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NON SONO CILINDRI!
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antonio.ma...@gmail.com
2022-06-12 14:25:12 UTC
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son tronchi di cono, non cilindri!

"sembrano" cilidri... ma solo in certi casi...

certo... quando integri f(x)dx, sembra di star integrando un rettangolo...
ma non e' veramente un rettangolo... ma un trapezio... solo che in tal caso non cambia
se infatti integrassi, come si dovrebbe correttamente fare...

[f(x+dx) + f(x)] * dx / 2

cioe' l'area del trapezio rettangolo di basi f(x) e f(x+dx) e altezza dx... otterei...

[f(x) + f'(x)dx + f''(x)dx^2/2 + ... + f(x)] * dx / 2

ovvero...

f(x)dx + f'(x)dx^2/2 + f''(x)dx^3/4 + ...

ma siccome il primo infinitesimo risulta lo stesso... ed e' quello l'unica parte "esatta" che mi serve quindi per ricavarmi la funzione integrale... che tutti gli altri infinitesimi, di ordine superiore, non son certo l'espressione dell'area del trapezoide, ma solo del trapezio... e non vanno considerati...
allora in tal caso rettangolo e trapezio coincidono...

stesso discorso con il volume del solido di rotazione...
se infatti integrassi, come sarebbe corretto fare, il tronco di cono...

[f(x)^2 + f(x+dx)^2 + f(x)f(x+dx)] * dx * pi/3

cioe' il volume di un tronco di raggi f(x) e f(x+dx) e altezza dx... otterrei...

{f(x)^2 + [f(x) + f'(x)dx + ...]^2 + f(x)*[f(x) + f'(x)dx + ...]} * dx * pi/3

ovvero...

[3f(x)^2 + 2f(x)f'(x)dx + ...] * dx * pi/3

e quindi di nuovo...

f(x)^2 * dx * pi + f(x)f'(x) * dx^2 * 2pi/3 + ...

e quindi di nuovo il primo infinitesimo che coincide con l'integrazione di un cilindro...

ma se integro l'area della superficie laterale... allora no che non posso piu' integrare come fosse un cilindro... che altrimenti otterrei...

f(x) * dx * 2pi

ovviamente sbagliando! figurati!
da una retta y=x, nell'intervallo da 0 a 1, ne otterrei una superficie del relativo cono di quanto?
pi?
ti pare che la superficie laterale di un cono di raggio 1 e apotema sqrt(2) sia pi?

stavolta l'integrazione del tronco e non del cilindro diventa obbligatoria
e infatti se integro il tronco ottengo...

[f(x) + f(x+dx)] * sqrt{dx^2 + [f(x+dx) - f(x)]^2} * pi

ovvero...

[f(x) + f(x) + f'(x)dx + ...] * sqrt{dx^2 + [f'(x)dx + ...]^2} * pi

[2f(x) + f'(x)dx + ...] * sqrt[dx^2 + f'(x)^2dx^2 + ...] * pi

2f(x) * sqrt(1 + f'(x)^2) * dx * pi + ...

degli infinitesimi di ordine superiore al primo non mi importa, in quanto l'unica componente infinitesimale esatta sara' solo la prima... e tanto mi basta per integrare

stesso discorso ovviamente per la lunghezza della curva... che integrando come fosse un trapezio, diventa...

sqrt{dx^2 + [f(x+dx) - f(x)]^2}

sqrt{dx^2 + [f'(x)dx + ...]^2}

sqrt[dx^2 + f'(x)^2dx^2 + ...]

sqrt(1 + f'(x)^2) * dx + ...

ora, la domanda sorge spontanea...
perche' al liceo fanno integrare solo la superficie del trapezoide e il volume del solido di rotazione, e non anche la superficie laterale e la lunghezza della curva?
ovvero proprio solo quelle integrazioni che rimangono uguali anche considerando il trapezio un rettangolo e il tronco un cilindro?

solo per poi... quando arrivano all'universita' dire...
sorpresa!
non erano rettangoli e cilindri... ma trapezi e tronchi di cono!
al liceo vi abbiamo imbrogliato... hahaha!
antonio.ma...@gmail.com
2022-06-12 15:00:07 UTC
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tra l'altro un discorso analogo andrebbe fatto anche per le coordinate polari...

ma le coordinate polari non si studiano piu...

perche' i "moderni matematici" son troppo impegnati a studiarsi libri di "econometria"...
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