algebra lineare).
L'algebra l'ho studiata in parte sul Birkhoff, in parte sul Marchionna
Tibiletti, ma ho studiato parti scelte piuttosto che un libro intero.
Ciao
R.
Posso consigliarti il libro di Franciosi - De Giovanni
"Elementi di Algebra" + l'eserciziario "Esercizi di Algebra" degli
stessi autori.
Aracne editrice. Puo' darti spunto per un po' di riflessioni.
Joubert
2008-12-23 17:58:10 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
su
quale libro secondo te potrei trovarmi meglio ?
Ti aveva già risposto anche E. Gregorio... Il Facchini o quello di G.M.
Piacentini Cattaneo che è facile o quello di Jacobson (Basic Algebra I e
II) o quello di Herstein (quello vecchio, 1964 circa).
Radicale
2008-12-23 18:47:30 UTC
Permalink
Post by Joubert
Ti aveva già risposto anche E. Gregorio...
*lo so*, ma quando a mia volta gli chiesi
che capitoli dovevo studiare e' scomparso.
Comunque scusa :
perche' proprio questi ? Che c'e' di ben
fatto ?
Joubert
2008-12-24 00:37:37 UTC
Permalink
Post by Radicale
*lo so*, ma quando a mia volta gli chiesi
che capitoli dovevo studiare e' scomparso.
perche' proprio questi ? Che c'e' di ben
fatto ?
Fidati del consiglio, no? Non appena avrai il libro vedrai che la
domanda su quali capitoli studiare non ha senso. Non è che ci sono mille
capitolini e capitoletti inutili.
Radicale
2008-12-24 00:43:29 UTC
Permalink
Post by Joubert
Fidati del consiglio, no? Non appena avrai il libro vedrai che la
domanda su quali capitoli studiare non ha senso. Non è che ci sono mille
capitolini e capitoletti inutili.
E va bene.
Archeopteryx
2008-12-24 08:33:12 UTC
Permalink
*lo so*, ma quando a mia volta gli chiesi che capitoli
dovevo studiare e' scomparso. Comunque scusa : perche'
proprio questi ? Che c'e' di ben fatto ?
No, ricordo bene che ti disse che esiste una specie di
base comune costituita da un testo base di algebra e che
non aveva senso dare un elenco dettagliato. In
quest'ottica ognuno ti consiglierà il testo su cui si è
trovato meglio. Io per esempio, finalmente ho trovato il
testo di matematica per fisici che avevo sempre sognato, e
assieme agli appunti di Elio Fabri e altri, spero un
giorno di avere un po' di basi (LOL, mi viene in mente che
qui è un doppio senso).

Diverso sarebbe il caso se tu chiedessi: di questo elenco
di teoremi che segue, è importante studiare la
dimostrazione o posso accontentarmi dell'enunciato? Questo
teorema si dimostra meglio qui o lì? A un maggiore livello
di dettaglio sono sicuro che il maestro non "abbandonerà"
il discepolo. Una delle differenze tra le impostazioni di
vari corsi è proprio ciò che il docente chiede per
l'esame, ovvero solo enunciato o anche dimostrazione, a
parte un "nucleo" (di nuovo...) di teoremi in un certo
senso classici vuoi per l'importanza metodologica vuoi per
le applicazioni.

ciao!

Apx.
Radicale
2008-12-24 11:43:58 UTC
Permalink
On 24 Dic, 09:33, Archeopteryx
Post by Archeopteryx
No, ricordo bene che ti disse che esiste una specie di
base comune costituita da un testo base di algebra e che
non aveva senso dare un elenco dettagliato.
Dici ? Io non me la ricordo cosi comunque non avevo
intenzione di incolpare chicchessia.
Sia chiaro questo.

A propo', mi sono rivisto con Marcofucsia. Grande
serata. Un litrazzo di birra a testa e tante belle chiacchiere.
Marco e' una forza della natura.
Loganino
2008-12-23 18:02:39 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Accetto di buon grado il consiglio.
Dammene un altro : Io studio sul Birkoff ma non
mi trovo bene. Visto che un po mi conosci, su
quale libro secondo te potrei trovarmi meglio ?
Posso consigliarti il libro di Franciosi - De Giovanni
"Elementi di Algebra" + l'eserciziario "Esercizi di Algebra" degli
stessi autori.
Aracne editrice. Puo' darti spunto per un po' di riflessioni.
mind
2008-12-24 10:56:28 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
0.
l' oggetto piu' semplice e' un insieme X senza nessuna
operazione definita sopra
1.
Poi ci mettiamo una operazione binaria chiamiamola
+
2. Poi diciamo che e' associativa
3.
Poi diciamo che esiste u tale che per ogni x di X
u + x = x oppure x + u = x (neutro destro o sinistro)
4.
Poi diciamo che u + x = x + u
5.
Poi diciamo che + e' commutativa, ma se e'
e' commutativa implica la 4.  Vedete ?
Invece  la 4 non implica la 5.
Quindi significa che puo' accadere che
alcune proprieta' che vado ad aggiungere
"assorbono" proprieta' precedenti : non
sono indipendenti ! Azz ...
6.
per ogni a, b da a + x = b +  x derivo a = b
da x + a = x + b derivo a = b
Ma se la + e' commutativa queste 2 leggi
sono una.
7.
ogni elemento ammette l' inverso destro
oppure il sinistro. Stesso discorso e a sua
volta ci sono collegamenti col neutro che
si dimostra essere unico se vale la 7 ...
Insomma un gran casino perche' appunto
queste queste aggiunte interagiscono l' una
con l' altra !
Se queste definizioni ti creano casino, forse è il momento giusto per
incominciare a studiare dalle basi da qualche libro: io consigli il
libro di Facchini, "Algebra e matematica discreta". E' pensato per un
primo corso di algebra, fa le dimostrazioni nel dettaglio senza
saltare i passaggi, fa molti esempi (circa 2/3 del libro) e ci sono
pure degli esercizi interessanti. Comincia a leggere dall'inizio, la
roba che c'è lì prima o poi viene fatta tutta in un corso di laurea di
matematica (diciamo la gran parte al primo anno, qualcosina al
secondo: solo la parte sui grafi e sulle funzioni generatrici ogni
tanto viene omessa).

Le prime cose che dovresti imparare sono:
- relazioni, rel. d'ordine, rel. di equivalenza e partizioni, insiemi
quozienti
- funzioni, iniettività, suriettività, invertibilità, composizione

Questa è veramente la "base" (di tutta la matematica, non solo
dell'algebra). Se poi vuoi passare a qualcosa di algebrico puoi andare
direttamente sui gruppi, (potrebbe essere interessante anche iniziare
da qualcosa tipo i semigruppi però) o sugli anelli. Lì molti dei
problemini di teoria dei numeri che proponi si risolvono facilmente.
Spero sia d'aiuto,
Ciao e auguri. Gil

*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
binaria associativa che soddisfa (assioma dei quozienti):
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
Magister P.N.
2008-12-24 11:57:48 UTC
Permalink
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
a che cosa?
r***@gmail.com
2008-12-24 15:53:54 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
a che cosa?
Gia !
mind
2008-12-24 19:46:14 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
a che cosa?
Gia !
Ops ho dimenticato di scrivere ^^"
Alla definizione di gruppo ovviamente :P

*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
binaria associativa che soddisfa (assioma dei quozienti):
per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente a quella di gruppo.
Loganino
2008-12-24 19:47:50 UTC
Permalink
On Wed, 24 Dec 2008 11:46:14 -0800 (PST), mind
Post by mind
Post by Magister P.N.
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
a che cosa?
Gia !
Ops ho dimenticato di scrivere ^^"
Alla definizione di gruppo ovviamente :P
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente a quella di gruppo.
Ue caro mind ma che fine hai fatto? non ti si vede piuuuuuuu!!! :(
mind
2008-12-24 19:58:52 UTC
Permalink
Post by Loganino
On Wed, 24 Dec 2008 11:46:14 -0800 (PST), mind
Post by mind
Post by Magister P.N.
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
- per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente
a che cosa?
Gia !
Ops ho dimenticato di scrivere ^^"
Alla definizione di gruppo ovviamente :P
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente a quella di gruppo.
Ue caro mind ma che fine hai fatto? non ti si vede piuuuuuuu!!! :(
Più che altro è un problema di cambiamento modem: per avere l'home tv
lo lascio attaccato lì (la wifi non mi va), e non ho irc sugli altri
pc della casa. Comunque ora sono abbastanza sotto con gli esami e non
avrei tempo :((
Buon natale a tutti!

(E fate l'esercizio che è interessante... non è neanche troppo
semplice se non si ha subito l'idea giusta)
Ciaooooooooo
Magister P.N.
2008-12-24 21:13:38 UTC
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Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente a quella di gruppo.
Mi pare che ci si arrivi con un po' di giochini che sfruttano
l'associativita'.

Devo dimostrare che G gruppo <=> G ha la proprieta' suddetta
Per comodita' di notazione scrivo (a) per indicare l'inverso di a.

1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G e
soddisfano la proprieta'. cvd

2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento
ha inverso)
Ponendo a = b ho che esistono elementi neutri destri e sinistri,
ovvero che ax = a e yb = b
Ma (ax)(yb) = ab
Per l'associativita'
(a(xy))b = ab,
a((xy)b) = ab,
ovvero
a(xy) = a
(xy)b = b

Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy

A questo punto, poiche' G ha la proprieta' dei quozienti, ponendo b =
1 vale anche che esistono x,y tali che
ax = 1
ya = 1
Quindi
(ay)(ax) = ay1 = ay
Ma anche
(ay)(ax) = a(ya)x = a1x = ax

Quindi x = y e' l'inverso di a
Enrico Gregorio
2008-12-24 21:27:20 UTC
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Post by Magister P.N.
Post by mind
*Esercizio natalizio (difficile): Sia G un insieme con un'operazione
per ogni a,b in G esistono x,y in G tali che: ax=b e ya=b.
Dimostrare che questa definizione è equivalente a quella di gruppo.
Mi pare che ci si arrivi con un po' di giochini che sfruttano
l'associativita'.
Devo dimostrare che G gruppo <=> G ha la proprieta' suddetta
Per comodita' di notazione scrivo (a) per indicare l'inverso di a.
1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G e
soddisfano la proprieta'. cvd
Questo è facile.
Post by Magister P.N.
2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento
ha inverso)
Ponendo a = b ho che esistono elementi neutri destri e sinistri,
ovvero che ax = a e yb = b
Ma (ax)(yb) = ab
Per l'associativita'
(a(xy))b = ab,
a((xy)b) = ab,
ovvero
a(xy) = a
(xy)b = b
Come passi da azb=ab a az=a?
Post by Magister P.N.
Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy
No. Avresti solo dimostrato che per ogni a esiste un elemento z tale
che az=a. Non è detto, a priori, che l'elemento z sia lo stesso per
tutti gli elementi.

Ciao
Enrico
Magister P.N.
2008-12-24 22:01:20 UTC
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Post by Enrico Gregorio
Come passi da azb=ab a az=a?
Giusto, ho usato la legge di cancellazione che vale per i gruppi, allo
scopo di dimostrare che e' un gruppo :-)
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy
No. Avresti solo dimostrato che per ogni a esiste un elemento z tale
che az=a. Non è detto, a priori, che l'elemento z sia lo stesso per
tutti gli elementi.
Giusto anche questo. Intanto riformuliamo cosi'

1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G
e
soddisfano la proprieta'. cvd


2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni
elemento
ha inverso)

Supponiamo di aver dimostrato che esiste un elemento neutro
(chiamiamolo 1)

A questo punto, poiche' G ha la proprieta' dei quozienti, ponendo b =
1 vale anche che esistono x,y tali che
ax = 1
ya = 1
Quindi
(ay)(ax) = ay1 = ay
Ma anche
(ay)(ax) = a(ya)x = a1x = ax

Quindi ya = 1 = ay, quindi a ha un inverso.

Resta quindi da dimostrare che esiste l'elemento neutro.
Ci rifletto.

Ciao
R.
Enrico Gregorio
2008-12-24 22:10:18 UTC
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Post by Magister P.N.
Post by Enrico Gregorio
Come passi da azb=ab a az=a?
Giusto, ho usato la legge di cancellazione che vale per i gruppi, allo
scopo di dimostrare che e' un gruppo :-)
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy
No. Avresti solo dimostrato che per ogni a esiste un elemento z tale
che az=a. Non è detto, a priori, che l'elemento z sia lo stesso per
tutti gli elementi.
Giusto anche questo. Intanto riformuliamo cosi'
1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G e
soddisfano la proprieta'. cvd
2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni
elemento
ha inverso)
Supponiamo di aver dimostrato che esiste un elemento neutro
(chiamiamolo 1)
A questo punto, poiche' G ha la proprieta' dei quozienti, ponendo b =
1 vale anche che esistono x,y tali che
ax = 1
ya = 1
Basta questo. È un fatto generale (vale nei semigruppi con 1) che se un
elemento ha inverso destro e sinistro, allora sono uguali:

x = 1x = (ya)x = y(ax) = y1 = y

Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.

Ciao
Enrico
r***@gmail.com
2008-12-24 22:41:09 UTC
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Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Post by Enrico Gregorio
Come passi da azb=ab a az=a?
Giusto, ho usato la legge di cancellazione che vale per i gruppi, allo
scopo di dimostrare che e' un gruppo :-)
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy
No. Avresti solo dimostrato che per ogni a esiste un elemento z tale
che az=a. Non è detto, a priori, che l'elemento z sia lo stesso per
tutti gli elementi.
Giusto anche questo. Intanto riformuliamo cosi'
1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G e
soddisfano la proprieta'. cvd
2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento
ha inverso)
Supponiamo di aver dimostrato che esiste un elemento neutro
(chiamiamolo 1)
A questo punto, poiche' G ha la proprieta' dei quozienti, ponendo b =
1 vale anche che esistono x,y tali che
    ax = 1
    ya = 1
Basta questo. È un fatto generale (vale nei semigruppi con 1) che se un
x = 1x = (ya)x = y(ax) = y1 = y
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Elementare watson

Basta prendere a = b
Allora ax = ya = a

Radicale Magno, nuovo matematico (in erba)
dell' NG
Magister P.N.
2008-12-24 23:20:59 UTC
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Post by r***@gmail.com
Post by Enrico Gregorio
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Elementare watson
Basta prendere a = b
Allora ax = ya = a
Era la stessa cosa che dicevo io, alla quale Enrico ha giustamente
obiettato che:
trovo sempre elementi x,x',x'' che
ax = a
bx' = b
cx'' = c

Ma devo dimostrare che x = x' = x''

La proprieta' dei quozienti mi dice "Per ogni a,b trovo x,y tali
che ..."
di cui un caso particolare e' "Per ogni a trovo x tale che ..."
ma per diversi valori di a posso avere diversi valori di x

Ciao
R.
Enrico Gregorio
2008-12-25 15:31:57 UTC
Permalink
Post by r***@gmail.com
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Post by Enrico Gregorio
Come passi da azb=ab a az=a?
Giusto, ho usato la legge di cancellazione che vale per i gruppi, allo
scopo di dimostrare che e' un gruppo :-)
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Cioe' xy e' elemento neutro nell'insieme G. Sia 1 = xy
No. Avresti solo dimostrato che per ogni a esiste un elemento z tale
che az=a. Non è detto, a priori, che l'elemento z sia lo stesso per
tutti gli elementi.
Giusto anche questo. Intanto riformuliamo cosi'
1) G gruppo => G ha la proprieta' dei quozienti
se a, b appartengono a G, anche x = (a)b e y = b(a) appartengono a G e
soddisfano la proprieta'. cvd
2) G ha la proprieta' => G e' un gruppo (l'operazione e' associativa
per ipotesi, dimostro che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento
ha inverso)
Supponiamo di aver dimostrato che esiste un elemento neutro
(chiamiamolo 1)
A questo punto, poiche' G ha la proprieta' dei quozienti, ponendo b =
1 vale anche che esistono x,y tali che
    ax = 1
    ya = 1
Basta questo. È un fatto generale (vale nei semigruppi con 1) che se un
x = 1x = (ya)x = y(ax) = y1 = y
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Elementare watson
Basta prendere a = b
Allora ax = ya = a
Radicale Magno, nuovo matematico (in erba)
dell' NG
Un po' troppo elementare, presunto Sherlock. :-)

Ciao
Enrico
Magister P.N.
2008-12-25 00:03:51 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Forse ci sono!

Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b

Come caso particolare ho che per ogni a: esiste u tale che au = a

Fissiamo il valore di a (sia a=A), e troviamo un elemento U che
soddisfa la proprieta' AU = A
(uso le maiuscole per i valori fissati, le minuscole per le variabili)

Se AU = A, allora per ogni h: hAU = hA

Ovvero U e' neutro destro comune a tutti gli elementi della forma hA

Ma per ogni a,g : esiste h tale che ha = g
In particolare fissato un valore a=A, per ogni g esiste h tale che g =
hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* sono esprimibili nella
forma hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* hanno U come neutro
destro.

Analogamente, per ogni b esiste v tale che vb = b
Fisso b=B, trovo il valore V tale che VB = B

Se VB = B, allora per ogni h': VBh' = Bh'

Ovvero V e' neutro sinistro comune a tutti gli elementi della forma
Bh'
Ma, con passaggi analoghi a quanto fatto per U, mostro che V e' neutro
sinistro per tutti gli elementi dell'insieme G.

ovviamente V = U (poiche' VU=U e VU=V)

Ciao
R.
Radicale
2008-12-25 09:37:40 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
Perche ? Noi sappiamo solo che per ogni a,b
esiste x,y tale che ax = yb.
Magister P.N.
2008-12-25 12:55:16 UTC
Permalink
Post by Radicale
Post by Magister P.N.
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
Perche ?
E' l'ipotesi del problema.

Ciao
R.
Radicale
2008-12-25 15:20:31 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Post by Magister P.N.
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
E' l'ipotesi del problema.
No scusa :
L' ipotesi e' che dati a,b esistono x,y tali che
ax = yb

Tu invece chiedi che
per ogni a,b esistano x,y tali che
ax = b, ya = b che e' del tutto diverso.

Se le due condizioni sono equivalenti lo
devi dimostrare. A occhio non si vede.
Magister P.N.
2008-12-25 17:36:03 UTC
Permalink
Post by Radicale
Post by Magister P.N.
Post by Magister P.N.
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
E' l'ipotesi del problema.
L' ipotesi e' che dati a,b esistono x,y tali che
ax = yb
No, rileggi meglio

Ciao
R.
Radicale
2008-12-25 19:04:09 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
No, rileggi meglio
Oddio. Avete ragione !
Ci credete se vi dico che ci sono rimasto male ?
Enrico Gregorio
2008-12-25 15:31:12 UTC
Permalink
Post by Magister P.N.
Post by Enrico Gregorio
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Forse ci sono!
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
Come caso particolare ho che per ogni a: esiste u tale che au = a
Fissiamo il valore di a (sia a=A), e troviamo un elemento U che
soddisfa la proprieta' AU = A
(uso le maiuscole per i valori fissati, le minuscole per le variabili)
Se AU = A, allora per ogni h: hAU = hA
Ovvero U e' neutro destro comune a tutti gli elementi della forma hA
Ma per ogni a,g : esiste h tale che ha = g
In particolare fissato un valore a=A, per ogni g esiste h tale che g =
hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* sono esprimibili nella
forma hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* hanno U come neutro
destro.
Analogamente, per ogni b esiste v tale che vb = b
Fisso b=B, trovo il valore V tale che VB = B
Se VB = B, allora per ogni h': VBh' = Bh'
Ovvero V e' neutro sinistro comune a tutti gli elementi della forma
Bh'
Ma, con passaggi analoghi a quanto fatto per U, mostro che V e' neutro
sinistro per tutti gli elementi dell'insieme G.
ovviamente V = U (poiche' VU=U e VU=V)
Giusto, ma si può dire meglio.

Per ipotesi (non esplicita, a dire il vero, nel problema iniziale),
G non è vuoto. Prendiamo un elemento, sia esso a. Allora troviamo
u tale che ua=a. Come osservi giustamente, abbiamo uax=ax, per ogni
x in G, quindi ci basta dimostrare che ogni elemento di G è della forma
ax per qualche x. Questo è vero per ipotesi (nota che si usano entrambi
gli assiomi, uno per trovare u, l'altro per dimostrare che ogni elemento
è della forma ax).

Dunque G ha un elemento neutro sinistro u e, con la stessa tecnica,
anche un elemento neutro destro v. Ma allora u = uv = v.

Ciao
Enrico
Radicale
2008-12-25 15:41:14 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Per ipotesi (non esplicita, a dire il vero, nel problema iniziale),
G non è vuoto. Prendiamo un elemento, sia esso a. Allora troviamo
u tale che ua=a.
E chi te l' ha detto che esiste un u del genere ?
Noi sappiamo solo che ax = ya.
Punto.
Enrico Gregorio
2008-12-25 16:05:04 UTC
Permalink
Post by Radicale
Post by Enrico Gregorio
Per ipotesi (non esplicita, a dire il vero, nel problema iniziale),
G non è vuoto. Prendiamo un elemento, sia esso a. Allora troviamo
u tale che ua=a.
E chi te l' ha detto che esiste un u del genere ?
Noi sappiamo solo che ax = ya.
Punto.
Hai letto molto male le ipotesi:

per ogni a, b in G, esistono x, y in G tali che ax=b, ya=b.

Per b=a, la seconda fornisce l'elemento richiesto.

Ciao
Enrico
mind
2008-12-26 09:32:20 UTC
Permalink
Post by Enrico Gregorio
Post by Magister P.N.
Post by Enrico Gregorio
Buon divertimento per dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro.
Forse ci sono!
Per ogni a,b: esiste x: ax=b, ed esiste y: ya=b
Come caso particolare ho che per ogni a: esiste u tale che au = a
Fissiamo il valore di a (sia a=A), e troviamo un elemento U che
soddisfa la proprieta' AU = A
(uso le maiuscole per i valori fissati, le minuscole per le variabili)
Se AU = A, allora per ogni h: hAU = hA
Ovvero U e' neutro destro comune a tutti gli elementi della forma hA
Ma per ogni a,g : esiste h tale che ha = g
In particolare fissato un valore a=A, per ogni g esiste h tale che g =
hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* sono esprimibili nella
forma hA
Quindi *tutti gli elementi g dell'insieme G* hanno U come neutro
destro.
Analogamente, per ogni b esiste v tale che vb = b
Fisso b=B, trovo il valore V tale che VB = B
Se VB = B, allora per ogni h': VBh' = Bh'
Ovvero V e' neutro sinistro comune a tutti gli elementi della forma
Bh'
Ma, con passaggi analoghi a quanto fatto per U, mostro che V e' neutro
sinistro per tutti gli elementi dell'insieme G.
ovviamente V = U (poiche' VU=U e VU=V)
Giusto, ma si può dire meglio.
Per ipotesi (non esplicita, a dire il vero, nel problema iniziale),
G non è vuoto.
Scusate è vero, G deve essere non vuoto. Purtroppo sono andato a
memoria e l'autore del libro da dove l'ho preso, Machì, tende a
perdere la condizione "non vuoto" per strada :P
Comunque è facile mostrare che la condizione "non vuoto" sia
necessaria: se G fosse vuoto l'assioma dei quozienti sarebbe vero e,
ammesso che esista un'operazione binaria come nell'ipotesi, G sarebbe
un gruppo.
Nella definizione che uso io di funzione è ammissibile dare una
funzione di tale tipo (bisogna vedere qui che definizione usate!),
allora avremmo un gruppo vuoto, che è assurdo per definizione!
Saluti, Gil

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