Numeri speciali

[Elio Fabri]

Ricordo di aver già proposto anni fa quest'idea, forse con un altro
nome.

Si tratta di trovare il numero naturale che risponde (unico) a certi
requisiti non banali.
Non si deve usare la rappresentazione (decimale o in altra base) del numero.

Esempio negativo: il più piccolo prodotto di tre primi. E' 30, ma ci
vuole poco: 2x3x5.
Meno banale: il più piccolo intero che è somma, in due modi diversi,
di due quadrati distinti. (La risposta non la do.)

Si può anche proporre il problema inverso: dato un numero, trovarne una
definizione come numero speciale.
Esempio: 3599 è il più piccolo numero > 2000 che sia prodotto di due
primi gemelli.

Ciò posto, chiedo di caratterizzare 2021 come numero speciale.

[Massimo Grazzini]

Post by Elio Fabri
Meno banale: il più piccolo intero che è somma, in due modi diversi,
di due quadrati distinti. (La risposta non la do.)

Cerco due coppie di naturali (a, b), (c, d) con a <= b e a < c <= d tali che a^2 + b^2 = c^2 + d^2.

La domanda è: coppie (cioè decomposizioni) contenenti lo zero valgono?

Perché se valgono, posso ragionare banalmente così:

1) prendo una terna pitagorica (i, j, k) ordinata in senso crescente e pongo c = i, b = j;
2) pongo poi a = 0, b = k.

Le coppie (a, b) e (c, d) così costruite soddisfano di certo alle condizioni poste sopra.

La terna più semplice è la nota (3, 4, 5), che permette di trovare 0^2 + 5^2 = 25 = 3^2 + 9^2.

L'esistenza di interi minori di 25 che ammetto scomposizione duplice si può poi escludere euristicamente.

Un saluto,

Massimo Grazzini

[lindo]

Post by Massimo Grazzini

Post by Elio Fabri
Meno banale: il più piccolo intero che è somma, in due modi diversi,
di due quadrati distinti. (La risposta non la do.)

Cerco due coppie di naturali (a, b), (c, d) con a <= b e a < c <= d tali che a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
La domanda è: coppie (cioè decomposizioni) contenenti lo zero valgono?
1) prendo una terna pitagorica (i, j, k) ordinata in senso crescente e pongo c = i, b = j;
2) pongo poi a = 0, b = k.
Le coppie (a, b) e (c, d) così costruite soddisfano di certo alle condizioni poste sopra.
La terna più semplice è la nota (3, 4, 5), che permette di trovare 0^2 + 5^2 = 25 = 3^2 + 9^2.
L'esistenza di interi minori di 25 che ammetto scomposizione duplice si può poi escludere euristicamente.

Altrimenti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Terna_pitagorica
"Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c < 100"
Delle 16 elencate, una sola coppia ha lo stesso ultimo termine. Quindi i
quattro numeri cercati sono: 16, 63, 33, 56.

[lindo]

Post by lindo
https://it.wikipedia.org/wiki/Terna_pitagorica
"Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c < 100"
Delle 16 elencate, una sola coppia ha lo stesso ultimo termine. Quindi i
quattro numeri cercati sono: 16, 63, 33, 56.

Ho scritto una cavolata. Vanno considerati anche i "multipli" di
ciascuna delle 16 terne pitagoriche.
Quindi considero (3,4,5) moltiplicando titti gli elemnti per 5 e (7,24,25).
I quattro numeri sono quindi 15, 20, 7, 24.

[Massimo Grazzini]

Post by lindo
Ho scritto una cavolata. Vanno considerati anche i "multipli" di
ciascuna delle 16 terne pitagoriche.
Quindi considero (3,4,5) moltiplicando titti gli elemnti per 5 e (7,24,25).
I quattro numeri sono quindi 15, 20, 7, 24.

Attenzione però che il problema non richiede che il numero da decomporre sia un quadrato perfetto.
Lavorando con le terne pitagoriche si potrebbero perdere alcune soluzioni.

Massimo Grazzini

[effe]

Post by Elio Fabri
Meno banale: il più piccolo intero che è somma, in due modi diversi,
di due quadrati distinti. (La risposta non la do.)

Penso che debba essere visto come la somma di due quadrati che,
diminuita di 1 deve essere un quadrato. Ho fatto alcuni tentativi
sommando alcuni quadrati e sono arrivato a 50=25+25=49+1 che però non
soddisfa la richiesta e
65=8^2+1^2=7^2+4^2 che penso sia il più piccolo intero richiesto.

Post by Elio Fabri
Ciò posto, chiedo di caratterizzare 2021 come numero speciale.

2021=43^2+2^2*43= 43*(43+4)
Il più piccolo numero di 4 cifre che sia il prodotto di due primi a
distanza 4 della stessa decina. Ma immagino ci siano molte altre
possibili caratterizzazioni.
Non ultima: il numero corrispondente all'anno della vaccinazione
anto-covid del mondo intero :-)

[Elio Fabri]

Post by effe
65=8^2+1^2=7^2+4^2 che penso sia il più piccolo intero richiesto.

Pensi? Andrebbe dimostrato.
Però è la risposta giusta.

Post by effe
2021=43^2+2^2*43= 43*(43+4)
Il più piccolo numero di 4 cifre che sia il prodotto di due primi a
distanza 4 della stessa decina. Ma immagino ci siano molte altre
possibili caratterizzazioni.

Spiacente: la regola esclude l'uso della rappr. decimale.
Però fuochino: hai visto che 2021 = 43*47.
Ancora un piccolo sforzo :-)

Intanto complico il problema.
Trovare un intero che sia somma di due quadrati in *4* modi diversi.

Se non conoscete un certo teorema, dubito che ci arriverete :-)
A meno di non procedere per forza bruta, con un programma.

Suggerisco un esercizio di riscaldamento.
65 è il prodotto di due primi.
Ma non tutti i prodotti di due primi sono somma di due quadrati.
Quali sì? Quali no?
Qual è la regola?

Nota: avevo dimenticato di specificare che 0 va escluso.
Colpa di una certa ambiguità nel significato di "numero naturale".
Si oscilla un po' se includere o no lo 0.
Anche se credo che la prassi matematica consolidata lo includa tra i
naturali.
Ma qui va escluso.

[Elio Fabri]

Post by Elio Fabri
Ma non tutti i prodotti di due primi sono somma di due quadrati.
Quali sì? Quali no?
Qual è la regola?

Chiedo scusa: la domanda è incompleta. La riscrivo.

Non tutti i primi sono somma di due quadrati.
Quali sì? Quali no?
Qual è la regola?
Dopo di che: in quali casi il prodotto di due primi è somma di due
quadrati?

[effe]

Post by Elio Fabri
Non tutti i primi sono somma di due quadrati.
Quali sì? Quali no?
Qual è la regola?
Dopo di che: in quali casi il prodotto di due primi è somma di due
quadrati?

Teorema di Eulero:
1) Ogni primo si può scrivere come somma di due quadrati <-> n=1 (mod4).
I primi numeri primi che verificano sono quindi 1, 5 e 13
5 e 13 sono esprimibili come somma di due quadrati distinti.

2) Il prodotto di due interi, che possono essere scritti come somme di
due quadrati, è esprimibile come somma di due quadrati e in almeno due
modi diversi.

65=13*5=(9+4)*(4+1)=9*4+9*1+4*4+4*1=
(3*2+2*1)^2+(3*1-2*2)^2=64+1
ma anche (3*2-2*1)^2+(3*1+2*2)^2=16+49

Vale anche per 50=10*5=(9+1)*(4+1)=
(3*2+1*1)^2+(3*1-1*2)^2=49+1
ma anche (3*2-1*1)^2+(3*1+1*2)^2=25+25
solo che non sono distinti.

Volendo la somma di 2 quadrati in 4 modi diversi, secondo Eulero,
occorre raddoppiare 4 e scomporre 8 in 2*2*2 e poi dividere per 2 i
fattori trovati e mettere 1 come esponente a tre primi del tipo 4k+1. Ho
scelto 5,13 e17 il cui prodotto è 1105. I quadrati li ho trovati per
tentativi 23^2+24^2=31^2+12^2=32^2+9^2=33^2+4^2

[effe]

Post by Elio Fabri
Però fuochino: hai visto che 2021 = 43*47.
Ancora un piccolo sforzo :-)

Ok. E' la semidifferenza tra il quadrato della somma dei suoi fattori e
la somma dei quadrati dei suoi fattori che sono 43 e 47.

2021=((43+47)^2-(43^2 + 47^2))/2

[Elio Fabri]

Post by effe
Ok. E' la semidifferenza tra il quadrato della somma dei suoi
fattori e la somma dei quadrati dei suoi fattori che sono 43 e 47.
2021=((43+47)^2-(43^2 + 47^2))/2

Scusa ma non ho proprio capito.
Che cosa vuoi dire?
Perché questo lungo giro per dire "il prodotto"?

[effe]

Post by Elio Fabri
Scusa ma non ho proprio capito.
Che cosa vuoi dire?
Perché questo lungo giro per dire "il prodotto"?

(a+b)^2-a^2-b^2=2ab
(43+47)^2-43^2-47^2=2*2021
Dividendo per 2 ottengo 2021

Pensavo volessi accennare al fatto che 2021 si prò scrivere come
[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2 con a=43 e b=47, utilizzando solo i due fattori primi.
Evidentemente sono io a non avere capito cosa intendevi.

[effe]

Post by Elio Fabri
Scusa ma non ho proprio capito.
Che cosa vuoi dire?
Perché questo lungo giro per dire "il prodotto"?

Hai ragione. Adesso che lo riguardo capisco di avere scritto una cazzata

[effe]

Il 02/01/2021 20.50, Elio Fabri ha scritto:

Cerco di pensare a chissà quale caratterizzazione perché hai scritto che
sono vicino a qualcosa. 43*47 mi fa pensare a (45-2)*(45+2)=45^2-2^2 ma
non mi sembra niente di speciale. Dire questo o (90^2-43^-47^2)/2=2021 è
la stessa cosa. Non vedo una particolare caratterizzazione. Non
significa che non ci sia e sicuramente tu hai in mente qualcosa di
speciale.

[effe]

Post by effe
Non vedo una particolare caratterizzazione. Non
significa che non ci sia e sicuramente tu hai in mente qualcosa di
speciale.

Si può però dire che nessuno dei fattori primi che compongono 2021 può
essere scritto come somma di quadrati essendo del tipo 4k+3. Non so se è
una caratterizzazione.

[Elio Fabri]

Post by effe
Si può però dire che nessuno dei fattori primi che compongono 2021
può essere scritto come somma di quadrati essendo del tipo 4k+3. Non
so se è una caratterizzazione.

No, a mio modo di vedere non lo è.
Pensavo che il significato di "caratterizzazione" in matematica fosse
scontato.
Significa dare una o più proprietà che solo quel numero possiede
insieme.
Esmpio: un numero naturale è
1) somma di due quadrati distinti
2) in due modi diversi.
Fin qui, ce ne sono infiniti. Ma se aggiungo
3) è il più piccolo numero che soddisfa 1) e 2)
Allora il risultato è unico:
1), 2), 3) *caratterizzano* 65.

[Massimo Grazzini]

Post by Elio Fabri
Intanto complico il problema.
Trovare un intero che sia somma di due quadrati in *4* modi diversi.

Credo di aver trovato il risultato (dovuto a Fermat) da applicare (anche se sono ben lungi dall'averne una dimostrazione).

Come numero si può prendere 5*13*17 = 1105 = 4^2 + 33^2 = 9^2 + 32^2 = 12^2 + 31^2 = 23^2 + 24^2

Per maggiori dettagli si veda al paragrafo "Generalizzazioni" di

it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Fermat_sulle_somme_di_due_quadrati

Saluti,

Massimo Grazzini

[Elio Fabri]

Post by effe
1) Ogni primo si può scrivere come somma di due quadrati <-> n=1
(mod4).
I primi numeri primi che verificano sono quindi 1, 5 e 13
5 e 13 sono esprimibili come somma di due quadrati distinti.

OK, solo he 1 non è un primo.

Post by effe
2) Il prodotto di due interi, che possono essere scritti come somme di
due quadrati, è esprimibile come somma di due quadrati e in almeno due
modi diversi.

Vero banalmente, grazie all'identità
(a^2 + b^2)(c*2 + d^2) =
(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac - bd)^2 )ad + bc)^2.
Ma se i due fattori sono primi la decomposizione è in due e due soli
modi.

Post by effe
65=13*5=(9+4)*(4+1)=9*4+9*1+4*4+4*1=
(3*2+2*1)^2+(3*1-2*2)^2=64+1
ma anche (3*2-2*1)^2+(3*1+2*2)^2=16+49

OK

Post by effe
Volendo la somma di 2 quadrati in 4 modi diversi, secondo Eulero,
occorre raddoppiare 4 e scomporre 8 in 2*2*2 e poi dividere per 2 i
fattori trovati e mettere 1 come esponente a tre primi del tipo 4k+1.
Ho scelto 5,13 e 17 il cui prodotto è 1105. I quadrati li ho trovati
per tentativi 23^2+24^2=31^2+12^2=32^2+9^2=33^2+4^2

Qui non ho capito niente.
Poi perché tentativi? bastava usare l'identità di cui sopra.

Post by effe
Credo di aver trovato il risultato (dovuto a Fermat) da applicare
(anche se sono ben lungi dall'averne una dimostrazione).

La dimostrazione non era richeista, essendo un teorema ben noto.
La dim. che se un primo (dispari) ò è somma di due quadrati ==> P = 1
(mod 4) è banale.
Mi pare di ricordare che l'implicazione inversa sia invece tutt'altro
che banale.

Post by effe
Come numero si può prendere 5*13*17 = 1105 = 4^2 + 33^2 = 9^2 + 32^2
= 12^2 + 31^2 = 23^2 + 24^2.

OK

Post by effe
Per maggiori dettagli si veda al paragrafo "Generalizzazioni" di
it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Fermat_sulle_somme_di_due_quadrati

Se avessi saputo che c'era in wikipedia, non avrei posto la questione
:-)

[effe]

Post by Elio Fabri
OK, solo he 1 non è un primo.

Sì, mi è scappato.

Post by Elio Fabri

Post by effe
Volendo la somma di 2 quadrati in 4 modi diversi, secondo Eulero,
occorre raddoppiare 4 e scomporre 8 in 2*2*2 e poi dividere per 2 i
fattori trovati e mettere 1 come esponente a tre primi del tipo 4k+1.
Ho scelto 5,13 e 17 il cui prodotto è 1105. I quadrati li ho trovati
per tentativi 23^2+24^2=31^2+12^2=32^2+9^2=33^2+4^2

Qui non ho capito niente.

Ho scritto Eulero ma è Fermat e poi occorre sottrarre 1 (non dividere per 2)

Da
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Fermat_sulle_somme_di_due_quadrati
.....
2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" Fermat spiega il metodo per
trovare un numero intero esprimibile in esattamente n modi diversi come
somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo n e scomponiamo 2n come
prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori,
attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1
modulo 4.
Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come
somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e
3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti
di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: 13^1 ∗
5^2 = 325 che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati.
.....

Post by Elio Fabri
Poi perché tentativi? bastava usare l'identità di cui sopra.

Perchè ho fatto prima. Un paio di quadrati possibili si vedono a occhio.