Post by Alberto Rasàun'equazione algebrica di sesto grado in x, che so avere esattamente
due soluzioni distinte (ignote) a, b > 0 come si scrive?
...
e devono entrambe essere comprese tra 0 e 3 (quindi, in particolare, positive).
Il fatto è che nella tua domanda ci sono diversi errori :-)
Un'eq. di grado 6 ha esattamente 6 radici.
Però
a) alcune possono essere complesse, quindi nel piano reale (x,y) non le
vedi
b) alcune possono essere coincidenti, a coppie o più.
L'informazione che cubica e circonf. sono *bitangenti* ti dice che tra
le radici *reali* ci saranno *due* coppie coincidenti, e non è escluso
che possano coincidere in tre, nel qual caso la circ. è *osculatrice*
alla cubica.
Dato che le radici complesse sono in numero pari (a due a due
coniugate) le possibilità per il numero di radici reali sono solo 0,
2, 4, 6.
0 è escluso e anche due, dato che debbono esserci almeno due coppie
coincidenti.
Se sono 4 a due a due coincidenti, abbiamo una vera bitangenza (come
mostra la figura). Però potrebbbero anche coincidere tutte e 4. Non so
come si dice: forse iperosculatore?
Se sono 6, potrebbero essere due coppie più altre due distinte, oppure
coincidenti in due terne (osculatrici).
Inoltre non è detto che la soluzione sia unica. Non ti anticipo il mio
risultato...
Non è facile imporre in partenza la condizione 0<a<b<3, mentre se
imponi solo la condizione che ci siano due coppie coincidenti ne
troverai diverse e potrai scegliere a posteriori quale (o quali)
soddisfa la disuguaglianza.
Riassumendo: la strada che stai seguendo si precisa così.
1. Dalle due eq. della cubica e della circonf. elimini y e ottieni
un'eq. di grado 6 in x che contiene come parametri x0 e r.
2. Dalla condizione di bitangenza hai che l'eq. deve avere la forma
(x-a)^2 (x-b)^" (x^2 + cx + d) = 0.
3. Imponi che i due polinomi siano identici, il che ti dà giusto 6
condizioni: un sistema per i 6 parametri x0, r, a, b, c, d.
4. Risolvi il sistema.
Non è la strada che ho seguito io, e qualcosa mi farebbe pensare che
sia una strada più semplice della mia.
Quindi t'incoraggio a provare :-)
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Elio Fabri