Discussione:
linite di funzione con due variabili
(troppo vecchio per rispondere)
pino mugo
2020-11-25 19:30:38 UTC
Permalink
lim (x,y)->(0,0) ( xe^-(y^2 / x )

il libro pagani salsa dice che il limite non esiste, wolfram alpha dice che fa zero, io calcolandolo ( sono passato alle coordinate polari) mi darebbe zero...



Grazie
Vitto' sei fesso
2020-11-25 23:38:30 UTC
Permalink
Post by pino mugo
lim (x,y)->(0,0) ( xe^-(y^2 / x )
il libro pagani salsa dice che il limite non esiste, wolfram alpha dice
che fa zero, io calcolandolo ( sono passato alle coordinate polari) mi
darebbe zero...
Grazie
Vitto' sei fesso
--
Vitto' sei fesso
Elio Fabri
2020-11-26 15:11:38 UTC
Permalink
Post by pino mugo
lim (x,y)->(0,0) ( xe^-(y^2 / x )
il libro pagani salsa dice che il limite non esiste, wolfram alpha
dice che fa zero, io calcolandolo (sono passato alle coordinate
polari) mi darebbe zero...
La tua tastiera non ha le maiuscole?

Premessa: forse il fesso sono io, ma è certo che sono arcistufo dei
post che si leggono da un po' di giorni su questo NG.
A mio giudizio il quesito è del tutto sensato e la risposta non è
banale (s'intende che tutto sta a vedere a che livello ci mettiamo).
Bisognerebbe prima vedere se sei sicuro di conoscere la definizione di
limite in questo contesto...
Ma io non ho intenzione di tenerti una lezione di Analisi, quindi mi
limiterò in primo luogo a darti una risposta telegrafica:

Quel limite non esiste.

Secondo: te ne darò una breve giustificazione che però andrebbe a sua
volta giustificata appunto in base alla def. di limite. Questo non lo
faccio.

Ma debbo in ogni modo fare una premessa sulla definizione della tua
funzione. L'espressione che scrivi ha significato su tutto il piano
(x,y) tranne che per x=0 (asse y).
Quindi i casi sono due:
- o si completa la definizione in modo da coprire anche l'asse y
- o ci si accontenta di una funzione che ha per dominio l'insieme dei
punti con x non nulla.
La prima scelta può avere conseguenze sull'esistenza del limite
richiesto, quindi è meglio lasciarla da parte.
La seconda non ha questa controindicazione, ma può far sorgere un
dubbio: si può definire il limite di una funzione in un punto che non
appartiene al dominio?
Risposta: si può, a condizione che il punto sia di accumulazione per il
dominio.

Ora ti do un criterio sufficiente per escludere l'esistenza del
limite.
Per brevità indicherò con f(x,y) la tua funzione.

"Se esistono due successioni di punti {(x_n,y_n)} convergenti a (0,0)
e tali che le successioni {f(x_n,y_n)} hanno limiti diversi, il limite
di f(x,y) non esiste."

Ed ecco le due successioni:
1. x_n = y_n = 1/n. Verifica che lim f(x_n,y_n) = 0.
2. x_n = -1/n^3, y_n = 1/n. Verifica che lim f(x_n,y_n) = +inf.

Nota che il limite destro della funzione esiste ed è 0.
Per limite destro intendo il limite fatto cosiderando solo i punti con
x>0.
Invece il limite sinistro non esiste:
3. x_n = -1/n^2, y_n = 1/n. Verifica che lim f(x_n,y_n) = 0.
--
Elio Fabri
pino mugo
2020-11-26 23:30:00 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
1. x_n = y_n = 1/n. Verifica che lim f(x_n,y_n) = 0.
2. x_n = -1/n^3, y_n = 1/n. Verifica che lim f(x_n,y_n) = +inf.
Grazie ho capito .
PS: sostituendo in
xe^-(y^2 / x )
la 2 dovrebbe avere come limite -inf ( perchè la x è negativa, l'esponenziale è positivo , il loro prodotto è negativo).
Elio Fabri
2020-11-27 10:07:35 UTC
Permalink
Post by pino mugo
PS: sostituendo in
xe^-(y^2 / x )
la 2 dovrebbe avere come limite -inf (perché la x è negativa,
l'esponenziale è positivo, il loro prodotto è negativo).
Sì certo. Avevo dimenticato la x a moltiplicare.

Ma hai anche capito dove hai sbagliato usando le coord. polari?
--
Elio Fabri
pino mugo
2020-11-28 00:23:26 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Post by pino mugo
PS: sostituendo in
xe^-(y^2 / x )
la 2 dovrebbe avere come limite -inf (perché la x è negativa,
l'esponenziale è positivo, il loro prodotto è negativo).
Sì certo. Avevo dimenticato la x a moltiplicare.
Ma hai anche capito dove hai sbagliato usando le coord. polari?
Trasformo in coordinate polari e poi calcolo il limite per ro-----> 0 :

coordinate polari : (r = ro , t =angolo teta )
x= r* cos t
y= r* sin t

ottengo :
lim ( r------>0) r⋅ cos t ⋅ e^−(r⋅((sin t)^2 / cos t))

tale limite dovrebbe fare zero, indipendentemente da teta . Ma forse questa condizione non è sufficiente epr affermare che il limite esiste ed è unico.

Grazie
Elio Fabri
2020-11-28 10:53:49 UTC
Permalink
tale limite dovrebbe fare zero, indipendentemente da teta. Ma forse
questa condizione non è sufficiente epr affermare che il limite
esiste ed è unico.
Infatti. Il limite che hai scritto vale 0, ma qusto non è cond.
sufficiente.
V. Pagani-Salsa, Oss. 4.2 (pag.210).
--
Elio Fabri
pino mugo
2020-11-30 21:26:07 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
tale limite dovrebbe fare zero, indipendentemente da teta. Ma forse
questa condizione non è sufficiente epr affermare che il limite
esiste ed è unico.
Infatti. Il limite che hai scritto vale 0, ma qusto non è cond.
sufficiente.
V. Pagani-Salsa, Oss. 4.2 (pag.210).
ho l'edizione seconda (2015 ) di Analisi Uno , non ho quella osservazione...
Comunque trovo buffo che un punto del piano XY che giaccia sia su una retta mx che sulla curva x^(1/3) ( cioè appartiene ad entrambe le curve) se lo considero sulla retta il limite è 0 , se invece lo penso sull'altra curva allora il limite è - inf ! ( per entrambe le curve limite calcolato per x ----> 0- )

E' normale quindi? Se mi avvicino all'origine lungo rette il limite è sempre 0 , a prescindere dall'angolo teta.

Ecco perchè i plotter 3d fanno fatica a disegnarla (provato geogebra)
Elio Fabri
2020-12-03 15:09:09 UTC
Permalink
ho l'edizione seconda (2015) di Analisi Uno, non ho quella
osservazione.
Io ho trovato il pdf in rete, ma si riferisce a un'ed. del 1995.
Però avevo sbagliato sia il n. dell'osservazione, sia la pagina: è la
4.1 a pag. 212.
E c'è anche la fig. 4.17, che però mette fuori strada il lettore,
proprio nel senso in cui sei fuori strada tu.
*Non è vero* che un limite im R^n debba essere associato a un curva
che passa per il punto in cui si calcola il limite.
Al più puoi dire che se il limite calcolato su due diverse curve
risulta diverso, quel limite in R^2 *non esiste* (è analogo al criterio
che ti avevo già dato sulle successioni.
Ma se anche ti riuscisse di dimostrare che il limite è lo stesso su
tutte le curve, non so se questo non garantirebbe l'esistenza del
limite in senso proprio.
A pate che nello svilupo della teoria il concetto di curva continua
segue e dipende logicamente da quello di limite.
Comunque trovo buffo che un punto del piano XY che giaccia sia su una
retta mx che sulla curva x^(1/3) ( cioè8 appartiene ad entrambe le
curve) se lo considero sulla retta il limite è 0, se invece lo penso
sull' altra curva allora il limite è -inf ! (per entrambe le curve
limite calcolato per x --> 0-).
Che c'è di buffo? Fai il limite su due curve diverse. Che queste
abbiano uno, due o più punti in comune è irrilvante.
Del resto il limite non dipende dall'intera curva, ma solo dalla sua
parte terminale, piccola quanto si vuole.
In termini assai impropri, si potrebbe dire che dipenda da un "intorno
infinitesimo" del punto limite.
La frase cruciale di Pagani_Sasa è questa:

"La definizione richiede che f(x) tenda a l *indipendentemente* da
*come* x si avvicina a x0; l'unica cosa che conta è che la *distanza*
(euclidea) di x da x0 tenda a zero."

Purtroppo la frase successiva guasta tutto:

"Ad esempio in R^2 x può tendere all'origine O muovendosi lungo rette,
parabole, spirali o qalunque altra "curva" (fig. 5.17)."

Perché dico che guasta tutto? Perché rafforza la concezione "dinamica"
del limite, già infelicemente contenuta nell'espressione "tende a".
(Mi domando come mai il "tende a" non sia ancora stato abrogato!)
Nella definizione tale idea dinamica, di qualcosa che si muove, *non
c'è*, e non è un caso.
Si dice che per tutti i punti x dell'intorno di raggio delta di x0 la
f(x) deve *restare* in un intorno di raggio eps di l.
Si fissa eps a piacere, e deve sempre esistere delta tale che...
--
Elio Fabri
Elio Fabri
2020-12-03 15:15:28 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Ma se anche ti riuscisse di dimostrare che il limite è lo stesso su
tutte le curve, non so se questo non garantirebbe l'esistenza del
limite in senso proprio.
C'è un "non" di troppo: doveva essere
"non so se questo garantirebbe".
--
Elio Fabri
Giorgio Pastore
2020-12-03 15:52:36 UTC
Permalink
Il 03/12/20 16:09, Elio Fabri ha scritto:
....
Post by Elio Fabri
"Ad esempio in R^2 x può tendere all'origine O muovendosi lungo rette,
parabole, spirali o qalunque altra "curva" (fig. 5.17)."
Perché dico che guasta tutto? Perché rafforza la concezione "dinamica"
del limite, già infelicemente contenuta nell'espressione "tende a".
(Mi domando come mai il "tende a" non sia ancora stato abrogato!)
Nella definizione tale idea dinamica, di qualcosa che si muove, *non
c'è*, e non è un caso.
Si dice che per tutti i punti x dell'intorno di raggio delta di x0 la
f(x) deve *restare* in un intorno di raggio eps di l.
Si fissa eps a piacere, e deve sempre esistere delta tale che...
Concordo parzialmente con la tua poca simpatia per il "tende".
E' verissimo che la def di limite non è strettamente dinamica. Ma
neanche la esclude.

"Per ogni X esiste un Y" implica che "per ogni successione X_n esiste
una successione Y_n" e appena hai successioni, hai anche una dinamica,
in senso astratto.

Quello che non funziona, più che la "visione dinamica" è l'idea che la
dinamica debba necessariamente tendere, e magari in modo monotono,
"verso il limite". La def invece dice che una certa proprietà deve
valere per tutte le successioni/dinamiche, anche quelle che "non vano da
nessuna parte". Mi sembra però che la frase tradizionale col "tende" ha
una giustificazione pratica legata al fatto che molto spesso eventuali
problemi nascono, in uno spazio metrico, dagli intorni più piccoli.

Pragmaticamente, dal punto di vista didattico, che risvolti negativi
vedi nel tradizionale "tende"?

Giorgio

Continua a leggere su narkive:
Risultati di ricerca per 'linite di funzione con due variabili' (newsgroup and mailinglist)
6
risposte
Passare parametri a funzioni
iniziato 2003-07-10 08:17:30 UTC
it.comp.lang.c
5
risposte
funzioni di due variabili
iniziato 2005-03-11 10:53:17 UTC
it.scienza.matematica
5
risposte
Curva per due punti
iniziato 2003-08-14 07:53:01 UTC
it.scienza.matematica
25
risposte
come mai non esistono operazioni algebriche con piu di due elementi ?
iniziato 2018-09-19 09:31:21 UTC
it.scienza.matematica
Risultati di ricerca per 'linite di funzione con due variabili' (Domande e Risposte)
5
risposte
Area Under Curve ROC penalizza in qualche modo i modelli con troppe variabili esplicative?
iniziato 2015-09-11 00:26:35 UTC
statistica
1
rispondi
Controllo dei cilindri idraulici con ritardo variabile
iniziato 2015-02-03 05:26:49 UTC
ingegneria
2
risposte
Come funziona un meccanismo di controllo della velocità variabile?
iniziato 2015-04-04 12:20:35 UTC
lavorazione del legno
3
risposte
Combinazione lineare di orbitali atomici
iniziato 2019-03-07 23:59:42 UTC
chimica
6
risposte
Problemi di comprensione con amplificatori operazionali
iniziato 2018-04-09 13:58:33 UTC
elettronica
Discussioni interessanti ma non correlate
5
risposte
I pesi di due liquidi non si sommano se miscelati?
iniziato 2018-12-12 14:41:47 UTC
6
risposte
Qual è la probabilità che un elettrone di un atomo sulla Terra si trovi al di fuori della galassia?
iniziato 2018-12-15 23:30:26 UTC
3
risposte
Perché molto vapore acqueo esce improvvisamente dopo che la fonte di calore dell'acqua bollente è stata rimossa?
iniziato 2018-12-21 07:34:12 UTC
4
risposte
Perché l'acqua in realtà non bagna perfettamente il vetro?
iniziato 2018-12-23 13:41:20 UTC
13
risposte
Se la luce visibile ha più energia delle microonde, perché la luce visibile non è pericolosa?
iniziato 2019-01-07 05:04:50 UTC
Loading...