ho l'edizione seconda (2015) di Analisi Uno, non ho quella
osservazione.
Io ho trovato il pdf in rete, ma si riferisce a un'ed. del 1995.
Però avevo sbagliato sia il n. dell'osservazione, sia la pagina: è la
4.1 a pag. 212.
E c'è anche la fig. 4.17, che però mette fuori strada il lettore,
proprio nel senso in cui sei fuori strada tu.
*Non è vero* che un limite im R^n debba essere associato a un curva
che passa per il punto in cui si calcola il limite.
Al più puoi dire che se il limite calcolato su due diverse curve
risulta diverso, quel limite in R^2 *non esiste* (è analogo al criterio
che ti avevo già dato sulle successioni.
Ma se anche ti riuscisse di dimostrare che il limite è lo stesso su
tutte le curve, non so se questo non garantirebbe l'esistenza del
limite in senso proprio.
A pate che nello svilupo della teoria il concetto di curva continua
segue e dipende logicamente da quello di limite.
Comunque trovo buffo che un punto del piano XY che giaccia sia su una
retta mx che sulla curva x^(1/3) ( cioè8 appartiene ad entrambe le
curve) se lo considero sulla retta il limite è 0, se invece lo penso
sull' altra curva allora il limite è -inf ! (per entrambe le curve
limite calcolato per x --> 0-).
Che c'è di buffo? Fai il limite su due curve diverse. Che queste
abbiano uno, due o più punti in comune è irrilvante.
Del resto il limite non dipende dall'intera curva, ma solo dalla sua
parte terminale, piccola quanto si vuole.
In termini assai impropri, si potrebbe dire che dipenda da un "intorno
infinitesimo" del punto limite.
La frase cruciale di Pagani_Sasa è questa:
"La definizione richiede che f(x) tenda a l *indipendentemente* da
*come* x si avvicina a x0; l'unica cosa che conta è che la *distanza*
(euclidea) di x da x0 tenda a zero."
Purtroppo la frase successiva guasta tutto:
"Ad esempio in R^2 x può tendere all'origine O muovendosi lungo rette,
parabole, spirali o qalunque altra "curva" (fig. 5.17)."
Perché dico che guasta tutto? Perché rafforza la concezione "dinamica"
del limite, già infelicemente contenuta nell'espressione "tende a".
(Mi domando come mai il "tende a" non sia ancora stato abrogato!)
Nella definizione tale idea dinamica, di qualcosa che si muove, *non
c'è*, e non è un caso.
Si dice che per tutti i punti x dell'intorno di raggio delta di x0 la
f(x) deve *restare* in un intorno di raggio eps di l.
Si fissa eps a piacere, e deve sempre esistere delta tale che...
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Elio Fabri