giochino 59: tangente a una cubica

[lindo]

Questo problema di Diego Rattaggi non sono riuscito a risolverlo in
maniera "umana". Finora ho visto solo risoluzioni numeriche.
https://pbs.twimg.com/media/EmKkmq1WkAE5Dgx?format=png

[El Filibustero]

Post by lindo
Questo problema di Diego Rattaggi non sono riuscito a risolverlo in
maniera "umana". Finora ho visto solo risoluzioni numeriche.
https://pbs.twimg.com/media/EmKkmq1WkAE5Dgx?format=png

e ti aspetti una costruzione riga-compasso o una soluzione algebrica
per un problema di setso grado? Ciao

[Alberto Rasà]

Il giorno venerdì 13 novembre 2020 alle 11:12:18 UTC+1 El Filibustero ha scritto:
...

Post by El Filibustero
e ti aspetti una costruzione riga-compasso o una soluzione algebrica
per un problema di sesto grado? Ciao

Ho bisogno di una piccola consulenza tecnica/ripasso di algebra (siate clementi :-)):
un'equazione algebrica di sesto grado in x, che so avere esattamente due soluzioni distinte (ignote) a, b > 0 come si scrive?
Evidentemente non (x-a)^3(x-b)^3 perché non mi torna: a*b mi viene negativo; devono essere entrambe > 0 perché sono le coordinate x dei punti di contatto tra il cerchio generico
(x-x_0)^2+(y+r)^2=r^2 => (x-x_0)^2+y^2+2ry=0
e la curva
y=x^3-3x^2
e devono entrambe essere comprese tra 0 e 3 (quindi, in particolare, positive).

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Post by Alberto Rasà
un'equazione algebrica di sesto grado in x, che so avere esattamente
due soluzioni distinte (ignote) a, b > 0 come si scrive?
...
e devono entrambe essere comprese tra 0 e 3 (quindi, in particolare, positive).

Il fatto è che nella tua domanda ci sono diversi errori :-)

Un'eq. di grado 6 ha esattamente 6 radici.
Però
a) alcune possono essere complesse, quindi nel piano reale (x,y) non le
vedi
b) alcune possono essere coincidenti, a coppie o più.

L'informazione che cubica e circonf. sono *bitangenti* ti dice che tra
le radici *reali* ci saranno *due* coppie coincidenti, e non è escluso
che possano coincidere in tre, nel qual caso la circ. è *osculatrice*
alla cubica.

Dato che le radici complesse sono in numero pari (a due a due
coniugate) le possibilità per il numero di radici reali sono solo 0,
2, 4, 6.
0 è escluso e anche due, dato che debbono esserci almeno due coppie
coincidenti.
Se sono 4 a due a due coincidenti, abbiamo una vera bitangenza (come
mostra la figura). Però potrebbbero anche coincidere tutte e 4. Non so
come si dice: forse iperosculatore?
Se sono 6, potrebbero essere due coppie più altre due distinte, oppure
coincidenti in due terne (osculatrici).

Inoltre non è detto che la soluzione sia unica. Non ti anticipo il mio
risultato...
Non è facile imporre in partenza la condizione 0<a<b<3, mentre se
imponi solo la condizione che ci siano due coppie coincidenti ne
troverai diverse e potrai scegliere a posteriori quale (o quali)
soddisfa la disuguaglianza.

Riassumendo: la strada che stai seguendo si precisa così.
1. Dalle due eq. della cubica e della circonf. elimini y e ottieni
un'eq. di grado 6 in x che contiene come parametri x0 e r.
2. Dalla condizione di bitangenza hai che l'eq. deve avere la forma
(x-a)^2 (x-b)^" (x^2 + cx + d) = 0.
3. Imponi che i due polinomi siano identici, il che ti dà giusto 6
condizioni: un sistema per i 6 parametri x0, r, a, b, c, d.
4. Risolvi il sistema.

Non è la strada che ho seguito io, e qualcosa mi farebbe pensare che
sia una strada più semplice della mia.
Quindi t'incoraggio a provare :-)

[Alberto Rasà]

Il giorno lunedì 16 novembre 2020 alle 16:59:45 UTC+1 Elio Fabri ha scritto:
...

Post by Elio Fabri
Un'eq. di grado 6 ha esattamente 6 radici.
Però
a) alcune possono essere complesse, quindi nel piano reale (x,y) non le
vedi

Già. Che "smemorazione" :-)

Post by Elio Fabri
b) alcune possono essere coincidenti, a coppie o più.
L'informazione che cubica e circonf. sono *bitangenti* ti dice che tra

...

Post by Elio Fabri
Non è facile imporre in partenza la condizione 0<a<b<3, mentre se
imponi solo la condizione che ci siano due coppie coincidenti ne
troverai diverse e potrai scegliere a posteriori quale (o quali)
soddisfa la disuguaglianza.

Si, era questa l'idea.

Post by Elio Fabri
Riassumendo: la strada che stai seguendo si precisa così.
1. Dalle due eq. della cubica e della circonf. elimini y e ottieni
un'eq. di grado 6 in x che contiene come parametri x0 e r.
2. Dalla condizione di bitangenza hai che l'eq. deve avere la forma
(x-a)^2 (x-b)^2 (x^2 + cx + d) = 0.

Ah, ecco!
Oppure, specificando il fatto che il polinomio di secondo grado ha solo radici complesse:
(x-a)^2 (x-b)^2 [(x-alpha)^2 + beta^2) = 0

Post by Elio Fabri
3. Imponi che i due polinomi siano identici, il che ti dà giusto 6
condizioni: un sistema per i 6 parametri x0, r, a, b, c, d.
4. Risolvi il sistema.
Non è la strada che ho seguito io, e qualcosa mi farebbe pensare che
sia una strada più semplice della mia.
Quindi t'incoraggio a provare :-)

Si, si, l'ho visto com'è più semplice! (<-- ironic phrase :-)

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

Post by Alberto Rasà
un'equazione algebrica di sesto grado in x, che so avere esattamente
due soluzioni distinte (ignote) a, b > 0 come si scrive?
Evidentemente non (x-a)^3(x-b)^3
perché non mi torna: a*b mi viene negativo; devono essere entrambe > 0
perché sono le coordinate x dei punti di contatto tra il cerchio generico
(x-x_0)^2+(y+r)^2=r^2 => (x-x_0)^2+y^2+2ry=0
e la curva
y=x^3-3x^2

Nella fattispecie del giochino in oggetto, l'equazione risolvente in
termini delle radici doppie incognite e'

(xx + (2a+2b-6)x + 3aa+4ab-12a+3bb-12b+9)(x-a)^2(x-b)^2 (*)

dove a,b sono le ascisse di contatto tra la cubica e la circonferenza.
Non e' (x-a)^3(x-b)^3 perche' a e b sono radici doppie, non triple. La
parentesi

(xx + (2a+2b-6)x + 3aa+4ab-12a+3bb-12b+9)

e' giustificata dal fatto che deve coincidere ai gradi 4,5,6 con la
risolvente in termini di centro e raggio:

x^6 - 6 x^5 + 9 x^4 + 2r*x^3 + xx(1-6r) - 2*x_0*x + x_0^2 = 0 (**)

Imponendo la coincidenza di (*) e (**) anche nei gradi 0,1,2,3, ne
conseguono due equazioni simmetriche in a e b, una di 4 grado

3(aaaa+bbbb)+12(aaab+abbb)+15(aabb)-30(aab+abb)-45(aa+bb)-36ab+54(a+b)-1=0

e l'altra di 12 grado che si spezza nei fattori

aabb=0,

3(aa+bb)+4ab-12(a+b)+9=0,

3(aaaabb+aabbbb)+4aaabbb-12(aaabb+aabbb)+9aabb-1=0

una volta trovata (se possibile) la soluzione del sistema (che
numericamente vale, nel nostro caso

a=~0.79999363787341284296298226261794836983335
b=~2.85193070409827592409360624995547257917603

o viceversa, importasega), si ha

r=2(aaa+bbb)+3(aab+abb)-9(aa+bb)-12ab+9(a+b)
=~1.06021721501668227452656442493927794415067

Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
Imponendo la coincidenza di (*) e (**) anche nei gradi 0,1,2,3, ne
conseguono due equazioni simmetriche in a e b, una di 4 grado
3(aaaa+bbbb)+12(aaab+abbb)+15(aabb)-30(aab+abb)-45(aa+bb)-36ab+54(a+b)-1=0

Oooops, errata: la corretta e'

3(aaaa+bbbb)+12(aaab+abbb)+15(aabb)-24(aaa+bbb)-66(aab+abb)+
+63(aa+bb)+108ab-54(a+b)-1

Post by El Filibustero
e l'altra di 12 grado

10 grado

Post by El Filibustero
che si spezza nei fattori
aabb=0,

e

9(aaaaaa+bbbbbb) + 36(aaaaab+abbbbb) + 72(aaaabb+aabbbb) + 90aaabbb
- 72(aaaaa+bbbbb) - 270(aaaab+abbbb) - 468(aaabb+aabbb)
+ 198(aaaa+bbbb) + 666(aaab+abbb) + 945aabb
- 216(aaa+bbb) - 594(aab+abb)
+ 78(aa+bb) + 158ab
+ 12(a+b)
- 9

Post by El Filibustero
una volta trovata (se possibile) la soluzione del sistema (che
numericamente vale, nel nostro caso
a=~0.79999363787341284296298226261794836983335
b=~2.85193070409827592409360624995547257917603
o viceversa, importasega), si ha
r=2(aaa+bbb)+3(aab+abb)-9(aa+bb)-12ab+9(a+b)
=~1.06021721501668227452656442493927794415067

Tutte queste approssimazioni sono valide. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
r=2(aaa+bbb)+3(aab+abb)-9(aa+bb)-12ab+9(a+b)

r = -[2(aaa+bbb)+3(aab+abb)-9(aa+bb)-12ab+9(a+b)]

[Alberto Rasà]

Post by El Filibustero
Nella fattispecie del giochino in oggetto, l'equazione risolvente in
termini delle radici doppie incognite e'
(xx + (2a+2b-6)x + 3aa+4ab-12a+3bb-12b+9)(x-a)^2(x-b)^2 (*)

Mi torna.

Post by El Filibustero
dove a,b sono le ascisse di contatto tra la cubica e la circonferenza.
Non e' (x-a)^3(x-b)^3 perche' a e b sono radici doppie, non triple. La
parentesi
(xx + (2a+2b-6)x + 3aa+4ab-12a+3bb-12b+9)
e' giustificata dal fatto che deve coincidere ai gradi 4,5,6 con la
x^6 - 6 x^5 + 9 x^4 + 2r*x^3 + xx(1-6r) - 2*x_0*x + x_0^2 = 0 (**)

Si.

Post by El Filibustero
Imponendo la coincidenza di (*) e (**) anche nei gradi 0,1,2,3, ne
conseguono due equazioni simmetriche in a e b, una di 4 grado
3(aaaa+bbbb)+12(aaab+abbb)+15(aabb)-30(aab+abb)-45(aa+bb)-36ab+54(a+b)-1=0
e l'altra di 10 grado

Gulp!

che si spezza nei fattori

Post by El Filibustero
aabb=0,
aaaaaa+bbbbbb) + 36(aaaaab+abbbbb) + 72(aaaabb+aabbbb) + 90aaabbb

- 72(aaaaa+bbbbb) - 270(aaaab+abbbb) - 468(aaabb+aabbb)
+ 198(aaaa+bbbb) + 666(aaab+abbb) + 945aabb
- 216(aaa+bbb) - 594(aab+abb)
+ 78(aa+bb) + 158ab
+ 12(a+b)
- 9

Gulp^2!

Post by El Filibustero
a=~0.79999363787341284296298226261794836983335
b=~2.85193070409827592409360624995547257917603

...

Post by El Filibustero
r=2(aaa+bbb)+3(aab+abb)-9(aa+bb)-12ab+9(a+b)
=~1.06021721501668227452656442493927794415067

Figurati se ci sarei arrivato... :-)

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
Imponendo la coincidenza di (*) e (**) anche nei gradi 0,1,2,3, ne
conseguono due equazioni simmetriche in a e b, una di 4 grado
3(aaaa+bbbb)+12(aaab+abbb)+15(aabb)-30(aab+abb)-45(aa+bb)-36ab+54(a+b)-1=0
e l'altra di 10 grado

Gulp!

Se preferisci un approccio meno algebrico e piu' trascendentale,
invece di cercare la circonferenza, cerchiamo la cubica.

Usiamo la circonferenza gognometrica e cerchiamo quella cubica che e'
tangente a essa, tangente a y=1 e ha la stessa forma di y=xxx-3xx. Una
cubica del genere ha equazione

y = rr(x+o)^3 - 3r(x+o)^2 + 1 (*)

dove o e' un offset di traslazione, r il fattore di similitudine che
-- guarda caso -- coincide con il raggio che e' soluzione del
problema originale. Se vogliamo che (*) sia tangente alla
circonferenza gognometrica nei punti U=((cos(u),sin(u)) e
V=((cos(v),sin(v)), si tratta di risolvere il seguente sistema in 4
equazioni nelle 4 incognite o,r,u,v:

rr(cos(u)+o)^3 - 3r(cos(u)+o)^2 + 1 = sin(u)
rr(cos(v)+o)^3 - 3r(cos(v)+o)^2 + 1 = sin(v)
sin(u)(3rr*cos(u)^2 + 6r*cos(u)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(u)=0
sin(v)(3rr*cos(v)^2 + 6r*cos(v)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(v)=0

La prima e la seconda sono i rispettivi passaggi per U e V, la terza e
la quarta le rispettive tangenze. Ciao

[El Filibustero]

Post by El Filibustero
Se preferisci un approccio meno algebrico e piu' trascendentale,

che poi e' trascendentale per modo di dire, dato che sin e cos non

Post by El Filibustero
rr(cos(u)+o)^3 - 3r(cos(u)+o)^2 + 1 = sin(u)
rr(cos(v)+o)^3 - 3r(cos(v)+o)^2 + 1 = sin(v)
sin(u)(3rr*cos(u)^2 + 6r*cos(u)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(u)=0
sin(v)(3rr*cos(v)^2 + 6r*cos(v)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(v)=0

una volta sostituiti cos(u) con w e cos(v) con z, e' l'algebrico

(rr(w+o)^3 - 3r(w+o)^2 + 1)^2 = 1-ww
(rr(z+o)^3 - 3r(z+o)^2 + 1)^2 = 1-zz
(1-ww)(3rrww + 6rw(or-1) + 3or(or-2))^2 = ww
(1-zz)(3rrzz + 6rz(or-1) + 3or(or-2))^2 = zz

che in fin dei conti non e' tanto piu' semplice dell'altro. Ciao

[Elio Fabri]

Post by El Filibustero
che poi e' trascendentale per modo di dire, dato che sin e cos non

Però sin e cos sono funzioni *trascendenti*, non trascendentali.

[Alberto Rasà]

Post by El Filibustero
Se preferisci un approccio meno algebrico e piu' trascendentale,
invece di cercare la circonferenza, cerchiamo la cubica.
Usiamo la circonferenza gognometrica e cerchiamo quella cubica che e'
tangente a essa, tangente a y=1 e ha la stessa forma di y=xxx-3xx. Una
cubica del genere ha equazione
y = rr(x+o)^3 - 3r(x+o)^2 + 1 (*)

Carina come idea.

Post by El Filibustero
dove o e' un offset di traslazione, r il fattore di similitudine che
-- guarda caso -- coincide con il raggio che e' soluzione del
problema originale. Se vogliamo che (*) sia tangente alla
circonferenza gognometrica nei punti U=((cos(u),sin(u)) e
V=((cos(v),sin(v)), si tratta di risolvere il seguente sistema in 4
rr(cos(u)+o)^3 - 3r(cos(u)+o)^2 + 1 = sin(u)
rr(cos(v)+o)^3 - 3r(cos(v)+o)^2 + 1 = sin(v)
sin(u)(3rr*cos(u)^2 + 6r*cos(u)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(u)=0
sin(v)(3rr*cos(v)^2 + 6r*cos(v)(or-1) + 3or(or-2)) + cos(v)=0
La prima e la seconda sono i rispettivi passaggi per U e V, la terza e
la quarta le rispettive tangenze. Ciao

Ma di fatto è sempre di sesto grado in sin o cos perché prima o poi si dovrà scrivere sin^2+cos^2=1, no?

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Post by lindo
Questo problema di Diego Rattaggi non sono riuscito a risolverlo in
maniera "umana". Finora ho visto solo risoluzioni numeriche.
https://pbs.twimg.com/media/EmKkmq1WkAE5Dgx?format=png

Solo per informarti che ci ho lavorato un po' (non è un problema
semplice...).
Ora sono quasi in fondo. le soluzioni ce le ho, ma la presentazione
non è banale.
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

[lindo]

Post by Elio Fabri

Post by lindo
Questo problema di Diego Rattaggi non sono riuscito a risolverlo in
maniera "umana". Finora ho visto solo risoluzioni numeriche.
https://pbs.twimg.com/media/EmKkmq1WkAE5Dgx?format=png

Solo per informarti che ci ho lavorato un po' (non è un problema
semplice...).
Ora sono quasi in fondo. le soluzioni ce le ho, ma la presentazione
non è banale.
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

Attendo, grazie.

Ho un altro problema su una cubica ma molto più semplice, dato che sono
riuscito a risolverlo :)
Magari posto anche quello.

[Elio Fabri]

Post by Elio Fabri
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

Trovate il file in
http://www.sagredo.eu/varie/bitangente.pdf

[Giorgio Pastore]

Post by Elio Fabri

Post by Elio Fabri
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

Trovate il file in
http://www.sagredo.eu/varie/bitangente.pdf

Scusa ma se la corconferenza di raggio r è tangente all' asse x perché
ti porti dietro come incognita y_c? deve valere -r. E risparmii un'
incognita.

[Franco]

Post by Giorgio Pastore

Post by Elio Fabri

Post by Elio Fabri
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

Trovate il file in
http://www.sagredo.eu/varie/bitangente.pdf

Scusa ma se la corconferenza di raggio r è tangente all' asse x perché
ti porti dietro come incognita y_c? deve valere -r. E risparmii un'
incognita.

Non usa r come incognita, ha scritto l'equazione della circonferenza
semplificando i due termini

...+yc^2=r^2

imponendo cosi` che sia tangente all'asse orizzontale.

[Giorgio Pastore]

Il 17/11/20 00:04, Franco ha scritto:
....

Post by Franco
Non usa r come incognita,

me ne sono reso conto subito dopo aver postato. Purtroppo il "delete"
non viene onorato quasi mai dai server nntp :-(

[lindo]

Post by Elio Fabri

Post by Elio Fabri
Di sicuro non posso spiegarla in un post: sto scrivendo un testo più
ampio e dovrò anche metterci una figura.
Quindi resta in ascolto :-)

Trovate il file in
http://www.sagredo.eu/varie/bitangente.pdf

Sarebbe stato fuori dalla mia portata :|