ACF
2003-12-06 21:48:04 UTC
Dopo aver capito che non posso proprio andare avanti negli studi senza
capirci qualcosa di algebra vettoriale, ho deciso di farmi finalmente
un'idea di come funzionino gli spazi duali, cosa siano le 1-forme, o forme
differenziali, etc., ed ho trovato in rete questo documento:
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/Analisivettoriale.pdf
Nel capitolo 7 (pagina 16) spiega com'è fatto lo spazio duale, e ho capito,
finalmente, come si fa, stabilita una base dello spazio vettoriale, a
costruire la corrispondente base duale nello spazio duale (gli elementi
della base duale sono le proiezioni, e tutte le altre funzioni lineari sono
combinazioni lineari delle proiezioni). Ho anche capito, finalmente, la
relazione tra ogni vettore v dello spazio vettoriale e la sua corrispondente
funzione (si chiama v-bemolle, o v*, giusto?) nello spazio duale (applicare
la funzione v* ad un vettore u mi fa ottenere lo stesso scalare che ottengo
se faccio il prodotto scalare fra v ed u, e v e v* hanno le stesse
componenti, rispettivamente nella base, fatta di vettori, dello spazio
vettoriale, e nella base duale, fatta di proiezioni, nello spazio duale.
Giusto?)
Primi due dubbi: una funzione _costante_ (cioè tale che associ ad ogni
vettore dello spazio vettoriale _sempre lo stesso scalare_ del campo) _non
è_ un un elemento dello spazio duale, vero? Non mi pare sia lineare.
(cioè, se f(v)=5, per esempio, per ogni vettore dello sp. vett., avrei che
f(u+v)=5, ma f(u)+f(v)=5+5=10)
L'unica eccezione mi pare la funzione costante _nulla_ (che credo sia il
duale del vettore nullo dello spazio vettoriale), giusto?
Andiamo avanti.
Adesso io ho il mio spazio vettoriale, con una base di n vettori, e1..en, e
il mio spazio duale, con la sua base duale formata da n proiezioni,
e*1..e*n. E fin qui ci sono.
Le ultime due righe della pagina 16 del documento linkato lì sopra
forniscono una giustificazione, a quanto pare, della scelta di chiamare le
funzioni e*i, cioè le proiezioni, che costituiscono la base dello spazio
duale, con il nome di dx^i. E io, giuro, non riesco a capire perchè. Mi pare
di aver capito che fa la derivata delle funzioni e*i e le applica ad un
vettore (generico? specifico?) x0, e ritrova la funzione e*i, ma non capisco
perchè. Innanzitutto, le e*i sono funzioni lineari, giusto? E allora la loro
derivata non dovrebbe essere una funzione costante, e quindi _non_
appartenere allo spazio duale (per i motivi di cui sopra)? O le derivate di
cui si parla sono derivate parziali? (In effetti, le funzioni dello spazio
duale sono funzioni lineari in n variabili, no? chessò... f(v)=3x1+2x2+x3,
se sono nel duale di uno spazio vettoriale tridimensionale, è una funzione
di primo grado (lineare) nelle tre variabili x1, x2, x3, no? E quindi
avrebbe senso fare la sua derivata parziale rispetto ad x1, quella rispetto
ad x2, e quella rispetto ad e3, no?) Non riesco a capire che operazione ha
fatto con queste funzioni dello spazio duale. E credo che questo sia un
punto fondamentale, perchè è, se non sbaglio, il punto in cui l'analisi
entra nel gioco, e io non fiesco a capire perchè passa dal parlare di
funzioni di una base di uno spazio di funzioni (le e*i) al parlare di
differenziali di qualcosa (i dx^i).
Credo di avere una grossa confusione in testa proprio nel punto focale del
discorso... qualcuno mi può aiutare?
ACF
capirci qualcosa di algebra vettoriale, ho deciso di farmi finalmente
un'idea di come funzionino gli spazi duali, cosa siano le 1-forme, o forme
differenziali, etc., ed ho trovato in rete questo documento:
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/Analisivettoriale.pdf
Nel capitolo 7 (pagina 16) spiega com'è fatto lo spazio duale, e ho capito,
finalmente, come si fa, stabilita una base dello spazio vettoriale, a
costruire la corrispondente base duale nello spazio duale (gli elementi
della base duale sono le proiezioni, e tutte le altre funzioni lineari sono
combinazioni lineari delle proiezioni). Ho anche capito, finalmente, la
relazione tra ogni vettore v dello spazio vettoriale e la sua corrispondente
funzione (si chiama v-bemolle, o v*, giusto?) nello spazio duale (applicare
la funzione v* ad un vettore u mi fa ottenere lo stesso scalare che ottengo
se faccio il prodotto scalare fra v ed u, e v e v* hanno le stesse
componenti, rispettivamente nella base, fatta di vettori, dello spazio
vettoriale, e nella base duale, fatta di proiezioni, nello spazio duale.
Giusto?)
Primi due dubbi: una funzione _costante_ (cioè tale che associ ad ogni
vettore dello spazio vettoriale _sempre lo stesso scalare_ del campo) _non
è_ un un elemento dello spazio duale, vero? Non mi pare sia lineare.
(cioè, se f(v)=5, per esempio, per ogni vettore dello sp. vett., avrei che
f(u+v)=5, ma f(u)+f(v)=5+5=10)
L'unica eccezione mi pare la funzione costante _nulla_ (che credo sia il
duale del vettore nullo dello spazio vettoriale), giusto?
Andiamo avanti.
Adesso io ho il mio spazio vettoriale, con una base di n vettori, e1..en, e
il mio spazio duale, con la sua base duale formata da n proiezioni,
e*1..e*n. E fin qui ci sono.
Le ultime due righe della pagina 16 del documento linkato lì sopra
forniscono una giustificazione, a quanto pare, della scelta di chiamare le
funzioni e*i, cioè le proiezioni, che costituiscono la base dello spazio
duale, con il nome di dx^i. E io, giuro, non riesco a capire perchè. Mi pare
di aver capito che fa la derivata delle funzioni e*i e le applica ad un
vettore (generico? specifico?) x0, e ritrova la funzione e*i, ma non capisco
perchè. Innanzitutto, le e*i sono funzioni lineari, giusto? E allora la loro
derivata non dovrebbe essere una funzione costante, e quindi _non_
appartenere allo spazio duale (per i motivi di cui sopra)? O le derivate di
cui si parla sono derivate parziali? (In effetti, le funzioni dello spazio
duale sono funzioni lineari in n variabili, no? chessò... f(v)=3x1+2x2+x3,
se sono nel duale di uno spazio vettoriale tridimensionale, è una funzione
di primo grado (lineare) nelle tre variabili x1, x2, x3, no? E quindi
avrebbe senso fare la sua derivata parziale rispetto ad x1, quella rispetto
ad x2, e quella rispetto ad e3, no?) Non riesco a capire che operazione ha
fatto con queste funzioni dello spazio duale. E credo che questo sia un
punto fondamentale, perchè è, se non sbaglio, il punto in cui l'analisi
entra nel gioco, e io non fiesco a capire perchè passa dal parlare di
funzioni di una base di uno spazio di funzioni (le e*i) al parlare di
differenziali di qualcosa (i dx^i).
Credo di avere una grossa confusione in testa proprio nel punto focale del
discorso... qualcuno mi può aiutare?
ACF