Discussione:
indici, tensori, e '
Aggiungi Risposta
ngs
2018-11-01 12:33:51 UTC
Rispondi
Permalink
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i. A detta di un
professore è stata una grande invenzione. A me pare un grande abuso di
notazione che potrebbe confondere non poco.
Qualcuno di voi la usa?

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-01 12:36:11 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i.
per indicare cosa?
ngs
2018-11-01 12:42:50 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i.
per indicare cosa?
Diverse variabili. Per es. Z^1, Z^2 sono x, y, e Z^{1'}, Z^{2'} sono r,
theta.

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-01 12:56:25 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i.
per indicare cosa?
Diverse variabili. Per es. Z^1, Z^2 sono x, y, e Z^{1'}, Z^{2'} sono r,
theta.
Non considererei granché diverse le forme Z^{i'} o (Z')^i.

Sono in ogni caso notazioni che "abusano" un po': se indico le
coordinate 2D x e y con Z^i e' ok. Le sto correttamente identificando
con le componenti di un vettore e ne uso la notazione standard.

Ma r e theta cosa sarebbero? Coordinate anche si' ma componenti di un
vettore non direi proprio. Come coordinate dello *stesso punto Z
troverei meglio indicarle con Z^{i'}, a patto di rendr chiaro che non si
tratta di componenti di un vettore.

Per cui il subject dovrebbe essere cambiato in "indici e '" :-)
ngs
2018-11-01 13:18:36 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i.
per indicare cosa?
Diverse variabili. Per es. Z^1, Z^2 sono x, y, e Z^{1'}, Z^{2'} sono
r, theta.
Non considererei granché diverse le forme Z^{i'} o (Z')^i.
Sono in ogni caso notazioni che "abusano" un po': se indico  le
coordinate 2D x e y con Z^i e' ok. Le sto correttamente identificando
con le componenti di un vettore e ne uso la notazione standard.
Ma r e theta cosa sarebbero? Coordinate anche si' ma componenti di un
vettore non direi proprio. Come coordinate dello *stesso punto Z
troverei meglio indicarle con Z^{i'}, a patto di rendr chiaro che non si
tratta di componenti di un vettore.
Per cui il subject dovrebbe essere cambiato in "indici e '" :-)
Aspetterò di avere il quadro completo perché stai assumendo molte cose,
tipo che Z sia un punto, che io non sto assumendo.

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-01 13:23:31 UTC
Rispondi
Permalink
Il 01/11/18 14:18, ngs ha scritto:
....
Post by ngs
Aspetterò di avere il quadro completo perché stai assumendo molte cose,
tipo che Z sia un punto, che io non sto assumendo.
Beh, senza ulteriori informazioni, l'unica era un po' di "reverse
engineering", che notoriamente e' un'attività un po' rischiosa.

Fammi sapere cosa rappresenterebbe Z.
ngs
2018-11-01 14:06:16 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Aspetterò di avere il quadro completo perché stai assumendo molte
cose, tipo che Z sia un punto, che io non sto assumendo.
Beh, senza ulteriori informazioni, l'unica era un po' di "reverse
engineering", che notoriamente e' un'attività un po' rischiosa.
Fammi sapere cosa rappresenterebbe Z.
Per ora è una semplice collezione di coordinate, ma penso di capire cosa
intendi.
Se Z è un punto allora potremmo dire che Z^i = "i(Z)" = x^i(Z) e quindi,
se vogliamo, Z^{i'} = "i'(Z)" = (x')^i(Z).

Kiuhnm
ngs
2018-11-02 12:10:06 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Aspetterò di avere il quadro completo perché stai assumendo molte
cose, tipo che Z sia un punto, che io non sto assumendo.
Beh, senza ulteriori informazioni, l'unica era un po' di "reverse
engineering", che notoriamente e' un'attività un po' rischiosa.
Fammi sapere cosa rappresenterebbe Z.
Comunque, per la cronaca, Z^{i'} = (Z')^i, quindi Z non è un punto nel
contesto in cui l'ho incontrato.

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-02 16:44:28 UTC
Rispondi
Permalink
....
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Fammi sapere cosa rappresenterebbe Z.
Comunque, per la cronaca, Z^{i'} = (Z')^i, quindi Z non è un punto nel
contesto in cui l'ho incontrato.
Le notazioni sono arbitrarie. Alcune di queste divengono anche usuali.

Z^{i'} o (Z')^i potrebbero rappresentare qualsiasi entità. Dal contesto
(il subject con richiamo a idici e tensori) pensavo alle componenti di
un tensore con 1 indice (vettore). Sotto questa ipotesi, le componenti
di un vettore idividuano il vettore e quindi un "punto" nello spazio
vettoriale, eventualmente isomorfo ad unpunto in uno spazio affine, una
volta scelta un'origine (ma qui sto estrapolando).

In breve, a stretto rigore, finche' non spieghi cosa rappresenta Z, da
Z^{i'} = (Z')^i nessuno può dedurre né che Z sia né che non sia un punto.

Giorgio
ngs
2018-11-02 19:47:48 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Fammi sapere cosa rappresenterebbe Z.
Comunque, per la cronaca, Z^{i'} = (Z')^i, quindi Z non è un punto nel
contesto in cui l'ho incontrato.
Le notazioni sono arbitrarie. Alcune di queste divengono anche usuali.
Z^{i'} o (Z')^i potrebbero rappresentare qualsiasi entità. Dal contesto
(il subject con richiamo a idici e tensori) pensavo alle componenti di
un tensore con  1 indice (vettore). Sotto questa ipotesi, le componenti
di un vettore idividuano il vettore e quindi un "punto" nello spazio
vettoriale, eventualmente isomorfo ad unpunto in uno spazio affine, una
volta scelta un'origine (ma qui sto estrapolando).
In breve, a stretto rigore, finche' non spieghi cosa rappresenta Z, da
Z^{i'} = (Z')^i nessuno può dedurre né che Z sia né che non sia un punto.
Beh, ti ho risposto che erano delle variabili.
Per es. il vettore posizione R può essere funzione di x,y,z oppure
r,theta,phi, ecc..., quindi
Z^1 = x, Z^2 = y, Z^3 = z
Z^{1'} = r, Z^{2'} = theta, Z^{3'} = phi.
Il contesto era questo. E' semplice notazione senza un significato
profondo (a differenza del calcolo tensoriale, in generale).

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-02 21:41:51 UTC
Rispondi
Permalink
Il 02/11/18 20:47, ngs ha scritto:
....
Post by ngs
Beh, ti ho risposto che erano delle variabili.
Per es. il vettore posizione R può essere funzione di x,y,z oppure
r,theta,phi, ecc..., quindi
  Z^1 = x, Z^2 = y, Z^3 = z
  Z^{1'} = r, Z^{2'} = theta, Z^{3'} = phi.
Il contesto era questo. E' semplice notazione senza un significato
profondo (a differenza del calcolo tensoriale, in generale).
Un po' più di variabili. Sono coordinate. Quindi avevo ipotizzato
correttamente il loro significato. e anche che non sono componenti di un
vettore (quelle col ' ). E si può considerare Z come un indicatore del
punto.

Stando così le cose la notazione Z^{1'}... non mi sembra
particolarmente malvagia.
mau
2018-11-02 22:09:19 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Beh, ti ho risposto che erano delle variabili.
Per es. il vettore posizione R può essere funzione di x,y,z oppure
r,theta,phi, ecc..., quindi
  Z^1 = x, Z^2 = y, Z^3 = z
  Z^{1'} = r, Z^{2'} = theta, Z^{3'} = phi.
Il contesto era questo. E' semplice notazione senza un significato
profondo (a differenza del calcolo tensoriale, in generale).
Un po' più di variabili. Sono coordinate. Quindi avevo ipotizzato
correttamente il loro significato. e anche che non sono componenti di un
vettore (quelle col ' ). E si può considerare Z come un indicatore del
punto.
Stando così le cose la notazione Z^{1'}... non mi sembra
particolarmente malvagia.
Come nel libro di Pavel Grinfeld? Tuute queste cose mi fanno venire in mente quello...

Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces

M.
ngs
2018-11-02 22:14:19 UTC
Rispondi
Permalink
Post by mau
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Beh, ti ho risposto che erano delle variabili.
Per es. il vettore posizione R può essere funzione di x,y,z oppure
r,theta,phi, ecc..., quindi
  Z^1 = x, Z^2 = y, Z^3 = z
  Z^{1'} = r, Z^{2'} = theta, Z^{3'} = phi.
Il contesto era questo. E' semplice notazione senza un significato
profondo (a differenza del calcolo tensoriale, in generale).
Un po' più di variabili. Sono coordinate. Quindi avevo ipotizzato
correttamente il loro significato. e anche che non sono componenti di un
vettore (quelle col ' ). E si può considerare Z come un indicatore del
punto.
Stando così le cose la notazione Z^{1'}... non mi sembra
particolarmente malvagia.
Come nel libro di Pavel Grinfeld? Tuute queste cose mi fanno venire in mente quello...
Bravo! Sto guardando i suoi video.

Kiuhnm
ngs
2018-11-03 02:39:13 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Beh, ti ho risposto che erano delle variabili.
Per es. il vettore posizione R può essere funzione di x,y,z oppure
r,theta,phi, ecc..., quindi
   Z^1 = x, Z^2 = y, Z^3 = z
   Z^{1'} = r, Z^{2'} = theta, Z^{3'} = phi.
Il contesto era questo. E' semplice notazione senza un significato
profondo (a differenza del calcolo tensoriale, in generale).
Un po' più di variabili. Sono coordinate. Quindi avevo ipotizzato
correttamente il loro significato. e anche che non sono componenti di un
vettore (quelle col ' ). E si può considerare Z come un indicatore del
punto.
Stando così le cose  la notazione Z^{1'}... non mi sembra
particolarmente malvagia.
Z non è un punto, come ho già detto in precedenza. Adesso (sto
proseguendo nello studio), ti posso dire che gli elementi di Z possono
essere variabili, coordinate o vettori di una base.
Z^{i'} = (Z')^i *qualunque sia il contesto*. E' un semplice espediente
notazionale.

Kiuhnm
Giorgio Pastore
2018-11-03 14:19:08 UTC
Rispondi
Permalink
Il 03/11/18 03:39, ngs ha scritto:
....
Post by ngs
Z non è un punto, come ho già detto in precedenza. Adesso (sto
proseguendo nello studio), ti posso dire che gli elementi di Z possono
essere variabili, coordinate o vettori di una base.
Z^{i'} = (Z')^i *qualunque sia il contesto*. E' un semplice espediente
notazionale.
Le notazioni possono essere espressive o anche sorgente di confusione.
Se la notazione di cui parli esprime entita' in relzione con Z
(variabili, coordinate o vettori di una base) allora (Z')^i e'
fuorviante perche' pone un modificatore sul simbolo Z e di norma questo
in matematica significa che Z' non e' la stessa cosa di Z (vero p.es. se
Z e' un punto, un vettore, un poligono, una sfera, una funzione o un
operatore). Indipendentemente dal' uso che si fa del soprascritto.
ngs
2018-11-03 20:04:32 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Z non è un punto, come ho già detto in precedenza. Adesso (sto
proseguendo nello studio), ti posso dire che gli elementi di Z possono
essere variabili, coordinate o vettori di una base.
Z^{i'} = (Z')^i *qualunque sia il contesto*. E' un semplice espediente
notazionale.
Le notazioni possono essere espressive o anche sorgente di confusione.
Se la notazione di cui parli esprime  entita' in relzione con Z
(variabili, coordinate o vettori di una base) allora (Z')^i e'
fuorviante perche' pone un modificatore sul simbolo Z e di norma questo
in matematica significa che Z' non e' la stessa cosa di Z (vero p.es. se
Z e' un punto, un vettore, un poligono, una sfera, una funzione o un
operatore). Indipendentemente dal' uso che si fa del soprascritto.
Adesso che ho il quadro più completo, posso dire che l'apice indica
sempre l'uso di un'altra base (in un modo o nell'altro).
Per vedere la notazione "in azione", potresti dare un'occhiata a un
esercizio che ho appena fatto e trascritto:
[pdf] https://docdro.id/3bemQv9

La dimostrazione che Z_i è covariante è di Grinfeld. Il resto è mio.

Kiuhnm
ngs
2018-11-03 21:52:48 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Pastore
....
Post by ngs
Z non è un punto, come ho già detto in precedenza. Adesso (sto
proseguendo nello studio), ti posso dire che gli elementi di Z possono
essere variabili, coordinate o vettori di una base.
Z^{i'} = (Z')^i *qualunque sia il contesto*. E' un semplice espediente
notazionale.
Le notazioni possono essere espressive o anche sorgente di confusione.
Se la notazione di cui parli esprime  entita' in relzione con Z
(variabili, coordinate o vettori di una base) allora (Z')^i e'
fuorviante perche' pone un modificatore sul simbolo Z e di norma questo
in matematica significa che Z' non e' la stessa cosa di Z (vero p.es. se
Z e' un punto, un vettore, un poligono, una sfera, una funzione o un
operatore). Indipendentemente dal' uso che si fa del soprascritto.
Ho appena visto che per i componenti rispetto a una base non usa Z, ma
altre lettere. Per es.
V = V_i Z^i.
Quindi Z è solo per basi e tensori metrici. L'apice è sempre usato per
indicare un'altra base:
V = V_i Z^i = V_{i'} Z^{i'}.

Kiuhnm
Pangloss
2018-11-04 08:15:56 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Le notazioni possono essere espressive o anche sorgente di confusione.
Se la notazione di cui parli esprime  entita' in relzione con Z
(variabili, coordinate o vettori di una base) allora (Z')^i e'
fuorviante perche' pone un modificatore sul simbolo Z e di norma questo
in matematica significa che Z' non e' la stessa cosa di Z (vero p.es. se
Z e' un punto, un vettore, un poligono, una sfera, una funzione o un
operatore). Indipendentemente dal' uso che si fa del soprascritto.
Ho appena visto che per i componenti rispetto a una base non usa Z, ma
altre lettere. Per es.
V = V_i Z^i.
Quindi Z è solo per basi e tensori metrici. L'apice è sempre usato per
V = V_i Z^i = V_{i'} Z^{i'}.
Andiamo sempre peggio...
Nella sommazione sugli indici ripetuti il nome della variabile e'irrilevante:
sum_i (V_i Z^i) sum_i' (V_{i'} Z^{i'}) sum_k (V_k Z^k) ecc.
sono scritture che denotano il medesimo sviluppo di addendi.

Inoltre i coefficienti sono controvarianti e per convenzione universalmente
adottata bisognerebbe scrivere V^i e non V_i
Solo in basi vettoriali ortonormali risulta essere V^i = V_i

Come osservato da G.Pastore se Z denota un vettore, il simbolo Z' con il
modificatore ' dovrebbe denotare un altro vettore.
Percio' se una base e' denominata I,J,K oppure Z_i (i=1,2..n)
un'altra base andrebbe denominata I',J',K' oppure Z'_i (i=1,2..n)
Il simbolo enumeratore "i" e' irrilevante, puoi sostituirlo con qualsiasi altro
simbolo (i', j, k ecc) senza cambiare nulla.

Continuo a non capire in cosa consista la "grande invenzione", finora ho visto
solo un "grande pasticcio".
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
ngs
2018-11-04 13:07:39 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Pangloss
Continuo a non capire in cosa consista la "grande invenzione", finora ho visto
solo un "grande pasticcio".
Prima leggi il mio pdf (è una singola pagina) dove scrivo anche le
definizioni usate e poi ne riparliamo [https://docdro.id/3bemQv9].
La "grande invenzione" fa risparmiare lettere per gli indici (perché i
!= i') e indica la base tutto in un colpo solo.

L'unica cosa che puoi dire è che non ti piace la notazione. Per quanto
ho potuto vedere finora, tutto quadra alla perfezione e non vi sono
inconsistenze.

Il professore in questione ha anche scritto un libro molto apprezzato:
https://www.amazon.com/dp/1461478669/

Kiuhnm
elreg
2018-11-04 18:47:13 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Post by Pangloss
Continuo a non capire in cosa consista la "grande invenzione", finora ho visto
solo un "grande pasticcio".
Prima leggi il mio pdf (è una singola pagina) dove scrivo anche le
definizioni usate e poi ne riparliamo [https://docdro.id/3bemQv9].
La "grande invenzione" fa risparmiare lettere per gli indici (perché i
!= i') e indica la base tutto in un colpo solo.
L'unica cosa che puoi dire è che non ti piace la notazione. Per quanto
ho potuto vedere finora, tutto quadra alla perfezione e non vi sono
inconsistenze.
https://www.amazon.com/dp/1461478669/
Kiuhnm
[OT] ATTENZIONE!
La pagina citata si legge assai facilmente ma se poi si vuol sapere da chi è garantita la pubblicazione si perviene al sito docdroid.net che propone la iscrizione aggratis. Per la iscrizione chiede il n° della carta di credito giurando che mai preleverà soldi. Come si può leggere su internet pare che il giuramento sia falso. Non posso verificare di persona perchè io il n° della carta di credito lo fornisco solo sotto minaccia di tortura. Comunque complimenti per lo scritto. [OT]
Buona sera. Elreg
mau
2018-11-05 13:38:50 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Pangloss
Post by ngs
Post by Giorgio Pastore
Le notazioni possono essere espressive o anche sorgente di confusione.
Se la notazione di cui parli esprime  entita' in relzione con Z
(variabili, coordinate o vettori di una base) allora (Z')^i e'
fuorviante perche' pone un modificatore sul simbolo Z e di norma questo
in matematica significa che Z' non e' la stessa cosa di Z (vero p.es. se
Z e' un punto, un vettore, un poligono, una sfera, una funzione o un
operatore). Indipendentemente dal' uso che si fa del soprascritto.
Ho appena visto che per i componenti rispetto a una base non usa Z, ma
altre lettere. Per es.
V = V_i Z^i.
Quindi Z è solo per basi e tensori metrici. L'apice è sempre usato per
V = V_i Z^i = V_{i'} Z^{i'}.
Andiamo sempre peggio...
sum_i (V_i Z^i) sum_i' (V_{i'} Z^{i'}) sum_k (V_k Z^k) ecc.
sono scritture che denotano il medesimo sviluppo di addendi.
Inoltre i coefficienti sono controvarianti e per convenzione universalmente
adottata bisognerebbe scrivere V^i e non V_i
Solo in basi vettoriali ortonormali risulta essere V^i = V_i
Come osservato da G.Pastore se Z denota un vettore, il simbolo Z' con il
modificatore ' dovrebbe denotare un altro vettore.
Percio' se una base e' denominata I,J,K oppure Z_i (i=1,2..n)
un'altra base andrebbe denominata I',J',K' oppure Z'_i (i=1,2..n)
Il simbolo enumeratore "i" e' irrilevante, puoi sostituirlo con qualsiasi altro
simbolo (i', j, k ecc) senza cambiare nulla.
Continuo a non capire in cosa consista la "grande invenzione", finora ho visto
solo un "grande pasticcio".
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Ho il libro di Grinfeld che nel complesso non è male. Mi è piaciuta l'idea di un entusiastico revival del calcolo tensoriale classico, diciamo così. La prima parte ha contenuti molto standard ma, in fondo, quando parla di "Calculus on Moving Surfaces", contiene del materiale che non è così banalmente reperibile altrove.

Oltre a ciò il Grinfeld è uno che si attribuisce anche qualche risultato senza sapere (sinceramente o facendo finta di non sapere) che è roba già nota, magari non "ben nota" ma nota. Non entro nel dettaglio.

In effetti però avevo sottovalutato la "stranezza" della notazione relativa al cambio di coordinate. E' chiaro che con Z_i e Z^j (Z grassetto) nel libro si intende la base associata a un sistema di coordinate locali e la corrispondente base duale, e cioè roba del tutto standard, e quello che c'è nel libro e i conti scritti da ngs mi sembrano corretti nella sostanza (proprio dall'uso smodato di Z maiuscole aveva sospettato subito che si trattasse di Grinfeld....). Per denotare gli stessi oggetti associati a un diverso sistema di coordinate però di solito uno (io?) scrive x^k e \tilde{x}^h per le coordinate locali nei due sistemi e in corrispondenza Z_i e Z^j (Z grassetto) e \tilde{Z}_i e \tilde{Z}^j (Z grassetto) per le basi associate e similmente per le componenti covarianti e controvarianti di vettori e tensori (che poi i vettori della basi io li indicherei con g_i e g^j (g grassetto)).

Questo qui invece si inventa l'idea di mettere un apice agli indici e in pratica è come se, sviluppando la sommatoria sottintesa, ci fossero i valori 1 2 3 e poi 1' 2' 3'. Cmq la scritta

V=v_i Z^i= v_{i'} Z^{i'} nella logica del Grinfeld deve essere pensata come sinonimo di quello che altri scriverebbero

V=v_i Z^i= \tilde{v}_{h} \tilde{Z}^{h}

e che secondo me sarebbe molto meglio.


A ripensarci sembra cmq una scelta di notazione spericolata (non l'avevo ben notato perché come sempre quando uno legge qualcosa che già sa, più o meno, capisce anche le cose non ben chiare...) e in ogni caso non è una novità significativa in nessun modo. Ripeto che comunque una volta capita questa cosa quello che c'è nel libro è corretto (a parte qualche altro dettaglio didattico con il quale non sono d'accordo....)

Ripensando al Grinfeld ho poi anche capito l'origine di altre affermazioni di ngs....
ngs
2018-11-05 16:08:48 UTC
Rispondi
Permalink
Post by mau
Ho il libro di Grinfeld che nel complesso non è male. Mi è piaciuta l'idea di un entusiastico revival del calcolo tensoriale classico, diciamo così. La prima parte ha contenuti molto standard ma, in fondo, quando parla di "Calculus on Moving Surfaces", contiene del materiale che non è così banalmente reperibile altrove.
Oltre a ciò il Grinfeld è uno che si attribuisce anche qualche risultato senza sapere (sinceramente o facendo finta di non sapere) che è roba già nota, magari non "ben nota" ma nota. Non entro nel dettaglio.
Aggiungo comunque che nei video dice che l'invenzione degli apici per il
cambio di base non è sua.
Dai video mi sembra una persona intellettualmente onesta e inoltre non
taglia i punti dove s'incarta, ma anzi ci scherza sopra.
Post by mau
V=v_i Z^i= v_{i'} Z^{i'} nella logica del Grinfeld deve essere pensata come sinonimo di quello che altri scriverebbero
V=v_i Z^i= \tilde{v}_{h} \tilde{Z}^{h}
e che secondo me sarebbe molto meglio.
Poi però come rappresenti la matrice Jacobiana per il cambio di base?
Con la convenzione di Grinfeld basta scrivere, per es., J_{i'}^i e si
capisce subito che cosa indica.
Penso si possa dire che nella notazione di Grinfeld le lettere indicano
il tipo d'oggetto, mentre gli indici fanno tutto il lavoro.
E' chiaro che se si usano 3 basi crolla tutto a meno di non usare ''.
Post by mau
A ripensarci sembra cmq una scelta di notazione spericolata (non l'avevo ben notato perché come sempre quando uno legge qualcosa che già sa, più o meno, capisce anche le cose non ben chiare...) e in ogni caso non è una novità significativa in nessun modo. Ripeto che comunque una volta capita questa cosa quello che c'è nel libro è corretto (a parte qualche altro dettaglio didattico con il quale non sono d'accordo....)
Ripensando al Grinfeld ho poi anche capito l'origine di altre affermazioni di ngs....
Come si evince anche da un altro thread, sto anche studiando i tensori
in modo più astratto, forme differenziali e perfino l'algebra geometrica
che promette di semplificare e unificare tutto. Alla fine dovrei avere
un quadro piuttosto completo.
Le cose che scrivo le scrivo perché ancora non ho il quadro completo e a
volte estrapolo giungendo a conclusioni sbagliate!

Kiuhnm
mau
2018-11-05 16:21:44 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Poi però come rappresenti la matrice Jacobiana per il cambio di base?
Con la convenzione di Grinfeld basta scrivere, per es., J_{i'}^i e si
capisce subito che cosa indica.
Sì, è vero. Io scriverei \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j} come in tutti i vecchi libri di calcolo tensoriale e la sua notazione abbrevia questa espressione (vedi pag. 46 eq. 4.70) , però secondo me non vale la pena fare come propone lui (vedi anche la confusione che è venuta fuori qui, a ragione).

M.
Giorgio Bibbiani
2018-11-05 17:16:17 UTC
Rispondi
Permalink
Il 05/11/2018 14.38, mau ha scritto:
...
Post by mau
Questo qui invece si inventa l'idea di mettere un apice agli indici e
Proprio un'invenzione non è, ad es. in MTW "Gravitation"
(che è precedente) si usa quella convenzione in tutto il
testo.
Post by mau
in pratica è come se, sviluppando la sommatoria sottintesa, ci
fossero i valori 1 2 3 e poi 1' 2' 3'. Cmq la scritta
V=v_i Z^i= v_{i'} Z^{i'} nella logica del Grinfeld deve essere
pensata come sinonimo di quello che altri scriverebbero
V=v_i Z^i= \tilde{v}_{h} \tilde{Z}^{h}
e che secondo me sarebbe molto meglio.
Mi sembra che nelle formule sopra tutte le "v"
dovrebbero essere contemporaneamente o maiuscole
o minuscole; detto ciò penso che lo scopo di
scrivere V_{i'} al posto di V'_{i} sia sottolineare
che l'oggetto geometrico V ha una natura che è
indipendente dalla scelta e anche dalla eventuale
definizione di un sistema coordinato, perciò gli
si dà lo stesso nome, sono solo le sue componenti
in un riferimento coordinato che cambiano al
cambiare delle coordinate (per le Z^i il problema
non si pone, dato che l'indice lì dice solo di
quale vettore, o meglio 1-forma visto l'indice
in alto, di base si tratti, non quali siano
le sue "coordinate").

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
mau
2018-11-05 18:10:16 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Giorgio Bibbiani
...
Post by mau
Questo qui invece si inventa l'idea di mettere un apice agli indici e
Proprio un'invenzione non è, ad es. in MTW "Gravitation"
(che è precedente) si usa quella convenzione in tutto il
testo.
Appero', so di che libr(one) parli ma non avevo presente. Dovrei dire che mi arrendo ma invece dico che non mi piace lo stesso...
Post by Giorgio Bibbiani
Post by mau
in pratica è come se, sviluppando la sommatoria sottintesa, ci
fossero i valori 1 2 3 e poi 1' 2' 3'. Cmq la scritta
V=v_i Z^i= v_{i'} Z^{i'} nella logica del Grinfeld deve essere
pensata come sinonimo di quello che altri scriverebbero
V=v_i Z^i= \tilde{v}_{h} \tilde{Z}^{h}
e che secondo me sarebbe molto meglio.
Mi sembra che nelle formule sopra tutte le "v"
dovrebbero essere contemporaneamente o maiuscole
o minuscole;
Concordo, in effetti. Per la fretta non l'ho fatto.

detto ciò penso che lo scopo di
Post by Giorgio Bibbiani
scrivere V_{i'} al posto di V'_{i} sia sottolineare
che l'oggetto geometrico V ha una natura che è
indipendente dalla scelta e anche dalla eventuale
definizione di un sistema coordinato, perciò gli
si dà lo stesso nome, sono solo le sue componenti
in un riferimento coordinato che cambiano al
cambiare delle coordinate (per le Z^i il problema
non si pone, dato che l'indice lì dice solo di
quale vettore, o meglio 1-forma visto l'indice
in alto, di base si tratti, non quali siano
le sue "coordinate").
Mah, nella mia visione se scrivo v_h intendo le componenti di v nel sistema di coordinate x^k mentre con \tilde{v}_h le componenti nel sistema di coordinate con tilde ecc. La presenza del tilde non indica un diverso oggetto ma solo un diverso sistema di coordinate. Non è come se scrivessi \tilde{\mathbf v}} che sarebbe diverso da {\mathbf v}. La presenza degli indici (in alto o in basso) sottintende che si tratta di componenti di un oggetto. Ovviamente tu potresti chiedermi cosa farei per indicare le componenti di \tilde{\mathbf v}} nel sistema di coordinate \tilde{x}^k ... (doppio tilde?) Non saprei, ma se uno insiste ogni notazione ha dei limiti.

Ho controllato, per tirare in ballo i pesi massimi, e Einstein (1916) usa un apice ma appena dopo il simbolo della quantità e non sull'indice, tipo

A'^{h} e A^{h} e via (va be' indici greci...)

Cmq ci siamo capiti.

M.
Pangloss
2018-11-05 20:34:29 UTC
Rispondi
Permalink
Post by mau
Post by Giorgio Bibbiani
...
detto ciò penso che lo scopo di
scrivere V_{i'} al posto di V'_{i} sia sottolineare
che l'oggetto geometrico V ha una natura che è
indipendente dalla scelta e anche dalla eventuale
definizione di un sistema coordinato, perciò gli
si dà lo stesso nome, sono solo le sue componenti
in un riferimento coordinato che cambiano al
cambiare delle coordinate (per le Z^i il problema
non si pone, dato che l'indice lì dice solo di
quale vettore, o meglio 1-forma visto l'indice
in alto, di base si tratti, non quali siano
le sue "coordinate").
.....
Ho controllato, per tirare in ballo i pesi massimi, e Einstein (1916) usa un apice ma
appena dopo il simbolo della quantità e non sull'indice, tipo A'^{h} e A^{h} e via ...
Nel mio primo post (datato 03/11) avevo appunto supposto che la notazione con l'apice
sull'indice fosse quella che sull'autorevole Wald "General Relativity" e' chiamata una
"abstract index notation", usata per designare il tensore (oggetto intrinseco) con un
simbolo diverso (ma simile) a quello delle sue componenti (dipendenti dalla base).

A tale scopo MTW ed Einstein si avvalgono di un apice sugli indici, Wald usa indici
latini per il tensore e greci per le componenti, nel mio lavoro sui tensori oo uso
una barra laterale analoga alla sopralineatura usuale per i vettori:
http://pangloss.ilbello.com/Matematica/tensori_preview_1503.pdf

Non e' certo il simbolo grafico che conta, IMO e' l'uso di simboli distinti per
tensori e componenti che e' concettualmente importante.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
mau
2018-11-07 08:03:45 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Pangloss
A tale scopo MTW ed Einstein si avvalgono di un apice sugli indici,
E' vero per MTW ma Einstein nel "The Foundation of the General Theory of Relativity" mette gli apici alle quantità e non agli indici.

Per un vettore per esempio scrive A^h e A'^{h} per le componenti (controvarianti) in due diversi sistemi, un po' come se fosse A^h e \tilde{A}^h. L'apice non è sull'indice, ma si riferisce alla lettera che indica la quantità. (gli indici sono greci, nel suo caso , ma questo è inessenziale).

Giusto per precisione.

Pangloss
2018-11-03 16:31:59 UTC
Rispondi
Permalink
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i. A detta di un
professore è stata una grande invenzione. A me pare un grande abuso di
notazione che potrebbe confondere non poco.
Qualcuno di voi la usa?
Come gia' detto da Giorgio Pastore, il subject "indici,tensori" fa pensare che
tu stia parlando di notazioni usate in tale ambito, ma se non specifichi bene
il contesto l'intero thread appare incomprensibile.

Voglio fare anch'io un poco di "reverse engineering" partendo dalla ragionevole
assunzione che il professore _non_ sia un cretino.
Una "grande invenzione" non puo' certo ridursi ad una banale scelta di notazioni.
Presumo percio' che Z^{i'} e (Z')^i debbano denotare cose ben diverse, sebbene
sembrino riferirsi entrambe ad un vettore (tensore di rango uno controvariante).

E' consuetudine denotare un tensore tramite le sue componenti (scalari aventi
certe proprieta' di trasformazione), ben pochi (tra cui lo scrivente) distinguono
il tensore (ente algebrico intrinseco) dalle sue componenti (dipendenti dalla
base scelta) per mezzo di una apposita notazione "ad indici astratti".
Usare notazioni diverse per un vettore (ente algebrico intrinseco) e per le sue
componenti scalari non e' una grande invenzione, ma e' un grande miglioramento
formale. Potrebbe essere questa la differenza di notazioni proposta dal prof.

Puoi trovare maggiori chiarimenti nella sezione 2.5 della mia monografia:

http://pangloss.ilbello.com/Matematica/tensori_preview_1503.pdf
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
ngs
2018-11-03 20:08:45 UTC
Rispondi
Permalink
Post by Pangloss
Post by ngs
Ho visto che qualcuno scrive Z^{i'} al posto di (Z')^i. A detta di un
professore è stata una grande invenzione. A me pare un grande abuso di
notazione che potrebbe confondere non poco.
Qualcuno di voi la usa?
Come gia' detto da Giorgio Pastore, il subject "indici,tensori" fa pensare che
tu stia parlando di notazioni usate in tale ambito, ma se non specifichi bene
il contesto l'intero thread appare incomprensibile.
Voglio fare anch'io un poco di "reverse engineering" partendo dalla ragionevole
assunzione che il professore _non_ sia un cretino.
Una "grande invenzione" non puo' certo ridursi ad una banale scelta di notazioni.
Presumo percio' che Z^{i'} e (Z')^i debbano denotare cose ben diverse, sebbene
sembrino riferirsi entrambe ad un vettore (tensore di rango uno controvariante).
Vedi la mia risposta a Giorgio Pastore.

Kiuhnm
Loading...