3987^12 + 4365^12 = 4472^12

[Angelo M.]

La formula in oggetto sembra falsificare il th di Fermat.
In effetti, ovviamente, è sbagliata, ma sembra esatta se la si verifica con una calcolatrice.
L'errore è visibile dopo la dodicesima cifra.

Mi chiedo: come posso fare a scrivere una formula del tipo
A^k + B^k = C^k
(A,B,C,k interi maggiori di 2)
che appaia esatta nelle prime n cifre (n grande a piacere)?

AM

[Karma Explorer]

Post by Angelo M.
La formula in oggetto sembra falsificare il th di Fermat.
In effetti, ovviamente, è sbagliata, ma sembra esatta se la si verifica con una calcolatrice.
L'errore è visibile dopo la dodicesima cifra.
Mi chiedo: come posso fare a scrivere una formula del tipo
A^k + B^k = C^k
(A,B,C,k interi maggiori di 2)
che appaia esatta nelle prime n cifre (n grande a piacere)?

Ti serve qualcosa che utilizzi interi di lunghezza arbitraria, tipo bc:

[***@localhost ~]$ bc
bc 1.06.95
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006 Free Software
Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.
3987^12 + 4365^12
63976656349698612616236230953154487896987106
4472^12
63976656348486725806862358322168575784124416



C'è anche per Windows:

http://gnuwin32.sourceforge.net/packages/bc.htm

[Giorgio Pastore]

Post by Angelo M.
La formula in oggetto sembra falsificare il th di Fermat.
In effetti, ovviamente, è sbagliata, ma sembra esatta se la si
verifica con una calcolatrice.
L'errore è visibile dopo la dodicesima cifra.
Mi chiedo: come posso fare a scrivere una formula del tipo
A^k + B^k  = C^k
(A,B,C,k interi maggiori di 2)
che appaia esatta nelle prime n cifre (n grande a piacere)?

Rileggi con più attenzione la domanda. Sta chiedendo un'altra cosa (e
anche lui potrebbe esprimersi più chiaramente).

[Dourlinski]

Post by Giorgio Pastore
Rileggi con più attenzione la domanda. Sta chiedendo un'altra cosa

piuttosto banale, aggiungo. Magari puo' essere interessante -- per un
dato k e un dato n -- trovare i minimi interi per soddisfare quella
condizione. Forse possono servire le frazioni continue. Ciao

[Angelo M.]

Post by Dourlinski

Post by Giorgio Pastore
Rileggi con più attenzione la domanda. Sta chiedendo un'altra cosa

piuttosto banale, aggiungo. Magari puo' essere interessante -- per un
dato k e un dato n -- trovare i minimi interi per soddisfare quella
condizione. Forse possono servire le frazioni continue. Ciao

A me non sembra tanto banale.
Puoi scrivere due espressioni del tipo
A^k + B^k
e
C^k
che abbiano in comune le prime cento cifre ?

[Dourlinski]

Post by Angelo M.
A me non sembra tanto banale.
Puoi scrivere due espressioni del tipo
A^k + B^k
e
C^k
che abbiano in comune le prime cento cifre ?

k=3, A=10^101, B=qualsiasinumerodi66cziffre, C:=A+1.

Nei termini in cui l'hai posta, e' una questione assolutamente banale.
Ciao

[Giorgio Pastore]

Post by Dourlinski

Post by Angelo M.
A me non sembra tanto banale.
Puoi scrivere due espressioni del tipo
A^k + B^k
e
C^k
che abbiano in comune le prime cento cifre ?

k=3, A=10^101, B=qualsiasinumerodi66cziffre, C:=A+1.
Nei termini in cui l'hai posta, e' una questione assolutamente banale.
Ciao

Ma non aveva posto la domanda su un particolare esempio. Una condizione
generale su A,B,C per dato k è un po' meno banale.

[El Filibustero]

Post by Giorgio Pastore

Post by Dourlinski
Nei termini in cui l'hai posta, e' una questione assolutamente banale.

Ma non aveva posto la domanda su un particolare esempio. Una condizione
generale su A,B,C per dato k è un po' meno banale.

Questo conferma che la quantificazione, nella domanda come e' stata
posta (e riposta) dall'OP, e' incomprensibile. Ciao

[Elio Fabri]

Post by Giorgio Pastore
Ma non aveva posto la domanda su un particolare esempio. Una
condizione generale su A,B,C per dato k è un po' meno banale.

Anche a me sembrava che chiedesse un esempio.
Lo si può rendere meno banale imponendo che A, B, C abbiano lo stesso
numero di cifre.

[Giorgio Pastore]

Post by Elio Fabri

Post by Giorgio Pastore
Ma non aveva posto la domanda su un particolare esempio. Una
condizione generale su A,B,C per dato k è un po' meno banale.

Anche a me sembrava che chiedesse un esempio.

Chiedeva una formula. Ho difficoltà a considerare un esempio con 3
valori particolari di A,B,C una formula. Poi, se vuole, ce lo dirà lui
cosa voleva.

[El Filibustero]

Post by Giorgio Pastore
Chiedeva una formula. Ho difficoltà a considerare un esempio con 3
valori particolari di A,B,C una formula.

A quanto pare invece l'OP non ha difficolta', dato l'oggetto e
l'incipit dell'original post. Ciao

[Angelo M.]

Post by Elio Fabri
Lo si può rendere meno banale imponendo che A, B, C abbiano lo
stesso numero di cifre.

Ecco qua.
Sia n il n. di cifre in cui a^k + b^k e c^k coincidono, m il fissato
n. di cifre di a, b, c.
Dunque
10^(m-1)<= a,b,c < 10^m.
Dobbiamo dimostrare che esiste un m per cui la soluzione è possibile.
Non ho costruito la dimostrazione, ma il seguente algoritmo dovrebbe
funzionare.
1. Si scelgono a, b a piacere, con m cifre e < 5x10^{m-1).
{Questa condizione è sovrabbonante, ma assicura (per qualsiasi k) che
anche c avrà m cifre.}
2. z := a^k + b^k.
3. w := z^(1/k).
4. c := Round(w).
5. c^k e z hanno almeno n cifre in comune?
Se sì, stop.
Altrimenti: a := 10*a; b := 10*b.
Si torna a 2.
k := 3; a := 31; b := 42
a = 31 b = 42
z = 103879
w = 47.008448760313602898727445668244
c = 47
c^3 = 103823
n = 4
a = 310 b = 420
z = 103879000
w = 470.084487603136028987274456682274
c = 470
c^3 = 103823000
n = 4
a = 3100 b = 4200
z = 103879000000
w = 4700.844876031360289872744566825731
c = 4701
c^3 = 103889284101
n = 4
a = 31000 b = 42000
z = 103879000000000
w = 47008.448760313602898727445668240196
c = 47008
c^3 = 103876025024512
n = 5
a = 310000 b = 420000
z = 103879000000000000
w = 470084.487603136028987274456682230760
c = 470084
c^3 = 103878676749552704
n = 5
a = 3100000 b = 4200000
z = 103879000000000000000
w = 4700844.876031360289872744566825296365
c = 4700845
c^3 = 103879008218355851125
n = 8
a = 31000000 b = 42000000
z = 103879000000000000000000
w = 47008448.760313602898727445668235842820
c = 47008449
c^3 = 103879001588972877942849
n = 8
a = 310000000 b = 420000000
z = 103879000000000000000000000
w = 470084487.603136028987274456682187219863
c = 470084488
c^3 = 103879000263096317152502272
n = 9
....
Certamente è una soluzione tutt'altro che ottima.
--
Elio Fabri

Ti sei proprio impegnato! Bello!

Volendo c'è anche
1782^12 + 1841^12=1922^12
che è minimale, e non esce dall'algoritmo.

Comunque questa cosa mi fa pensare sulla possibilità di definire un'algebre approssimativa, dove il segno "=" significhi "quasi lo stesso", e il "quasi" indichi una definita precisione.
E' banale che la matematica applicata sia già così
( che differenza fa, per un fisico, dire che AccaTagliata sia h/2Pi pittosto che 113h/710 ? )
Ma dal punto di vista formale cosa si potrebbe fare?
Un' alfa algebra astratta in cui le equazioni si considerano vere a meno di un errore di piccolezza definita sarebbe piuttosto ricca.
Basti pensare che l'equazione diofantea A^k + B^k = C^k ammetterebbe soluzioni anche per k >2.
Inoltre: si farebbe tranquillamente a meno degli irrazionali.

Un'algebra approssimativa sarebbe protetta dalla prova di incompletezza di Goedel
( il cretese che affermasse che quasi tutti i cretesi siano mentitori non produrrebbe paradosso)

Non so

[Elio Fabri]

Post by Angelo M.
Ti sei proprio impegnato! Bello!

Mica tanto. Una volta capito bc, che non avevo mai usato, si fa in 5
minuti.

Post by Angelo M.
Volendo c'è anche
1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}
che è minimale, e non esce dall'algoritmo.

Forse non hai capito che cosa mi proponevo.
Volevo solo dimostrare empiricamente che "soluzioni che concordano per
un numero prefissato di cifre iniziali sono facili da trovare e sono
infinite. Ovvio che trovare una soluzione minimale è tutt'altra storia.

Non so poi se hai capito dove sta la difficoltà della dimostrazione
che non so dare: sta nei riporti.
Se la condizione non fosse che siano uguali le prime n cifre, ma che i
due risultati, per a^k+b*k e per c^k scartino in senso relativo per
meno di un certo epsilon, tutto sarebbe molto più facile.
Ma se hai
a^k+b^k = 10387900...
e poi
c^k = 103878999...
lo scarto può essere < eps e non passare il test per n=6, per quanti 9
ci siano in c^k.

In realtà credo di aver capito (ma la dim?) che ci siano anche
infinite soluzioni di
a^k + b^k = c^k + 1
e di
a^k + b^k = c^k - 1.
Ho anche visto un esempio della prima per k=3, ma non mi torna.
Te lo ricopio:
(1 +/- 9 m^3)^3 + (9 m^4)^3 + (-9 m^4 +/- 3 m)^3 = 1

Post by Angelo M.
Comunque questa cosa mi fa pensare sulla possibilità di definire
un'algebra approssimativa, dove il segno "=" significhi "quasi lo
stesso", e il "quasi" indichi una definita precisione.

Su questo ti risponderò in un altro post.